康劍靈, 張　暉， 葉華文

(1. 東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620； 2. 中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙 410083)

一類級聯(lián)系統(tǒng)的微分無源性

康劍靈1, 張暉1， 葉華文2

(1. 東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620； 2. 中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙 410083)

微分無源性將微分存儲(chǔ)函數(shù)和微分李雅普諾夫函數(shù)聯(lián)系起來，是研究非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的有力工具.通過判斷系統(tǒng)解之間的距離研究系統(tǒng)解的跟蹤、同步等問題.研究了一類級聯(lián)系統(tǒng)的微分無源性，討論了保證系統(tǒng)具有微分無源性的條件，并給出這類級聯(lián)系統(tǒng)具有的一些性質(zhì).

微分無源性； 微分存儲(chǔ)函數(shù)； 級聯(lián)系統(tǒng)； 延拓系統(tǒng)

2013年，在收縮理論[1]基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[2]通過提升李雅普諾夫函數(shù)到切叢上，建立了非線性系統(tǒng)理論的微分李雅普諾夫框架，并以此來研究系統(tǒng)的增量穩(wěn)定性.在此框架下，文獻(xiàn)[3]通過提升存儲(chǔ)函數(shù)和供給率到系統(tǒng)流形的切叢上，又給出了系統(tǒng)微分耗散的思想，介紹了系統(tǒng)的增量耗散性.同時(shí)，文獻(xiàn)[4]基于非線性延拓系統(tǒng)(即原非線性系統(tǒng)和其變分系統(tǒng))的幾何結(jié)構(gòu)建立了系統(tǒng)的微分無源理論. 文獻(xiàn)[5]通過對一類物理系統(tǒng)的微分無源性的討論，給出有對偶能量的梯度系統(tǒng)非線性電路Baryton-Moser系統(tǒng)保持微分無源的幾何條件.

上述的各種微分方法都將穩(wěn)定性從初始解到目標(biāo)解(即平衡態(tài))的距離研究轉(zhuǎn)化為任意兩個(gè)解之間的距離研究，這種忽略初始解和目標(biāo)解狀態(tài)的方法被用在跟蹤調(diào)節(jié)[6]、觀測器設(shè)計(jì)[7]、同步[8]等問題中.

本文在文獻(xiàn)[2-3, 5]的基礎(chǔ)上研究一類級聯(lián)系統(tǒng)保持微分無源性的幾何條件.下面介紹一些記號和定義.

定義1非線性系統(tǒng)

(1)

其中：狀態(tài)空間為M,輸入空間U?Rm,輸出空間Y?Rm,x∈M,u∈U,y∈Y.f和g是向量場，映射h:M→Y.其變分系統(tǒng)為

(2)

稱系統(tǒng)(1)和(2)的合并系統(tǒng)為系統(tǒng)(1)的延拓系統(tǒng).

定義2Ω是M的孤立點(diǎn)集，對任意的x∈M,TxM可以分為垂直分布Vx?TxM,和水平分布Hx?TxM的直和，即Vx⊕Hx=TxM,其中vi(1≤i≤r)和hi(1≤i≤k)是C1向量場.

Vx=span{v1(x),v2(x), …,vr(x)},

0≤r

(3)

Hx=span{h1(x),h2(x), …,hk(x)},

0≤k

(4)

若存在c1,c2∈R≥0,p∈R≥1和函數(shù)F:TM→R≥0,使對任意的(x,δx) ∈TM都有

c1F(x,δx)p≤δS(x,δx)≤c2F(x,δx)p

(5)

則稱函數(shù)δS:TM→R≥0是系統(tǒng)的微分存儲(chǔ)函數(shù).

δS和F必須滿足以下條件：任給一孤立點(diǎn)集Ω?M,

(ⅰ) 對任意的x∈M,δx∈Hx{0},δS和F是C1的；

(ⅱ) 對任意的(x,δx)∈TM,使得(x,δx)=(x,δxh)+(x,δxv),其中δxh∈Hx,δxv∈Vx,滿足δS(x,δx)=δS(x,δxh),δF(x,δx)=δF(x,δxh);

(ⅲ) 對任意的x∈MΩ,δx∈Hx,滿足F(x,δx)>0;

(ⅳ) 對任意的λ>0,x∈M,δx∈Hx,滿足F(x,λδx)=λF(x,δx);

(ⅴ)F(x,δx1+δx2)

定義3如果系統(tǒng)(1)存在微分存儲(chǔ)函數(shù)δS,使得對所有的t≥0,延拓系統(tǒng)的所有解(x,y,u,δx,δy,δu)滿足：

δS(x(t),δx(t))-δS(x(0),δx(0))≤

(6)

則稱系統(tǒng)(1)是微分無源的.

假設(shè)δS∈C1,不等式(6)兩邊同時(shí)對t求導(dǎo)可得

則稱系統(tǒng)為增量穩(wěn)定的.

1　系統(tǒng)模型介紹

考慮下面的級聯(lián)系統(tǒng)：

(7)

根據(jù)文獻(xiàn)[3]，可以得到系統(tǒng)(7)的變分系統(tǒng)：

(8)

系統(tǒng)(7)和(8)的合并系統(tǒng)為系統(tǒng)(7)的延拓系統(tǒng)，其中狀態(tài)(x1,x2,δx1,δx2)∈TM,輸入(u,δu)∈TU,輸出(y,δy)∈TY.

