陳旭東

（泉州醫(yī)學高等?？茖W校泉州市362000）

泰勒公式及泰勒級數(shù)在數(shù)學的應用中極為廣泛，例如泰勒公式在求和以及判斷級數(shù)的懶散性方面的應用、在函數(shù)的斜漸近線方面的應用、在數(shù)值積分方面的應用以及在最優(yōu)理論中的應用，它能夠有效的解決數(shù)學中遇到的一系列難題，從而可以提高教學水平以及教學質(zhì)量，開發(fā)學生的思維，使學生更好的處理在數(shù)學中遇到的一系列難題，從而提高解決問題的能力。

一、泰勒公式和泰勒級數(shù)

1.泰勒公式

泰勒公式指的是在高等數(shù)學中，用于函數(shù)的分析和計算，在函數(shù)中，為了求其函數(shù)值，可以將一些初等的函數(shù)將其轉(zhuǎn)化成一些冪級數(shù)進行換算，從而高效并準確的對數(shù)學函數(shù)進行公式的運算和求解，泰勒公式有利于函數(shù)進行精細的分析和計算，打破無理和超越函數(shù)的極限對其結(jié)果進行換算，有效的簡化了計算步驟和計算程序，從而廣泛應用于數(shù)學計算方面。泰勒公式的使用有其一定的條件：在泰勒公式的使用中，要滿足一定的條件才能進行使用，那就是必須保證f(x)n階可導。

在已知函數(shù)中，若該函數(shù)足夠光滑，那么在該函數(shù)一點的各階導數(shù)值的情況下，可利用泰勒公式與該導數(shù)值做系數(shù)，從而建立一個多項式近似函數(shù)，在這一鄰域點的值。同時泰勒公式還可以計算出該多項式與實際函數(shù)值之間的偏差。

2.泰勒級數(shù)

定義：在一個數(shù)學函數(shù)f（x）中，該函數(shù)在點的鄰域中具有直到（n+1）階導數(shù)。泰勒級數(shù)就是指像此類函數(shù)一樣的它在計算以及轉(zhuǎn)化中的方式，泰勒級數(shù)在數(shù)學的計算中是必不可少的，在數(shù)學計算中占據(jù)著重要的作用。

3.泰勒公式和泰勒級數(shù)在數(shù)學計算應用的重要作用

在函數(shù)的求和過程中，可以對冪函數(shù)的求導以及積分非開進行，這樣就可以使函數(shù)的求和變得相對簡單容易一些。泰勒級數(shù)對函數(shù)的數(shù)值進行大概的計算，泰勒級數(shù)可以對一個區(qū)域進行解析并得到一個函數(shù)，它可以被稱為解析函數(shù)使復分析這種方式得到有效的應用。

4.兩者之間的差異性

從泰勒公式以及泰勒級數(shù)的定義我們不難看出，泰勒公式對函數(shù)的連續(xù)導數(shù)要求不高，只要求其在0點上可以直接到n+1的連續(xù)導數(shù)，而泰勒級數(shù)要求函數(shù)具有任意階的導數(shù)，還要求具有余項，所以，我們可以將泰勒級數(shù)作為泰勒公式的延伸來對其進行定義與應用。

5.求函數(shù)在0點出的泰勒級數(shù)的方法

一種是可以直接計算出它的泰勒級數(shù)，主要就是先計算出函數(shù)在0點的各階的導數(shù)，將其泰勒級數(shù)寫出來，并根據(jù)余項的收斂來確定其收斂的區(qū)域范圍，但是運用此方法有一個不可避免的難度就是計算及驗證余項，所以一般除了簡單的求函數(shù)級數(shù)的題外，一般都不建議采用此方法進行運算。還有一種辦法就是間接的來求該函數(shù)級數(shù)，一般可以借一些簡單的最基本的函數(shù)形式進行交換運算，逐項的進行求積，最后可以導出函數(shù)的泰勒級數(shù)，這是最簡單的也是在數(shù)學應用中使用最廣泛的方法，所以這就要求學生必須掌握基本的函數(shù)展開式的方法，以及泰勒公式的使用方法，更好的對其進行運算。

二、泰勒公式和泰勒級數(shù)在數(shù)學中的應用

1.泰勒公式在求和以及判斷級數(shù)的懶散性方面的應用

在函數(shù)中，不同的函數(shù)有不同的結(jié)構(gòu)，所以用泰勒公式的收斂性可以將不同結(jié)構(gòu)的函數(shù)都統(tǒng)一為同一結(jié)構(gòu)的冪函數(shù)進行求和，它是研究數(shù)學領(lǐng)域函數(shù)的重要手段主要運用高階導數(shù)進行研究，所以用泰勒公式或者是泰勒級數(shù)都可以對級數(shù)進行求和并判斷級數(shù)的懶散性，以下實例就證明了它的這一特性。

例1運用泰勒公式對函數(shù)進行求和計算時，首先應該根據(jù)該級數(shù)的特性，得出該公式的冪級數(shù)，之后再根據(jù)其冪級數(shù)，得出該冪級數(shù)的收斂公式，將冪級數(shù)換成想要的形式，我們可以設(shè)該函數(shù)設(shè)為另一計算函數(shù)，之后得出原級項數(shù)級數(shù)的和，根據(jù)以上步驟，就可以解出該函數(shù)的級數(shù)。

