◆王麗杰

(吉林省四平市梨樹實驗中學(xué))

一、研究意義

按照新課標的要求，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該“讓學(xué)生了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用”。在高中數(shù)學(xué)課堂上合理地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，可以使學(xué)生充分地了解知識的本質(zhì)，有助于學(xué)生把學(xué)到的知識聯(lián)系融會貫通。通過學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的感受、體驗和思考，來加強學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的解題能力。通過高中課堂中數(shù)形結(jié)合方法的廣泛應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力。

二、相關(guān)理論概述

1.數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)的兩大重要研究對象是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式。數(shù)和形不可分割，數(shù)量關(guān)系往往抽象難懂，但再難理解的抽象關(guān)系也有其直觀的幾何意義，而直觀的圖形的本質(zhì)也可以用數(shù)量關(guān)系的語言準確的描述。在數(shù)學(xué)中，研究數(shù)量關(guān)系的研究，需要借助于直觀圖形;研究圖形的性質(zhì)，需要借助數(shù)量關(guān)系為理論基礎(chǔ)。

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上最重要的解決問題的方法，數(shù)形結(jié)合根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，解析出問題的代數(shù)含義的同時，又揭示了直觀層面上的集合幾何含義。數(shù)形結(jié)合方法在解題中作用非凡，它能給我們一個全新的思路去解決問題，如果在數(shù)的層面無法突破問題，就可以轉(zhuǎn)到直觀圖形上來思考，反之依然，這樣就能從全新的角度來培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，簡化解題過程的能力。

2.中學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的形成過程

按照中學(xué)生對新事物的認知規(guī)律，數(shù)形結(jié)合思想的形成過程分為四個階段，即感受、理解、運用、內(nèi)化。感受是指對某一事實發(fā)生的感覺，以數(shù)學(xué)課堂為載體，以教師的指導(dǎo)為側(cè)重點，意識主要集中在解決問題的思路上，主要是記憶方法。理解是初步的建立了數(shù)形結(jié)合思想，是建立在感受基礎(chǔ)上的一個層面。運用是指在實際的解題過程中運用數(shù)形結(jié)合方法，形成自己的觀點，并且充分地認識到數(shù)形結(jié)合方法的實用特點和在什么問題上可以使用這一方法。內(nèi)化是指將數(shù)形結(jié)合方法在自己的思想意識里轉(zhuǎn)變成為一種成熟的數(shù)學(xué)思想，成為在腦中的一個獨一無二的特有思想。

三、數(shù)形結(jié)合方法在教學(xué)中應(yīng)用的原則

1.等價性

等價性原則是指形的直觀幾何意義應(yīng)該與“數(shù)”的抽象代數(shù)意義是可以相互轉(zhuǎn)化的等價量，即問題的幾何表示與代數(shù)數(shù)量關(guān)系應(yīng)具有一致性。用圖形解題有著重大的局限，不同的人對題目的理解不盡相同，所以所構(gòu)造的圖形就會受到自己理解的影響而出現(xiàn)和實際問題之間的誤差。因此不可避免的會出現(xiàn)解題失誤。如果加以代數(shù)思想來精確的構(gòu)造圖形，就可以避免這種情況的出現(xiàn)。

2.雙向性

雙向性原則是指數(shù)形集合的方法既對問題的代數(shù)性質(zhì)做研究，又對直觀幾何圖形進行分析，代數(shù)運算可以讓數(shù)在圖的基礎(chǔ)上形成有信服度的結(jié)果，且這個結(jié)果比單純幾何構(gòu)圖更具有優(yōu)越性，相反，幾何圖形的表示形式更直觀，這就充分地體現(xiàn)了數(shù)形集合方法的和諧之處。

3.簡潔性

簡潔性原則是指數(shù)轉(zhuǎn)換為圖形的同時，一定要使所構(gòu)造的圖形簡單且充分符合題意，這樣既能通過簡單明了的圖形直觀地分析出問題主旨，又因為所構(gòu)圖形的簡單，可以充分避免繁瑣的運算過程，大大縮短解題時間，同時也可使復(fù)雜的問題變的簡單化。符合數(shù)學(xué)解題簡潔美的根本要求，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解決實際問題的藝術(shù)性與創(chuàng)新性。

四、數(shù)形結(jié)合方法在教學(xué)中應(yīng)用的策略

1.針對等價性的策略

教師在課堂講授時一定要著重強調(diào)數(shù)形結(jié)合方法中“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換是必須等價的。要知道學(xué)生在遇到問題的時候，先考慮這個問題是用代數(shù)方法簡單還是用幾何方法簡單，然后才可以開始數(shù)與形的等價轉(zhuǎn)換過程。例如，畫在平面直角坐標系下一個圖象，圖象上的每一個點，都對應(yīng)著相應(yīng)的一個函數(shù)的任意一個結(jié)果，即函數(shù)圖象的表示與數(shù)量關(guān)系要一致。而由圖象確定數(shù)量關(guān)系的問題中，要找到函數(shù)圖象中的一些具有代表性的點，將它們通過等價轉(zhuǎn)換，然后列出等價的函數(shù)關(guān)系式，從而快速解出問題。

2.針對雙向性的策略

教師可以在課堂講解中以同一個題目為例，從兩個不同的層面分別展示數(shù)與形的解題方法，然后再闡述這兩種方法的等價性。這樣學(xué)生也會逐漸培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合解題的習(xí)慣。教師在帶領(lǐng)學(xué)生研究時應(yīng)對代數(shù)的抽象特點與幾何圖形直觀特點分別進行學(xué)習(xí)，讓學(xué)生明白它們在解題時的優(yōu)缺點。若所做的題計算比較簡便，畫圖比較麻煩時，我們就擇優(yōu)選取代數(shù)計算的方法，可以縮短做題時間，而且也可以得出更準確的結(jié)果。反之依然?；钣脭?shù)形結(jié)合方法，可以達到優(yōu)勢互補。但是熟練掌握并非一朝一夕，這需要一個長期積累的過程。

3.針對簡潔性的策略

在解決數(shù)學(xué)問題時，我們一定要力求解決問題的簡潔明快，考試中有著多種題型，所以針對題型的不同，所用的方法也就大為不同。做填空選擇題時，我們完全沒有必要畫出準確的圖像，如有需要，畫一個簡單圖像大致表示出代數(shù)關(guān)系就可以了。做解答題時就要精確的畫出圖形，并且要明確畫圖的步驟，這樣可以為作圖縮短時間，也可以保證所畫圖形的準確性。教師在上課時也要構(gòu)造簡潔明了的圖形，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

五、結(jié)語

通過數(shù)形結(jié)合方法引導(dǎo)學(xué)生思維方式的由靜態(tài)到動態(tài)的變化，就是以運動、變化的觀點考慮問題。通過本文的講述我們知道數(shù)形結(jié)合方法，可以增強解決問題的靈活性。在課堂教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，可以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，成為今后解決問題能力形成的關(guān)鍵要素。所以，數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位。它是數(shù)學(xué)思想方法的核心。

［1］教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)［M］.北京:人民教育出版社，2003.

［2］［日］米山國藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法［M］.毛正中，吳素華，譯.成都:四川教育出版社，1986.

［3］王元，陳德泉，計雷等.華羅庚科普著作選集［M］.上海:上海教育出版社，1984.

［4］徐斌艷.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論［M］.杭州:浙江教育出版社，2003.