裴然，杜敬濤，朱明剛，楊鐵軍

(1.哈爾濱工程大學(xué) 教務(wù)處，黑龍江哈爾濱150001;2.哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

彈性板結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于船舶工業(yè)、航空航天、建筑結(jié)構(gòu)及輛工程等各個(gè)領(lǐng)域，圍繞其振動(dòng)特性分析，各國學(xué)者開展了大量的研究，Leissa［1］對(duì)領(lǐng)域成果進(jìn)行了較為全面的總結(jié)。然而，關(guān)于彈性板結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析主要局限于橫向彎曲振動(dòng)，對(duì)于彈性板面內(nèi)振動(dòng)研究尚不充分。近年來，有學(xué)者研究表明，彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)在耦合板結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量傳輸［2-3］、三明治板結(jié)構(gòu)建模［4］和壓電超聲電機(jī)研制［5］等方面起到重要作用，從而，關(guān)于彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)分析又重新引起研究人員的廣泛關(guān)注。

Bardell等人［6］對(duì)彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)開展了具有卓越貢獻(xiàn)的研究，他們不僅對(duì)早期彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)研究文獻(xiàn)進(jìn)行較為全面的梳理與評(píng)述，還針對(duì)幾種經(jīng)典邊界條件下彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)特性首次獲得精確數(shù)據(jù)。Farag和Pan［7］分析了對(duì)邊鉗定邊界條件下彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)特性，求得面內(nèi)耦合與解耦模態(tài)固有頻率表達(dá)式。Gorman［8］采用疊加方法對(duì)完全自由邊界條件下彈性板面內(nèi)振動(dòng)固有特性進(jìn)行了建模分析，隨后，Gorman［9］又將該建模方法進(jìn)一步拓展至簡支與鉗定邊界條件下彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)特性預(yù)報(bào)。Xing和Liu［10］獲得了對(duì)邊簡支邊界條件下彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)固有頻率與模態(tài)振型分布。

除了上述經(jīng)典邊界條件之外，還有學(xué)者對(duì)彈性約束邊界條件下彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)進(jìn)行了研究。Gorman［11］應(yīng)用疊加分析方法考慮了沿邊界法向彈性約束條件下矩形板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)特性。Du等［12］提出一種二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法，建立了沿邊界法向和切向均為彈性約束情況的任意邊界條件下矩形板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)固有特性分析框架，數(shù)值結(jié)果表明該方法能夠快速收斂并且能夠準(zhǔn)確預(yù)報(bào)彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)信息。隨后，Du等［13］進(jìn)一步將該建模分析方法拓展至任意彈性點(diǎn)約束邊界條件下彈性板面內(nèi)振動(dòng)固有頻率與模態(tài)振型預(yù)報(bào)。文獻(xiàn)調(diào)研表明，針對(duì)彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)研究，目前主要集中在理論建模與特性預(yù)報(bào)，對(duì)于從實(shí)驗(yàn)角度進(jìn)行彈性板面內(nèi)特性測(cè)量研究還不多見。

本文將首先采用二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)建立彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)分析模型，采用能量原理并結(jié)合瑞利－里茲方法獲得彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)系統(tǒng)矩陣方程，并給出數(shù)值算例，同文獻(xiàn)中其他預(yù)報(bào)方法結(jié)果進(jìn)行比較，隨后，搭建相關(guān)實(shí)驗(yàn)臺(tái)架，開展彈性板面內(nèi)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量研究。

1 理論推導(dǎo)

1.1 模型描述

如圖1所示，考慮一個(gè)長為a、寬為b、厚度為h的矩形板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)模型，在該矩形板上建立直角坐標(biāo)系，彈性板結(jié)構(gòu)的兩條邊分別與坐標(biāo)系中x軸和y軸重合。為了統(tǒng)一處理彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)邊界約束條件，此處采用沿法向和切向分布的2種邊界約束彈簧來進(jìn)行模擬，這樣，各種經(jīng)典邊界條件及其任意組合便可以通過將邊界約束彈簧剛度系數(shù)為無窮大或零進(jìn)而得到。