對于系統(tǒng)(7)的任意解(x1,x2,u,y),系統(tǒng)(8)中的解(δx1,δx2,δu,δy)是解(x1,x2,u,y)的無窮小變分，即(δx1,δx2,δu,δy)是(x1,x2,u,y)和其他解的無窮小誤差.更加直觀地可以看到，當(dāng)(δx1,δx2)收斂到0時(shí)，系統(tǒng)(7)中的解互相收斂.文獻(xiàn)[1]基于李雅普諾夫方法，研究了δx的收縮性和穩(wěn)定性之間的關(guān)系.

本文在文獻(xiàn)[2-3]的基礎(chǔ)上研究上述級聯(lián)系統(tǒng)的微分無源性，即這類級聯(lián)系統(tǒng)具有微分無源性的條件以及保持微分無源性的級聯(lián)系統(tǒng)所具有的幾何性質(zhì)及物理意義.

2　主要結(jié)果

定理1如果系統(tǒng)(7)是微分無源的，且具有微分存儲(chǔ)函數(shù)δS∈C1,當(dāng)對任意的x∈M都有垂直分布Vx=0時(shí)，系統(tǒng)(7)是增量穩(wěn)定的.

(9)

由定義4可知，系統(tǒng)(7)是增量穩(wěn)定的.

(10)

(11)

(12)

(13)

證明：要使

g2(x2)δu≤δy(t)Tδu(t).

g2(x2)δu=δy(t)Tδu(t)

根據(jù)條件(a)和(b)易得式(10).

條件(e)化簡后即為式(12).

比較上面等式左右兩邊即得式(13).

證畢.

定理1中的式(9)保證系統(tǒng)在u=0時(shí),系統(tǒng)自身具有收斂性，即系統(tǒng)的穩(wěn)定性由度量M1和M2(即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和被驅(qū)動(dòng)系統(tǒng))的穩(wěn)定性決定，其中式(10)表示級聯(lián)項(xiàng)能量需要隨著時(shí)間t遞減. 式(11)限制了度量矩陣M2(x2)的范圍，因?yàn)間2(x2)的性質(zhì)決定了M2(x2).同樣根據(jù)式(12)，可以得到輸出y的形式.

(14)

(15)

(16)

證畢.

(17)

(18)

(19)

(20)

證明類似命題1的推導(dǎo).

例1考慮線性級聯(lián)系統(tǒng)

(21)

它的變分系統(tǒng)為

(22)

3　結(jié)　語

本文在非線性系統(tǒng)的幾何控制理論框架下，研究了一類級聯(lián)系統(tǒng)微分無源的幾何結(jié)構(gòu)，但未對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行討論.后續(xù)將針對一些實(shí)際的級聯(lián)系統(tǒng)模型基于微分無源性進(jìn)行系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，并將針對一些特殊的非線性系統(tǒng)討論其微分無源性結(jié)構(gòu)及其穩(wěn)定性.

[1] LOHMILLER W, SLOTINE J E. On contraction analysis for non-linear systems[J]. Automatica, 1998, 34(6):683-696.

[2] FORNI F, SEPULCHRE R. A differential lyapunov framework for contraction analysis[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2014, 59(1):614-628.

[3] FRONI F, SEPULCHRE R. On differentially dissipative dynamical systems[C]//In 9th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems. 2013:15-20.

[4] VAN DER SCHAFT A J. On differential passivity[C]//In 9th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems. 2013: 21-25.

[5] FORNI F, SEPULCHRE R, VAN DER SCHAFT A J. On differential passivity of physical systems[C]//52nd IEEE Conference on Decision and Control. 2013: 6580-6585.

[6] PAVLOV L, MARCONI L. Incremental passivity and output regulation[J]. Systems and Control Letters, 2008, 57(5):400-409.

[7] AGHANNAN N, ROUCHON P. An intrinsic observer for a class of lagrangian systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2003, 48(6):936-945.

[8] WANG W, SLOTINE J E. On partial contraction analysis for coupled nonlinear oscillators[J]. Biological Cybernetics, 2005, 92(1):38-53.

Differential Passivity for a Class of Cascade Systems

KANGJian-ling1,ZHANGHui1,YEHua-wen2

(1. College of Science， Donghua University， Shanghai 201620， China；

2. College of Information Science and Engineering， Central South University， Changsha 410083， China)

Differential passivity analysis can combine the differential storage function and differential Lyapunov function to study the stability of nonlinear systems. By judging the distances between the solutions of the system, it can be used to discuss the solution tracking and synchronization problems of the system. The passivity theory for a class of cascade system is studied. It is investgated for the conditions which can guarantee the differential passivity of the given system.Some properties are also given for this kind of cascade system.

differential passivity；differential storage function；cascade system；prolonged system

1671-0444(2015)06-0857-05

2014-09-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61104125)；中央高校科研業(yè)務(wù)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目(11D10911)

康劍靈(1972—)，女，江西贛州人，副教授，博士，研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)幾何控制理論.E-mail:kangjl@dhu.edu.cn

O 231.2

A