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        平面向量基本定理探討

        2015-08-22 17:11:04王立軍
        學(xué)周刊·中旬刊 2015年9期
        關(guān)鍵詞:三邊所求重合

        王立軍

        用向量法證明幾何問(wèn)題(未知坐標(biāo))時(shí),選用哪兩個(gè)向量作為基底較合理?

        一、定理再現(xiàn)

        如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量 ,存在一對(duì)實(shí)數(shù),使。

        二、定理的認(rèn)識(shí)

        平面向量基本定理是向量理論中最重要的定理,是向量得以用數(shù)量進(jìn)行計(jì)算的橋梁和紐帶,是向量理論中的里程碑和標(biāo)志性定理。

        三、問(wèn)題的提出

        定理肯定了基底的存在性,并沒(méi)有指明如何選擇基底。在實(shí)際證明中,選擇基底時(shí),如果選擇不當(dāng),可能導(dǎo)致證明過(guò)程過(guò)于冗長(zhǎng);如果選擇恰當(dāng),將會(huì)使證明過(guò)程大大縮短。那么一般情況下如何選擇恰當(dāng)?shù)幕啄兀?/p>

        四、選擇基底的幾條原則

        1.起點(diǎn)重合。選擇兩個(gè)起點(diǎn)重合的向量作為基底,是選擇基底的大原則。這樣選擇基底,可方便表示兩個(gè)向量的和與差。

        例1.的三邊長(zhǎng)滿足,且BE、CF分別為AC、AB邊上的中線,求證:。

        證明:取,為一組基底,

        并設(shè),

        2.便于表示。所取的基底必須便于表示所求向量。一般選取起點(diǎn)重合,且有已知點(diǎn)的兩個(gè)向量作為一組基底。

        例2.如圖所示,正三角形ABC中,D、E分別是AB、BC上的一個(gè)三等分點(diǎn),且AE、CD交于點(diǎn)P,求證:BPCD.

        證明:取為一組基底,

        設(shè)即

        ………………….(1)

        又設(shè)

        ………………….(2)

        比較(1) (2)兩式,得:

        從而

        =0

        故:

        3.聯(lián)系密切。所取的基底必須于所求向量聯(lián)系密切,這樣便于表示所求向量。

        例3.如圖所示,一直線交 的三邊 所在直線分別于點(diǎn)R、S、T.

        求證:.

        證明:取為一組基底

        設(shè)

        從而:

        證畢。

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