圖1 彈性邊界約束條件下矩形板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)模型Fig.1 In-plane vibration model of rectangular plate with elastically restrained edges

1.2 面內(nèi)振動(dòng)位移場(chǎng)函數(shù)展開

同彈性板結(jié)構(gòu)橫向彎曲振動(dòng)分析相比，面內(nèi)振動(dòng)過程中涉及縱向和剪切2個(gè)方向上振動(dòng)位移場(chǎng)相互耦合，為了克服彈性邊界約束條件下位移場(chǎng)函數(shù)在包含邊界在內(nèi)的任意場(chǎng)點(diǎn)處空間坐標(biāo)微分的連續(xù)性，此處2個(gè)方向上的面內(nèi)振動(dòng)位移場(chǎng)采用二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行展開［12-13］:

和

式中:λam=mπ/a，λbn=nπ/b，ξ1(x)和ξ2(x)是面內(nèi)位移輔助函數(shù)。此處，在標(biāo)準(zhǔn)二維傅里葉級(jí)數(shù)上引入這些輔助函數(shù)的目的在于去除面內(nèi)位移及其相應(yīng)空間導(dǎo)數(shù)在結(jié)構(gòu)邊界上的不連續(xù)性，進(jìn)而提高傅里葉級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)值求解域內(nèi)的收斂速度和求解精度。理論上，這些輔助函數(shù)的形式可以不唯一，為了簡便相關(guān)數(shù)學(xué)推導(dǎo)步驟，輔助函數(shù)在這里分別構(gòu)造為

容易證明

通過在標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉級(jí)數(shù)中引入輔助函數(shù)，可以改進(jìn)解的收斂性和精確性，此處，構(gòu)造的輔助函數(shù)形式將有助于簡化后續(xù)數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。

1.3 能量原理

為了確定矩形板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)位移場(chǎng)改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)中所有的未知系數(shù)，將采用能量原理對(duì)彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)進(jìn)行描述，進(jìn)而利用瑞利－里茲方法進(jìn)行求解。彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)的系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)為

式中:V和T分別為系統(tǒng)的總勢(shì)能和總動(dòng)能。

總勢(shì)能V包括應(yīng)變能和邊界約束彈簧的彈性勢(shì)能兩部分，它可以表示為

式中:G為縱向拉伸剛度，μ為彈性板材料泊松比，u和v分別為彈性板結(jié)構(gòu)沿x、y軸面內(nèi)振動(dòng)位移，knx0和kpx0分別表示在邊界x=0上邊界約束彈簧在法向與切向的剛度系數(shù)，類似地，其余約束彈簧的下標(biāo)含義可以此類推。

彈性板面內(nèi)振動(dòng)引起的總動(dòng)能T為

式中:ρ為彈性板材料密度，ω是振動(dòng)圓頻率，h為彈性板結(jié)構(gòu)的厚度。

1.4 系統(tǒng)特征方程

將所構(gòu)建彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)位移場(chǎng)2個(gè)改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)振動(dòng)位移分量函數(shù)式(1)、(2)代入至系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)式(7)～(9)中，利用瑞利－里茲方法對(duì)位移函數(shù)中的傅里葉表達(dá)式中的各個(gè)系數(shù)Amn，am，bm，cn，dn，Bmn，em，fm，gn和hn分別求導(dǎo)取極值，在實(shí)際計(jì)算過程中，改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行有限截?cái)鄊=M，n=N，從而可以得到關(guān)于所有傅里葉系數(shù)的系統(tǒng)特征矩陣方程

