□文/李文強

（昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院新疆·昌吉）

考慮訂貨資金約束的擴展報童模型研究

□文/李文強

（昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院新疆·昌吉）

針對考慮資金約束的報童模型展開研究，在經(jīng)典報童模型基礎(chǔ)上建立考慮資金約束的報童模型，并給出最優(yōu)解的求解方法，分析最優(yōu)解的性質(zhì)，同時分析資金約束對最優(yōu)訂貨量和報童利潤的影響，最后給出實例驗證模型的合理性和有效性。

報童模型；資金約束

收錄日期：2015年6月1日

一、引言

報童模型是隨機存貯理論中的經(jīng)典內(nèi)容，應(yīng)用背景十分廣泛。生產(chǎn)生活中很多實際問題都可以看作報童問題解決，因此國內(nèi)外的專家學(xué)者都對其進行了廣泛而又深入的研究。然而，經(jīng)典的報童模型在解決實際問題仍然面臨一些問題和挑戰(zhàn)。在競爭日益激烈的市場環(huán)境下零售商在確定訂貨量時要受到各種實際條件的制約，最常見的制約因素就是資金約束。因此，對報童模型進行擴展研究成為了新的趨勢，對考慮資金約束的報童模型進行研究具有一定的實際應(yīng)用價值。到目前為止在考慮約束條件的報童模型的研究中主要包括：考慮服務(wù)水平約束、考慮庫存約束、考慮預(yù)算資金約束等。蘇欣等建立了考慮一般費用約束、商品處理預(yù)算費用約束和缺貨預(yù)算費用約束的三種擴展報童模型并給出了最優(yōu)解。本文針對考慮訂貨資金約束的報童模型進行擴展研究，簡述考慮訂貨資金約束的擴展報童模型，給出求解最優(yōu)解的方法，同時分析最優(yōu)解的性質(zhì)。最后以實例分析訂貨資金約束對最優(yōu)訂貨量和報童利潤的影響。

二、經(jīng)典報童模型

在經(jīng)典的報童模型中，假設(shè)每天賣出去的商品數(shù)量是隨機的，商品的單位進價為w，商品的單位零售價為p，未銷售商品的單位殘值為s，根據(jù)實際情況假設(shè)p＞w＞s，不考慮缺貨損失，則報童的利潤函數(shù)π（q，D）為：

其中q為訂貨量，D為市場的隨機需求，是隨機變量，需求函數(shù)的概率密度函數(shù)f（x）＞0，需求函數(shù)的累計分布函數(shù)為F（x），且假設(shè)F（x）可微、可逆，其逆函數(shù)為F-1（·）。則此模型中報童的期望銷售量為：

期望剩余庫存為：

則期望利潤為：

三、考慮訂貨資金約束的擴展報童模型

實際的生產(chǎn)生活中企業(yè)的發(fā)展經(jīng)常受到資金因素的影響，并不是需要多少就能訂多少，想訂多少就能訂多少。在經(jīng)典的報童模型中并沒有考慮企業(yè)訂貨資金對最優(yōu)訂貨量的影響，而實際問題需要把訂貨資金的約束考慮進去。假設(shè)零售商可用于訂貨的訂貨資金為M，則考慮訂貨資金約束的擴展報童模型為：

考慮訂貨資金約束的擴展報童模型的最優(yōu)解由定理1給出。

定理1考慮訂貨資金約束的擴展報童模型的最優(yōu)訂貨量

由定理1可以得到如下兩個推論：

推論1對于考慮訂貨資金約束的擴展報童問題，當(dāng)可供使用的訂貨資金較低時，即最優(yōu)訂貨量為，即最優(yōu)訂貨量為訂貨資金所允許的最大訂貨量；當(dāng)訂貨資金充裕時即最優(yōu)訂貨量為傳統(tǒng)經(jīng)典報童模型的訂貨量，不受有限資金的約束。

推論2對于考慮訂貨資金約束的擴展報童問題，當(dāng)可供使用的訂貨資金較低時即報童的最大期望利潤是訂貨資金的增函數(shù)；當(dāng)訂貨資金充裕時即最優(yōu)訂貨量不受訂貨資金的約束，最優(yōu)訂貨量為經(jīng)典報童模型的最優(yōu)訂貨量。

四、算例分析

考慮A零售商訂購商品，市場的隨機需求D服從區(qū)間［0，100］上的均勻分布，其他參數(shù)如表1所示。（表1）

表1 算例中的各參數(shù)

不考慮訂貨資金約束和考慮訂貨資金約束的報童模型計算結(jié)果見表2。（表2）

表2 不考慮訂貨資金約束和考慮訂貨資金約束的最優(yōu)訂貨量和期望利潤

在考慮訂貨資金約束時，分別取訂貨資金約束M＝385，455，525，700，從表2中可以看出當(dāng)資金約束小于等于525時，即M＝385，455，525，隨著訂貨資金約束的提高，最優(yōu)訂貨量增加，且都等于訂貨資金所允許的訂購的最大商品數(shù)量，最優(yōu)利潤增加。當(dāng)M＝700時，資金約束不起作用，此時最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)期望利潤與經(jīng)典報童模型相同，驗證了定理1和推論1、2的正確性。

五、結(jié)束語

本文對考慮訂貨資金約束的擴展報童問題進行研究，建立考慮訂貨資金約束的擴展報童模型，給出最優(yōu)解的求解方式，同時分析訂貨資金約束對最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)期望利潤的影響，具有一定的實際應(yīng)用價值。但本文沒有把資金的時間價值考慮進去，既是本文的不足之處，也是今后可供研究的方向。

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