王丹峰（延邊第二中學，吉林 延吉 133000）

深入理解教材 靈活使用教材
——《雙曲線定義及其標準方程》教學感悟

王丹峰
（延邊第二中學，吉林 延吉 133000）

本節(jié)課的重點是雙曲線的定義，在定義的探究過程中，采取了整體呈現(xiàn)的方式，幫助學生深刻全面的理解雙曲線的定義。在推導雙曲線標準方程時采用了類比的策略，使學生既能輕松推導出方程，又能用聯(lián)系的觀點看待研究對象。

雙曲線定義；標準方程；整體呈現(xiàn)；類比

數(shù)學教材是數(shù)學知識的載體，是教師進行教學活動的主要依據，是學生學習和掌握數(shù)學知識的主要工具。但是在實際教學中常常出現(xiàn)照本宣科和脫離教材的情況，教材的價值得不到體現(xiàn)，降低了課堂教學的有效性。如何有效使用教材成為一名教師的必修課，也是衡量一名教師是否成熟的一個重要標志。

一、深入理解教材，整體把握內容要求

有效使用教材，首先必須認真研讀教材、分析教材、理解教材。只有在吃透教材的基礎上使用教材才能得心應手，才能使教材更好地服務課堂教學，這樣課堂才更有活力。通過研讀教材，發(fā)現(xiàn)雙曲線與橢圓無論是定義方式，還是標準方程的形式都非常相類似，教材的處理辦法也相仿，在知識體系中兩者表現(xiàn)為平行關系.所以在教學中一方面要注意與以學習過的橢圓進行類比，在類比遷移中找到知識與方法的相通處；另一方面也要注重其相異點，以建構起新的數(shù)學認知.學好本節(jié)課內容是學好圓錐曲線關鍵之一，對后面能進一步理解由曲線求方程和由方程討論曲線性質打好基礎，從而借助形與數(shù)的對應關系，把形的問題轉化為數(shù)來研究.把數(shù)的問題轉化為形來討論，幫助學生進一步感受坐標法及數(shù)形結合的思想，為后面用代數(shù)方法研究拋物線提供必要的思維工具。

【教學片斷 1】類比橢圓標準方程的建立過程，推導雙曲線的標準方程：

以F1F2所在直線為x軸，以F1F2的垂

直平分線為y軸，建立直角坐標系xoy.

設M（x，y）是雙曲線上任意一點，焦點F1

F2坐標分別為（-c，0），（c，0）.

F2坐標分別為（-c，0），（c，0）.

焦點在x軸上的橢圓標準方程：

互換x，y得到

焦點在y軸上的橢圓標準方程：

建 設

限制條件

代坐標

化簡

焦點在x軸上的雙曲線標準方程：

焦點在y軸上的雙曲線標準方程：

這節(jié)課的一個教學難點就是推導雙曲線標準方程，如果類比橢圓標準方程的建立過程推導雙曲線的標志方程，不僅可以降低推導難度，而且還能夠觀察發(fā)現(xiàn)雙曲線與橢圓的標準方程的異同點，便于學生理解記憶雙曲線標準方程及參數(shù)含義。另外通過這個推導過程，學生再次鞏固了含有兩個根式的方程的化簡方法，提高了計算能力，一舉多得。

二、靈活使用教材，揭示概念全貌

教師要想駕馭好課堂、把握好教材，就必須認真專研教材，揣摩編寫意圖，

領悟精神實質。教師每天不能照本宣科，要有批判精神，既要準確全面地領悟編者意圖，有要靈活地使用好教材這個教學工具，同時對使用教材教師一定要有自己的理解，必要的時候還要根據本班學生情況和教學實際對教材進行適當?shù)母脑旒庸?，?chuàng)造性地使用教材。普通高中課程標準試驗教科書《數(shù)學 2-1》在本節(jié)課課前創(chuàng)設了一個實驗情景——拉鏈實驗，想通過這個實驗幫助學生直觀感知雙曲線的圖形特點，然后觀察圖形類比橢圓定義歸納總結雙曲線定義。但筆者認為教材中的實驗結果過于單一直白，沒有讓學生領略到概念的全貌，沒有完整回答地“平面內到兩點距離之差的點的軌跡”，根據這種教學實際情況有必要對教材中教學實驗進行改造，以達到更好的教學效果。

【教學片斷2】拉鏈實驗探究雙曲線定義：

實驗工具：一張白板（中央取兩個定點F1、F2）、一條拉鏈、兩個圖釘；

實驗方案：

方案 1：在拉鏈底端取兩個對稱點左 A右 B分別固定在F1、F2處，把筆尖放在結點M處，隨著拉鏈的拉開與閉合，筆尖就畫出一條曲線，記為曲線（1）；

方案2：左點A不動，在右邊B點上面取一點C固定在F2處，同樣辦法畫出曲線（2）；

方案3：將拉鏈橫向固定在F1、F2處，筆尖從F2向右滑動，畫出曲線（3）；

實驗結果

【問題1】在運動中，三條曲線上的點M 到兩個定點F1、F2距離之差是多少？

【問題 3】左側曲線上的點滿足什么幾何特征？

【問題 4】剛才我們和同學們總結了這五種曲線上的點各自的幾何特征，那這五種曲線上的點有沒有共同的特征呢？

學生4：到兩定點距離之差都等于常數(shù)。

這五種曲線就回答了課前提出問題的答案，我們來認識一下這五種曲線，曲線（1）是線段F1F2的中垂線，曲線（3）（4）是線段F1F2的延長線和反向延長線，而曲線（2）（5）就是雙曲線。

【問題 5】你能結合圖形及點的特征，并類比橢圓定義歸納雙曲線的定義嗎？

學生5：平面內與兩個定點F1F2距離之差的絕對值是常數(shù)（小于F1F2距離）點的軌跡叫做雙曲線。其中兩個定點 F1F2叫做雙曲線的焦點，F(xiàn)1F2的距離叫焦距用2c表示，每一條叫做雙曲線的一支。

通過以上對教材中拉鏈實驗的二次改造，學生能夠全面準確地掌握雙曲線的概念，加深理解其數(shù)學本質，再配合上環(huán)環(huán)相扣的問題串，學生就能夠順理成章地理解雙曲線標準方程中參數(shù)的幾何意義及其相互關系，是學生被動式的接受知識變成主動式的探究問題。結合教學實際對教材進行有針對性的改造，既可以提高課堂教學效果，又可以鍛煉提高教師業(yè)務素養(yǎng)，尤其對于一名青年教師來說，要想盡快地成為一名成熟教師亦或一名優(yōu)秀教師，必須要學會如何號準了教材的脈，只有號準了教材的脈才能把握課堂教學的脈。

［1］華志遠.“超前嘗試、同伴成長”課堂教學設計的案例研究［J］.數(shù)學通訊，2010（8）.

［2］張艷，薛紅霞.整體呈現(xiàn) 比較研究［J］.中國數(shù)學教育，2013（4）.

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