級數(shù)的斂散性的判斷在數(shù)學的應用中來說是比較困難且復雜的，所以在解題的過程中應該注意對函數(shù)的放縮以及早級數(shù)的性質(zhì)的應用，把這些要求應該合理的結(jié)合加以應用，才能高效率的解出相應函數(shù)[4]。

同時在證明數(shù)列的收斂性時，根據(jù)數(shù)列自身的特性，以及已知條件得出數(shù)列n達到相應程度之后，呈現(xiàn)正數(shù)且與數(shù)列中的某一相關(guān)聯(lián)量同階無窮小，最后得出數(shù)列的收斂性。

2.求函數(shù)的斜漸近線

函數(shù)的斜漸近線是指在一個函數(shù)中，當x的大小屬于無窮盡時，函數(shù)沒有界限的接近一條固定的直線，但是在這一概念中，直線與該函數(shù)的垂直距離屬于無限小的階段。所以就可以將這一條固定直線稱之為該函數(shù)的斜漸近線。

在具體求解曲線方程式的斜漸近線的方程式時，可以根據(jù)各個曲線方程式，的已知條件與位置條件并對其進行分析，從而利用泰勒公式，對曲線方程式進行計算分解，之后就可以解出該曲線的斜漸近線方程。

3.泰勒公式在數(shù)值積分方面的應用

我們可以將f(x)設(shè)為F(x)的原函數(shù)，我們?nèi)绻胍绤^(qū)間（a，b）的定積分，可以使用牛頓—萊布尼茲公式得出。但是，有的原函數(shù)并不能使用初等函數(shù)來代替并表達，還有的函數(shù)非常復雜，很難求出或者計算出該函數(shù)的積分值，如被積函數(shù)的數(shù)據(jù)特別分散的時候，就不能對這種積分進行合理的計算，所以，在函數(shù)數(shù)值的積分方面，并不是所有在區(qū)間上的可積函數(shù)的積分數(shù)值都可以用牛頓—萊布尼茲公式計算得出的，定積分是一個確定的數(shù)值，但是我們并不知道解決定積分的計算方法，所以，這就必須要求我們必須找出定積分的計算方法，這樣我們才能利用泰勒公式建立該函數(shù)的定積分的相似的計算公式，這樣就可以對定積分進行相近的計算，所以，我們可以根據(jù)被積函數(shù)的特性，看其是否可以在積分區(qū)間上展開形成冪級數(shù)，再然后把這個冪級數(shù)進行逐項的積分分析，最后用積分以后的級數(shù)算出該函數(shù)定積分的近似值。

4.泰勒公式在最優(yōu)理論中的應用

泰勒公式的應用在解答原函數(shù)時，是指將原目標函數(shù)的點在其附近展開成泰勒多項式，函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，與目標函數(shù)的導數(shù)和其梯度相關(guān)，在計算與研究某一特定方向的變化率和其最大的變化率，就要用到該函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度，函數(shù)的極大值和極小值的相關(guān)問題，主要包括無約束目標函數(shù)的極值條件以及無約束優(yōu)化等問題，為了確定該函數(shù)的最優(yōu)點，一般都先求出若干個極值點并將其進行比較，在設(shè)計問題的優(yōu)化過程中，函數(shù)只有在具備了某種特定的性質(zhì)時，目標函數(shù)的局部極小點才能代表全局的極小點，否則一般都無法將其相提并論，在目標函數(shù)的約束最優(yōu)點上，它與目標函數(shù)自身的屬性特質(zhì)以及約束函數(shù)的特質(zhì)相關(guān)，所以有時候為了要滿足約束條件的限制因素，目標函數(shù)的自然極點值也并不一定會是該函數(shù)的最優(yōu)點。它的應用主要包括在數(shù)值最優(yōu)理論證明時的應用以及在數(shù)值最優(yōu)化算法設(shè)計中的應用[5]。

三、結(jié)束語

本文首先介紹了泰勒公式和泰勒級數(shù)的一些相關(guān)理論知識，進而又通過具體的舉例如泰勒公式在求和以及判斷級數(shù)的懶散性方面的應用、在函數(shù)的斜漸近線方面的應用、在數(shù)值積分方面的應用以及在最優(yōu)理論中的應用，具體的討論了泰勒公式在與泰勒級數(shù)高等數(shù)學中的廣泛應用與其重要性，是非常重要的、必不可少的在數(shù)學中計算數(shù)值的工具，它可以有效的解決高等數(shù)學中的復雜難題，對學術(shù)以及科研都有很大的意義。泰勒公式和泰勒級數(shù)在高等數(shù)學中的應用非常廣泛，遠不止文章中的這些，它在其他方面也有很廣泛的應用，所以，我們應該對其進行更多更深方面的探討和研究。

[1]石國學.泰勒公式及泰勒級數(shù)應用問題舉例[J].考試周刊，2014，56:69-70.

[2]齊永波.關(guān)于泰勒公式及其應用的思考與討論[J].學園，2014，33:63.

[3]于祥芬，李瑩.泰勒公式的幾點應用[J].科教文匯(上旬刊)，2011，02:88+107.

[4]杜曉梅.將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)探微[J].黑龍江生態(tài)工程職業(yè)學院學報，2014，01:101-102.

[5]莫慶美.泰勒公式在高等數(shù)學解題中的使用技巧[J].河南科技，2014，04:198-199.