游行遠，楊平，徐彬彬，許利剛

(1.哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，黑龍江哈爾濱150001;2.武漢船舶通信研究所，湖北武漢430079)

在短波突發(fā)通信系統(tǒng)中，由于發(fā)射機與接收機兩端電臺振蕩器的不穩(wěn)定［1］，導致收發(fā)兩端載波之間存在頻率偏差，以及無線通信中的多普勒頻移，經(jīng)過相干解調后得到的基帶信號中通常存在頻偏。頻偏會直接導致接收信號中有用的信號成分功率衰減，導致系統(tǒng)誤碼率增大［2］，因此接收端必須進行頻偏估計并補償，以提高接收機性能。

基于離散傅里葉變換(DFT)類頻偏估計算法分為粗估計與精估計2個步驟，粗估計利用DFT對頻譜峰值進行定位，精估計也是目前此類方法的研究熱點。Quinn［3］利用DFT頻譜中的峰值譜線與次高譜線進行插值來獲取對應的頻率結果。Jacobsen［4］通過實驗觀測利用峰值譜線與相鄰兩條譜線之間進行插值，Candan［5］對Jacobsen的方法進行了理論推導，同時利用信號長度對其進行偏移修正提高了其性能。文獻［6］中，Zakharov和Tozer提出了一種二分搜索方法，其性能可以逼近于Cramer-Rao界(CRB)，但是其需要在粗估計時對數(shù)據(jù)補零，并使用至少1.5N點DFT來獲取更精細的結果。補零的方法使DFT頻譜更加精細［7］，粗估計對真實頻偏的定位更加準確，但其帶來計算量的大幅度提升。

短波信道多集中于低信噪比條件，由于突發(fā)通信信號傳輸?shù)臅r限性，用于符號同步，參數(shù)估計等數(shù)字信號處理的時間相對短暫，本文提出了一種基于DFT的迭代插值算法。粗估計時，采用非補零的DFT獲取粗估計結果以減少計算量;精估計時，在頻偏搜索區(qū)間內利用迭代與插值相結合的方法得到估計結果，并在迭代判決中引入誤差補償機制，從而保證算法性能。

1 信號模型

在短波突發(fā)通信系統(tǒng)中，一般利用訓練序列來進行信號同步與參數(shù)估計，采用調制方式為MPSK。假設長度為L的訓練序列為pk，k=0，1，…L－1，滿足，發(fā)送端傳輸基帶信號可以表示為

式中:T表示符號采樣間隔，g(*)表示信號脈沖成形濾波器。

假設收發(fā)兩端存在f0的頻率偏差，接收基帶信號可以表示為

式中:a0表示信號幅度;φ表示相位偏移，是一個確定的未知量;n(t)表示復數(shù)加型高斯白噪聲(均值為0，方差為σ2)。假設理想同步條件下，接收基帶信號經(jīng)過匹配濾波器，并與本地訓練序列共軛相乘可得

式中:〈·〉表示求內積，設定成形濾波器與匹配濾波器為平方根升余弦濾波，可得

因此，接受信號可表示為

式中:w(k)〈n(t)，g(t－kT－τ0)〉與n(t)有相同的統(tǒng)計特性，服從高斯分布，φ'=2πf0τ0+φ仍然為未知確定量，同時將頻偏進行歸一化得F0=f0T(以下不做特殊描述，頻偏表示歸一化頻偏)，式(5)可簡化輸出信號為

因此，短波突發(fā)通信中的頻偏估計可以等效于在高斯白噪聲條件下對復正弦信號的頻率估計［1］，則歸一化的Cramer-Rao下界可表示為

式中:ρσ2表示信噪比。在頻偏粗估計步驟中，對式(6)進行N點DFT變換，N≥L，當N大于L時進行補零，可得

式中:A=a0exp(jφ')，W(n)為噪聲的傅里葉系數(shù)(服從0 均值，方差為Nσ2的高斯分布)［9］。DFT 的歸一化分辨率為1/N。然而在實際系統(tǒng)中，真實頻偏不一定為DFT分辨率的整數(shù)倍，可以表示為

