何昊

談數(shù)學(xué)中的反證法

何 昊

（江蘇省南京市第十三中學(xué)鎖金分校）

摘 要：系統(tǒng)地介紹了理論基礎(chǔ)，對(duì)反證法的邏輯形式，唯一的負(fù)命題，命題，肯定命題三用反證法適用的命題類型進(jìn)行了詳細(xì)討論。

關(guān)鍵詞：反證法；否定性；唯一性

在數(shù)學(xué)的諸多方法中，反證法是一種重要的證明方法，尤其在數(shù)學(xué)證明中，它是一種間接的證據(jù)，被稱為“一個(gè)最先進(jìn)的武器”的數(shù)學(xué)家.反證法經(jīng)常被用來證明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命題.用反證法證明命題成立的基本步驟可以簡(jiǎn)單地概括為“否定—推理—反駁—肯定”四個(gè)步驟.一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決方案，如果你覺得不足或沒有啟動(dòng)的“條件”，不妨考慮反證法的使用.反證法的應(yīng)用范圍很廣，比如代數(shù)、數(shù)論、幾何、組合等方面的應(yīng)用.

一、反證法的概念及類型

反謂反證法，就是在要證明“若A則B”時(shí)，可以先將結(jié)論B予以否定，記作，然后從A與出發(fā)，經(jīng)正確的邏輯推理而得到矛盾，從而原命題得證.

反證法大致可分為以下兩種類型：

歸謬法：論題結(jié)論的反面只有一種情況，只要把這種情況推翻就達(dá)到了目的.

窮舉法：論題結(jié)論的反面不止一種情況，要一一駁倒，最后才能肯定原命題結(jié)論正確.

二、反證法常用于以下幾種命題的證明

1.存在性命題

例1：證明A，B，C，D，E五數(shù)之和等于5，則其中必有一個(gè)不小于1.

分析：這個(gè)問題似乎很簡(jiǎn)單，但直接的證明是不容易的.因此，應(yīng)用反證法，它可以很容易地證明.

證明：假設(shè)A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+E<1×5=5

所以5個(gè)數(shù)都小于1不成立，故必有一個(gè)數(shù)不小于1，即原命題是正確的.

2.否定性命題

例2：設(shè)平面上有六個(gè)圓，每個(gè)圓的圓心都在其余各圓的外部.試證明：平面上任一點(diǎn)都不會(huì)同時(shí)在這六個(gè)圓的內(nèi)部.

分析：直接證明某點(diǎn)在哪些圓的內(nèi)部，在哪些圓的外部，有些困難，故最好用反證法來證明.

證明：假設(shè)平面內(nèi)有一點(diǎn)M同時(shí)在這六個(gè)圓的內(nèi)部，為了方便，我們把繞M的六個(gè)圓心從某個(gè)開始按順時(shí)針方向分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，連結(jié)MA，MB，MC，MD，ME，MF.

考慮△AMB，M在⊙A內(nèi)，B在⊙A外，所以有AB>AM，同理，AB>BM，即在△AMB中，AB大于其他兩邊.

由“大邊對(duì)大角”知，∠AMB>∠ABM.同理，∠AMB>∠BAM.

所以，3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，

所以∠AMB>60°.

同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.

所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.

但是，很顯然，這個(gè)角圍成了一個(gè)周角，它們的和不可能大于360°，出現(xiàn)矛盾.

故而假設(shè)不正確，所以原命題成立.

3.唯一性命題

例3：求證方程x=sinx+a（a為常數(shù)）的解唯一.

分析：直接解或證明是非常困難的，作為唯一的命題往往采用反證法證明.

所以原方程的解是唯一的.

從上面的例子中，我們可以看到，最大的優(yōu)勢(shì)是反證法——超過一個(gè)或幾個(gè)條件，從相反的結(jié)論來看，與一些已知的條件下，原出口的沖突，從而達(dá)到負(fù)的假設(shè)、肯定原命題的目的.從上面，我們應(yīng)該充分利用反證法，必須正確把握靈活運(yùn)用“反設(shè)”“歸謬”這兩個(gè)反證步驟.反設(shè)是反證法的第一步，能否正確否定結(jié)論，對(duì)論證的正確性有著直接的影響.

反證法是很巧妙的，它的應(yīng)用是很廣泛的，但究竟怎樣的命題證明才適于用反證法，卻很難回答，這是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)問題.

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