式中

顯然，彈性約束邊界條件下彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)所有模態(tài)頻率參數(shù)可以通過求解一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值問題而全部得到。通過將所對(duì)應(yīng)的特征向量代入至所構(gòu)建二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)位移表達(dá)式(1)、(2)中，即可得到該節(jié)模態(tài)頻率所對(duì)應(yīng)的物理模態(tài)振型分布。如果需要求解彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)對(duì)于外部激勵(lì)的振動(dòng)響應(yīng)，僅需在系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)式(7)中包含外力的做功項(xiàng)，最終將會(huì)在矩陣方程式(10)的右端出現(xiàn)外力激勵(lì)向量。

2 數(shù)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本節(jié)中將采用MATLAB科學(xué)計(jì)算語言對(duì)上述理論推導(dǎo)模型進(jìn)行編程數(shù)值仿真，將計(jì)算所得到的結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率與文獻(xiàn)中其他方法所給出的結(jié)果進(jìn)行比較，進(jìn)而驗(yàn)證所提出預(yù)測(cè)模型的正確性與可靠性。在仿真模型中，選取文獻(xiàn)［14］中的參數(shù)，彈性板結(jié)構(gòu)尺寸為1.2 m ×1.0 m ×0.025 m，板結(jié)構(gòu)材料特性為楊氏模量E=70×109N/m2和泊松比μ=0.33。正如前文所述，在本求解框架中，任意邊界條件可以通過將法向和切向邊界約束剛度系數(shù)設(shè)置為零或無窮大而得到，從而，對(duì)于此處的鉗定邊界條件，可以同時(shí)將2個(gè)方向邊界約束彈簧設(shè)置為無窮大(在實(shí)際計(jì)算中，采用1×1015表示)即可，對(duì)于級(jí)數(shù)中的截?cái)嗑镸=N=12。

表1 2種方法計(jì)算得到的前七階面內(nèi)模態(tài)頻率比較Table 1 Comparisons of the first seven in-plane modal frequencies from two solution methods

通過將對(duì)應(yīng)的特征向量系數(shù)代入至所構(gòu)建的二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)位移形式，從而得到鉗定邊界條件下矩形板板結(jié)構(gòu)前幾階面內(nèi)模態(tài)振型分布。

圖2 鉗定邊界條件下矩形板面內(nèi)模態(tài)振型分布圖Fig.2 In-plane mode shapes of rectangular plate with clamped boundary conditions

為了從實(shí)驗(yàn)角度對(duì)彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)特性進(jìn)行研究，搭建了如圖3所示的實(shí)驗(yàn)臺(tái)架，其中將一長寬厚分別為Lx×Ly×h=1.16 m ×1.0 m ×4 mm 的矩形鋁板，通過靠近頂邊位置的2個(gè)吊孔，經(jīng)彈簧連接后吊掛于橫梁固定結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)面內(nèi)振動(dòng)的自由約束邊界條件。在測(cè)試過程中，采用B＆K8206-003型力錘在右上角點(diǎn)位置分別沿x和y2個(gè)方向進(jìn)行敲擊，以激起矩形板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)的縱波和剪切波分量。

圖3 矩形板面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)測(cè)試系統(tǒng)Fig.3 Measuring system for in-plane mode test of a rectangular plate

矩形鋁板表面被劃分成為13×11個(gè)網(wǎng)格，共168個(gè)測(cè)點(diǎn)，依次在每一位置點(diǎn)處采用B＆K2258A-100型三向加速度計(jì)，對(duì)力錘敲擊所激起的該點(diǎn)在x和y方向上的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行拾取。力錘和加速度計(jì)的輸出信號(hào)則傳遞至與裝有Modal Impact模態(tài)分析軟件筆記本相連的SCADASIII型LMS多通道數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)，通過對(duì)所采集數(shù)據(jù)的軟件處理最終能夠得到矩形鋁板的面內(nèi)模態(tài)信息。模態(tài)測(cè)試結(jié)果如表2所示。

表2 矩形鋁板前六階面內(nèi)模態(tài)頻率預(yù)測(cè)與測(cè)量結(jié)果比較Table 2 Comparisions of the first six in-plane modal frequencies of the rectangular aluminium panel between the predicited and measured results