式中:m表示DFT頻譜峰值對應的刻度，δ∈［－0.5，0.5］表示真實頻偏相對于DFT譜線偏差的小數(shù)部分。本文目標是在低信噪比條件下對δ的精確估計。

2 算法分析

在粗頻偏估計的基礎上，首先將DFT頻偏峰值譜線與相鄰譜線對應刻度定義為一個頻偏搜索區(qū)間［m0－Δ0，m0+Δ0］，m0=m表示中心點，Δ0=1表示搜索范圍。精估計主要結合迭代與插值方法來獲取較小的搜索區(qū)間［mi－Δi，mi+Δi］，從而得到估計結果，其中i=0，1，2，…，Q表示當前迭代次數(shù)。算法分析過程中假設噪聲為0，迭代中譜線可表示為

式中:δi=NF0－mi表示殘留頻偏，即每次迭代的估計值，當δi－Δi→0時，獲取最大值得到估計結果。

當i=0時，直接利用DFT結果得到譜線峰值與相鄰譜線，此時Δ0=1可得

式中:h=－1，0，1，當N?h時

根據(jù)文獻［4］的插值方法對δ進行估計得到

式中:δ0近視為δ的無偏估計，但在噪聲影響下性能有一定的偏差，此處可求得較小的頻偏搜索區(qū)間［m1－Δ1，m1+Δ1］，其中m1=m+δ0Δ0，Δ1=Δ0/4 。

當i＞0時，需要結合迭代判決與插值的方式在區(qū)間［mi－Δi，mi+Δi］內進行搜索估計。首先得相應的Y［n］與S［n］，n=mi－Δi，mi，mi+Δi，其中

對比這三點(n，S［n］)之間的相互大小關系，針對2種情況進行判決:

1)當S［mi］為最大值時，推斷真實頻偏有很大的概率屬于區(qū)間［mi－Δi/2，mi+Δi/2］，即可得0.5，繼續(xù)對這三點進行插值，當使用Jacobsen的插值方法對δi進行插值時，由于式(10)中，Δi＜1，分母無法抵消，同時由于噪聲的影響，特別是低信噪比條件下，插值結果無法保證為了保證

因此，得到mi+1=mi+δiΔi，Δi+1=Δi/4 。

2)當兩端S［mi±Δi］為最大值時，頻偏屬于區(qū)間［mi－Δi，mi－Δi/2］或［mi+Δi/2，mi+Δi］，即0.5≤通過采用次優(yōu)的Newton插值方法［10］進行插值，得到，或由于上次迭代與插值算法誤差導致搜索區(qū)間偏差。

針對這2種可能，利用上一次迭代過程中的歷史值對本次迭代進行修正，引入誤差補償。

1)當S［mi－Δi］為最大值時，利用上一次迭代過程中的S［mi－1－Δi－1］與S［mi－Δi］，S［mi］進行非對稱插值。由于mi=mi－1+δi－1Δi－1，Δi－1=4Δi，為方便計算設S［mi－Δi］點相對坐標為0，同時對Δi歸一化，可得另兩點 (－3－4δi－1)，S［mi－1－Δi－1］)，(1，S［mi－Δi］)，通過Newton插值計算得到

式中:S－=S［mi－1－Δi－1］，S0=S［mi－Δi］，S+=S［mi］，最后得到 δi=－1。

2)當S［mi+Δi］為最大值時，利用S［mi］，S［mi+Δi］與S［mi－1+Δi－1］進行插值同理可得

式中:S－=S［mi］，S0=S［mi+Δi］，S+=S［mi－1+Δi－1］，最后得到 δi=+1。

因此，得到mi+1=mi+δiΔi，Δi+1=Δi/4 。

當完成迭代插值算法，精頻偏估計結果為

迭代插值算法具體過程可以描述為

1)利用DFT結果，獲取頻譜峰值m。

2)i=0，1，2，…，Q次迭代過程，當i=0 根據(jù)頻譜峰值與相鄰頻譜，利用式(13)進行得到δ0，并得到迭代搜索范圍。

3)當i＞0 時，在范圍［mi－Δi，mi+Δi］內，利用式(14)求得S［n］，n=mi－Δi，mi，mi+Δi，并根據(jù)其大小關系進行判決:當S［mi］最大時，利用式(15)進行插值得到估計結果δi;當S［mi－Δi］為最大值時，利用式(16)進行插值得到，估計結果 δi=－1;當S［mi+Δi］為最大值時，利用式(17)進行插值得到，估計結果 δi=+1。

