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        考研高等數(shù)學(xué)中的極限試題分析

        2015-08-22 03:38:04
        科技視界 2015年3期
        關(guān)鍵詞:利用分析

        夏 天

        (貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng)550025)

        極限概念在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位,它貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容之中。因此,在每年的考研的高等數(shù)學(xué)試題中,必有求極限方面的試題。本文首先對(duì)極限試題的題型作一概括介紹,然后針對(duì)每種題型,根據(jù)夏天所提的“難度系數(shù)法”(見文獻(xiàn)[1])來分析題型。所謂的“難度系數(shù)法”,就是根據(jù)解題時(shí)所用公式、概念的難度以及所用知識(shí)點(diǎn)的多少,將其難度劃分為若干等級(jí),進(jìn)行綜合打分。最后,根據(jù)這個(gè)綜合打分,來解釋極限試題??嫉念}型。

        極限試題的類型可分為以下幾大類(主要參考了文獻(xiàn)[3]):

        (2)冪指型極限求法,即型的極限。利用冪指函數(shù)的運(yùn)算法則求極限。 比如:若 xn>0,n=1,2,…,且

        但對(duì)于 00、1∞、∞0型的極限,需利用對(duì)數(shù)恒等式,將化為

        (3)利用無窮小的性質(zhì)求極限。比如:有界變量與無窮小的乘積仍是無窮小。

        (4)利用等價(jià)無窮小求極限。比如:當(dāng)x→0時(shí),

        對(duì)于1∞型的極限,常??衫弥匾獦O限來求極限。

        (6)利用 L’Hospital(羅必達(dá))法則求極限。

        解題常用的技巧是:將分子或分母中的某些因子,利用等價(jià)無窮小,化為x的冪的形式,

        (8)利用定積分的定義求極限。

        (9)利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

        對(duì)于連續(xù)函數(shù),求極限時(shí),函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)可以交換。主要利用這個(gè)性質(zhì)來求極限。

        上面只是例舉了一些常見的求極限的題型。當(dāng)然,求極限的方法還有很多,比如:利用兩邊夾法則求極限,利用單調(diào)有界原理求極限等等,但由于研究生數(shù)學(xué)考試大綱沒有提出要掌握這些內(nèi)容。本文就不做分析了。

        本文對(duì)于求極限的題型,根據(jù)所用的公式、概念和方法,將其難度分為三個(gè)等級(jí),其難度系數(shù)分別賦予值1、1.5、2。比如,對(duì)于題型1,其計(jì)算公式很簡(jiǎn)單,難度系數(shù)定義為1;再比如,對(duì)于題型2,一般利用恒等式,將 a(x)b(x)化為 eb(x)lna(x),再根據(jù)極限的運(yùn)算法則,求 limeb(x)lna(x),其難度系數(shù)為1.5;至于題型4,用等價(jià)無窮小來求極限,由于無窮小的概念較難理解,且等價(jià)無窮小涉及的公式較多,故難度系數(shù)規(guī)定為2.

        對(duì)于題型,根據(jù)其解題時(shí)所用到的知識(shí)點(diǎn)的多少,對(duì)其難度進(jìn)行打分。所用的知識(shí)點(diǎn)多,難度系數(shù)就高,所用的知識(shí)點(diǎn)少,難度系數(shù)就低。比如:題型1,只用到簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算,故難度系數(shù)定義為1;再比如:題型 2,一般利用恒等式,將 a(x)b(x)化為 eb(x)lna(x)后,主要求乘積項(xiàng)的極限limb(x)lna(x),這時(shí)可能用到等價(jià)無窮小的方法,也可能用到羅必達(dá)法則,等等,靈活性較大,故其難度系數(shù)規(guī)定為2。至于用羅必達(dá)法則求極限,可能要多次使用羅必達(dá)法則,運(yùn)算量較大,且在求解的過程中,可能還需用等價(jià)無窮小來化簡(jiǎn),因此難度系數(shù)規(guī)定≥2。

        下面我們將求極限的主要題型,對(duì)其綜合難度系數(shù)進(jìn)行了如下分析:

        表1 難度系數(shù)表

        近年來,考研高等數(shù)學(xué)的試題中,每年都有極限的試題,這些試題基本上是考察學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力,這類考題其綜合難度系數(shù)一般≥3,下面針對(duì)近年來的試題作具體的分析。下面的習(xí)題1-9,見文獻(xiàn)[3]。

        (1)(2007年數(shù)學(xué)一、三 (11),填空題,4分)

        答案:0。

        難度分析:題型3,利用無窮小的性質(zhì)求極限,難度系數(shù)為3。

        (2)(2008年數(shù)學(xué)一、三(15),解答題,10分)求極限

        難度分析:題型6,利用L’Hospital(羅必達(dá))法則求極限。首先用了一個(gè)技巧,將難度系數(shù)為≥1;然后利用等價(jià)無窮?。簂n( 1+x)~x(當(dāng)x→0時(shí))來進(jìn)行代換,難度系數(shù)為1;最后,利用羅必達(dá)法則來求極限,難度系數(shù)為1;故本大題綜合難度系數(shù)為≥3。

        (4)(2010 年數(shù)學(xué)一、三(1),選擇題,4 分)

        (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

        答案:(C)

        (5)(2010 年數(shù)學(xué)一、三(15),解答題,10 分)求極限

        難度分析:題型2,冪指型極限。用到對(duì)數(shù)恒等式、羅必達(dá)法則、等價(jià)無窮小代換,綜合難度系數(shù)≥3.

        (6)(2011 年 數(shù) 學(xué) 一 、 三 (15), 解 答 題 ,10 分 ) 求 極 限

        解:

        難度分析:題型6,用羅必達(dá)法則求極限。第一步,將ln(1+x)替換為等價(jià)無窮小x,難度系數(shù)為1;后面反復(fù)用羅必達(dá)法則,難度系數(shù)為3;綜合難度系數(shù)為4.

        (7) (2012 年 數(shù) 學(xué) 一 、 三 (9), 填 空 題 ,4 分 )

        解:

        1∞型。也可利用重要極限來求。事實(shí)上,

        難度分析:題型2:冪指型極限,難度系數(shù)為3。

        從上面的分析可見,解答題的試題,都是出現(xiàn)在難度系數(shù)≥3的部分。因此,同學(xué)們?cè)诳佳袕?fù)習(xí)時(shí),要重點(diǎn)復(fù)習(xí)難度系數(shù)表中綜合難度系數(shù)≥3的內(nèi)容。常考的題型是:冪指型極限求法(題型2),利用無窮小的性質(zhì)求極限(題型3),利用等價(jià)無窮小求極限(題型4),利用重要極限求極限(題型 5),利用 L’Hospital(羅必達(dá))法則求極限(題型6)。而等價(jià)無窮小方法(題型4),又常常與其他方法結(jié)合使用,因此顯得更為重要。同學(xué)們要特別加以重視。

        [1]夏天.考研高等數(shù)學(xué)中概率統(tǒng)計(jì)試題分析[J].考試周刊,2013,19:3-5.

        [2]2007年~2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題[OL].中國(guó)教育在線,www.edu.cn,

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