面內(nèi)模態(tài)振型分布測(cè)量與仿真結(jié)果比較情況如圖4所示。

圖4 矩形板面內(nèi)模態(tài)振型實(shí)驗(yàn)與預(yù)測(cè)結(jié)果比較Fig.4 Comparisons of in-plane modal shapes of the rectangular plate between measured and predicted results

通過表1中的數(shù)據(jù)對(duì)比，可以看出:本文模型所得到鉗定邊界條件下彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)頻率能夠與現(xiàn)有文獻(xiàn)方法所得結(jié)果很好吻合，驗(yàn)證了本模型的準(zhǔn)確性。同時(shí)，采用本文方法，當(dāng)邊界條件需要改變時(shí)，僅需在仿真程序中將邊界約束剛度系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)置，而無需向文獻(xiàn)中方法那樣重新對(duì)理論進(jìn)行推導(dǎo)和重新編寫程序。進(jìn)而，在實(shí)驗(yàn)臺(tái)架搭建之后，將矩形板結(jié)構(gòu)的邊界約束剛度系統(tǒng)全部設(shè)置為零，即可得到實(shí)驗(yàn)照片中所示的完全自由邊界條件。通過采用模態(tài)實(shí)驗(yàn)測(cè)試分析，將測(cè)試數(shù)據(jù)同本文方法預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行比較(見表2)，可以發(fā)現(xiàn)，2種結(jié)果之間能夠很好地吻合，再次驗(yàn)證了本文模型的有效性。對(duì)于模態(tài)振型分布，僅需將所對(duì)應(yīng)特征向量代入至所構(gòu)建改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)位移表示形式中，即可得到圖2和圖4中的模態(tài)振型預(yù)報(bào)圖。一方面可以看到，彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)由于涉及縱向和剪切2個(gè)方向的位移場(chǎng)耦合，從而模態(tài)振動(dòng)圖相比較為熟悉的橫向彎曲情況，結(jié)果要復(fù)雜得多。實(shí)驗(yàn)測(cè)試模態(tài)圖和預(yù)報(bào)圖相比較中存在的偏差，主要是由于面內(nèi)振動(dòng)方向始終垂直于磁力作用方向，從而會(huì)對(duì)磁座產(chǎn)生一定的剪切作用，在較大的力錘敲擊作用下，會(huì)導(dǎo)致加速度計(jì)的小幅移位或旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而使得這些測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)與實(shí)際振動(dòng)情況之間存在偏差。

3 結(jié)束語

本文采用一種二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法研究了一般邊界條件下矩形板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)特性，即彈性板結(jié)構(gòu)在面內(nèi)縱向和剪切2個(gè)方向上的振動(dòng)位移場(chǎng)函數(shù)均采用標(biāo)準(zhǔn)二維傅里葉余弦級(jí)數(shù)附加多項(xiàng)式與單傅里葉級(jí)數(shù)形式進(jìn)行展開，用以克服位移函數(shù)導(dǎo)數(shù)在邊界處不連續(xù)問題。進(jìn)而，基于能量原理和瑞利－里茲方法對(duì)所有未知傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)進(jìn)行求解，得到包含所有模態(tài)頻率參數(shù)的系統(tǒng)特征方程矩陣表達(dá)式。

采用MATLAB語言編制仿真程序，通過與文獻(xiàn)中其他方法預(yù)報(bào)結(jié)果相比較，驗(yàn)證了本文方法和所編制程序的正確性和有效性。同文獻(xiàn)中方法相比，本模型中邊界條件修改時(shí)，不需要對(duì)理論模型重新推導(dǎo)和進(jìn)行程序的重新編寫。隨后，搭建彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)模態(tài)測(cè)試臺(tái)架，通過與測(cè)試結(jié)果比較分析，再次驗(yàn)證了本模型的有效性，同時(shí)指出彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)模態(tài)測(cè)試中加速度計(jì)的磁座固定方式是引起模態(tài)振型分布偏差的主要原因。

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