3 算法性能仿真分析

為了進一步驗證算法性能，這里對其進行仿真分析，仿真中采用L=512訓練序列，訓練序列采用8PSK調制，信號成型濾波器為平方根升余弦濾波器，采用AWGN信道。粗估計中的DFT點數(shù)N=512，其中Zakharov的算法需要對數(shù)據(jù)補零，使用N=1024點DFT進行粗估計。迭代插值算法與現(xiàn)有相關算法主要進行3個方面的比較:

1)算法估計性能:信噪比［－20，20］dB條件下，F(xiàn)0的均方誤差(MSE)。每一信噪比條件下，通過100 000次蒙特卡洛實驗得到MSE，計算方式如下:

2)算法估計范圍:同一信噪比條件下，設定δ∈［－0.5，0.5］，針對 δ的 MSE 性能曲線。

3)算法計算復雜度:對每一種算法的復數(shù)乘法次數(shù)以及復數(shù)加法次數(shù)列舉。

圖1給出了不同算法的F0的MSE和CRB理論線。圖中，針對不同的算法，存在一個關于SNR的閾值，即低于閾值算法性能急劇惡化，高于閾值算法性能趨于平穩(wěn)。Zakharov的算法補零后，存在 SNR為－11.5 dB的閾值，其他算法閾值則集中在 －10 dB。這是由于在粗頻偏估計中，Zakharov的算法使用N=1024點DFT，使估計結果更加細密，對真實頻偏的定位更加精準，可獲取更低的閾值，但是帶來計算量成倍的增加。同時Zakharov算法補零之后，精頻偏估計使用Q=5次迭代，在SNR＞－4 dB時，算法的RMSE值會偏離CRB理論線，需要使用Q=10次迭代性能可逼近CRB。本文提出的迭代插值算法，在信噪比高于閾值－10 dB的范圍內，利用Q=2次迭代即可逼近CRB。

圖1 不同算法的MSEFig.1 The MSE of different estimators

圖2(a)給出了SNR為3 dB條件下，δ的MSE性能曲線。在N=512條件下，Jacobsen算法性能與Candan算法基本相當，當δ越接近0時，性能越好，反之性能變差。而Zakharov非補零算法，由于進行頻偏精估計時，利用DFT譜線最大值的2個相鄰譜線進行判決真實頻偏的落入?yún)^(qū)間，當δ接近0時在噪聲的影響下，容易產(chǎn)生誤判，從而導致誤差。而迭代插值算法通過插值頻偏搜索區(qū)間，進行插值迭代搜索很好的解決了這個問題，同時仿真表明在δ∈［－0.5，0.5］區(qū)間內，迭代插值算法都有很好的MSE性能。

圖2(b)給出了SNR為－5 dB條件下，δ的MSE性能曲線。對比圖2(a)和(b)，Zakharov補零算法當Q=5時，性能出現(xiàn)偏差并隨著信噪比增加，偏差更為明顯。仿真表明，迭代插值算法在低信噪比條件下依然有相對較好的性能。

表1針對算法的計算復雜度進行了分析，表中分別針對粗估計與精估計部分進行了列舉。其中粗估計主要針對DFT點數(shù)N，需要(N/2)log2N次復運算，其中Zakharov補零算法需要更多的DFT點數(shù)。針對精估計，主要利用乘法運算M、加法運算P表示。如表1所示，在相同性能的條件下，相對于Zakharov算法Q=10時，迭代插值算法因為使用更少的DFT點數(shù)以及迭代次數(shù)Q=2，從而減小了計算復雜度。

圖2 在信噪比3dB和－5dB條件下，不同δ的MSEFig.2 The MSE for different δ at SNR=3/ －5dB

表1 算法計算復雜度Table 1 Computational load of algorithm

4 結束語

基于DFT類方法，提出了迭代插值頻偏估計算法，該算法主要集中研究低信噪比條件下頻偏估計問題，頻偏估計范圍，以及計算復雜度的問題。仿真結果表明，針對L=512的訓練序列，該算法在信噪比－10～3 dB下頻偏估計性能可以逼近CRB理論線，適合短波突發(fā)通信的信道環(huán)境。算法相對于Quinn、Jacobsen等插值類算法具有更高的精度，同時與Zakharov算法采取Q=10迭代時性能相當，而且具有較寬的估計范圍，在計算復雜度方面，相對于插值類算法計算量要高，但相對于Zakharov算法采取Q=10迭代具有更小的計算復雜度。

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