鄭 甜

（貴州省貴陽市第一中學(xué)）

新課標(biāo)人教A 版高中數(shù)學(xué)教材中新增加了幾何概型的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)的過程中往往會(huì)遇到較大的困難，學(xué)生對(duì)于幾何概型的理解有一定的困難，特別是要讓學(xué)生對(duì)幾何概型的定義和特征進(jìn)行把握。本文通過分析幾何概型中類似貝特朗概率悖論問題對(duì)幾何概型中的這一問題進(jìn)行了闡述。

一、幾何概型的定義和特點(diǎn)

所謂的幾何概型是幾何概率模型的簡(jiǎn)稱，也就是每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例的概率模型。高中數(shù)學(xué)中的幾何概型能夠在實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)無限多個(gè)基本事件，而每個(gè)基本事件的出現(xiàn)都具有相等的可能性。在教學(xué)時(shí)教師要讓學(xué)生理解，在做幾何概型的題時(shí)要嚴(yán)格把握幾何概型的定義和特點(diǎn)，避免出現(xiàn)誤解。

貝特朗概率悖論問題一經(jīng)提出就引起了數(shù)學(xué)界極大的震動(dòng)。在新課標(biāo)人教A 版高中數(shù)學(xué)教材中引入了古典概型和幾何概型的概念，并從古典概型入手，要求學(xué)生能夠?qū)臼录M(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)數(shù)和合理的描述。學(xué)生要能夠掌握幾何概型中的具體情境分析，能夠?qū)臼录陌l(fā)生進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將其轉(zhuǎn)變?yōu)樘囟▍^(qū)域內(nèi)的隨機(jī)取點(diǎn)。教材在幾何概型這方面旨在對(duì)學(xué)生的建模能力和類比猜想能力進(jìn)行培養(yǎng)和提高，并在其中滲透了豐富的數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，是新課標(biāo)人教A 版高中數(shù)學(xué)教材中的一項(xiàng)難點(diǎn)內(nèi)容。

在教學(xué)的過程中，幾何概型的教學(xué)難點(diǎn)就在于如何讓學(xué)生把握住幾何概型的定義和特征，不要出現(xiàn)類似貝特朗概率悖論的問題。

二、貝特朗概率悖論問題

貝特朗概率悖論問題是一個(gè)著名的問題，其內(nèi)容為“有一個(gè)半徑為1 的圓，在圓內(nèi)隨機(jī)地將一條弦去除，那么弦的長(zhǎng)度超過圓的內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率有多大？”

該問題就有三種不同的解題方法，之所以會(huì)對(duì)同一種問題出現(xiàn)多種不同的解法，正是因?yàn)榈瓤赡艿慕嵌炔煌?/p>

1.如圖1 第一幅圖，在垂直于三角形任意一邊的直徑上隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，并通過該點(diǎn)做一條垂直于該直徑的弦，由圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)可得，在該點(diǎn)位于半徑中點(diǎn)的時(shí)候弦長(zhǎng)度等于三角形的邊長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)離圓心的距離小于時(shí)弦長(zhǎng)度大于三角形邊長(zhǎng)。所以概率此時(shí)若設(shè)弦長(zhǎng)為y，圓心到直徑上的這個(gè)點(diǎn)的距離為x，則，假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，直徑上的點(diǎn)組成樣本空間Ω1。兩變量的變化率不一樣，不能用點(diǎn)離圓心的距離小于1 2 r 的概率取代弦長(zhǎng)度大于三角形邊長(zhǎng)的概率。

2.如圖1 第二幅圖，通過三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)做圓的切線，因?yàn)榈冗吶切蝺?nèi)角為60°，所以左邊右邊的角都是60°。由該頂點(diǎn)做一條弦，弦的另一端在圓上任意一點(diǎn)。由圖可知弦與切線成60°角和120°角之間的時(shí)候弦長(zhǎng)度大于三角形邊長(zhǎng)，所以概率此時(shí)若設(shè)弦長(zhǎng)為y，弦與該切線的夾角為x，則假定弦的另一端在圓周上均勻分布，圓周上的點(diǎn)組成樣本空間Ω2。兩變量的變化率不一樣，所以不能用弦與切線成60°角和120°角之間的概率取代弦長(zhǎng)度大于三角形邊長(zhǎng)的概率。

3.如圖1 第三幅圖，當(dāng)弦的中點(diǎn)在陰影標(biāo)記的圓內(nèi)時(shí)，弦的長(zhǎng)度大于三角形的邊長(zhǎng)，而大圓的弦中點(diǎn)一定在圓內(nèi)，大圓的面積是πr2，小圓的面積是所以概率假定弦的中點(diǎn)在大圓內(nèi)均勻分布，大圓內(nèi)的點(diǎn)組成樣本空間Ω3。

三、對(duì)貝特朗概率問題的分析

每一個(gè)弦都可以被其中點(diǎn)唯一決定。上述三種方法會(huì)給出不同中點(diǎn)的分布。方法1 和方法2 會(huì)給出兩種不同不均勻的分布，而方法3 則會(huì)給出一個(gè)均勻的方法。

在幾何概型中，對(duì)某一隨機(jī)事件的概率可以用體積、面積和長(zhǎng)度來進(jìn)行計(jì)算，其中的基本原理就在于每個(gè)基本事件都與一個(gè)點(diǎn)相互對(duì)應(yīng)，這些點(diǎn)均勻分布，構(gòu)成了空間幾何體、平面區(qū)域或者曲線段。盡管幾何概型與古典概型有一定的區(qū)別，不能用數(shù)事件的方式來對(duì)概率進(jìn)行計(jì)算，但仍然可以以體積、面積和長(zhǎng)度之間的比例來對(duì)事件的概率進(jìn)行計(jì)算。

數(shù)學(xué)的解題方法可以有多種，但結(jié)果應(yīng)該一致，所以貝特朗悖論所提供的幾種解法存在一定的問題，雖然其轉(zhuǎn)換過程并無問題，但是轉(zhuǎn)完之后導(dǎo)致了基本事件發(fā)生的可能性不等，因此貝特朗所構(gòu)造的前兩種模型是不符合幾何概型的，不能用幾何概型的方法解決。

新課標(biāo)人教A 版高中數(shù)學(xué)教材中加入的幾何概型內(nèi)容是一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。本文通過對(duì)貝特朗概率悖論問題的三種解法進(jìn)行分析，向?qū)W生闡明了在解答幾何概型題目時(shí)應(yīng)該對(duì)幾何概型的定義和特征進(jìn)行把握，避免出現(xiàn)誤解的現(xiàn)象。

張曉飛，鄧迎春.淺談以圓為載體的一類幾何概型的測(cè)度問題［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)：高中版，2014（03）.