紀(jì)翔峰，張健，冉斌*

（1.東南大學(xué)城市智能交通江蘇省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096；2.現(xiàn)代城市交通技術(shù)江蘇高校協(xié)同創(chuàng)新中心，南京210096）

基于流體逼近的路段交通流動(dòng)態(tài)加載研究

紀(jì)翔峰1，2，張健1，2，冉斌*1，2

（1.東南大學(xué)城市智能交通江蘇省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096；2.現(xiàn)代城市交通技術(shù)江蘇高校協(xié)同創(chuàng)新中心，南京210096）

路段交通流動(dòng)態(tài)加載是動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)分配模型中的重要組成部分，在路段交通流動(dòng)態(tài)加載中，離散形式或者連續(xù)形式的點(diǎn)排隊(duì)模型被廣泛使用.本文在以往研究的基礎(chǔ)上，提出基于流體逼近的連續(xù)型點(diǎn)排隊(duì)模型，克服了原有點(diǎn)排隊(duì)模型中排隊(duì)負(fù)值的情況.通過分析可以發(fā)現(xiàn)，原有點(diǎn)排隊(duì)模型實(shí)質(zhì)上屬于具有單一服務(wù)臺(tái)和無限容量的排隊(duì)模型，基于流體逼近的思想重新定義了原有點(diǎn)排隊(duì)模型.其中3個(gè)主要部分是流量守恒模型，車輛流出模型和時(shí)間相關(guān)的服務(wù)臺(tái)模型，這3個(gè)模型全部都是連續(xù)的.由于連續(xù)點(diǎn)排隊(duì)對(duì)計(jì)算需求較高，本文將連續(xù)的排隊(duì)模型離散化，模擬了3種不同場(chǎng)景下車輛駛出、路段排隊(duì)情況.本文模型克服了原有點(diǎn)排隊(duì)中的負(fù)排隊(duì)現(xiàn)象，并且排隊(duì)過程滿足先進(jìn)先出的原則，模型具有良好的模擬效果.

交通工程；連續(xù)點(diǎn)排隊(duì)模型；排隊(duì)系統(tǒng)；流體逼近；離散化；非負(fù)排隊(duì)；先進(jìn)先出

1 引言

在最近的幾十年中，動(dòng)態(tài)交通分配模型被廣泛的進(jìn)行研究，并且被應(yīng)用于實(shí)時(shí)的交通管理，如可變信息板等.其中，出行路徑選擇和交通流動(dòng)態(tài)加載是動(dòng)態(tài)交通分配的兩個(gè)主要的組成部分.本文的研究就是基于交通流動(dòng)態(tài)加載展開的.在交通流的動(dòng)態(tài)加載中，Vickrey的點(diǎn)排隊(duì)[1]模型被廣泛的采用[2-6]，但是該模型最大的問題是會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)為負(fù)值的情形[2，3].對(duì)于該問題，國外的學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)的研究.Nie等[3]將點(diǎn)排隊(duì)模型離散化，提出一種改進(jìn)的點(diǎn)排隊(duì)模型克服了負(fù)排隊(duì)的現(xiàn)象.Ban等[4]深入分析了點(diǎn)排隊(duì)模型，提出兩種不同的改進(jìn)方式，一種是通過線性互補(bǔ)方程的形式，一種是提出了所謂的α-模型.Han等[5]通過引入虛擬的空間維變量，將原有的點(diǎn)排隊(duì)模型描述成為質(zhì)量守恒的形式.Ji等[6]提出一種基于流體逼近的連續(xù)型點(diǎn)排隊(duì)模型，克服了原有點(diǎn)排隊(duì)模型中出現(xiàn)非負(fù)排隊(duì)的情形.

本文在以往研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析了基于流體逼近的點(diǎn)排隊(duì)模型在路段交通流動(dòng)態(tài)加載過程中的非負(fù)排隊(duì)及先進(jìn)先出行為.本文首先對(duì)基于流體逼近的連續(xù)型點(diǎn)排隊(duì)模型進(jìn)行回顧，在之前的研究中，求解點(diǎn)排隊(duì)模型的Runge-Kutta算法的計(jì)算需求較大，本文提出對(duì)基于流體逼近的點(diǎn)排隊(duì)模型進(jìn)行Backward離散化，并且采用Backward離散化的模型研究了路段排隊(duì)的非負(fù)性和路段交通流動(dòng)態(tài)加載過程中的先進(jìn)先出行為.通過研究發(fā)現(xiàn)，Backward離散化的模型同樣克服了原有點(diǎn)排隊(duì)模型中出現(xiàn)負(fù)排隊(duì)的情形，并且路段交通流動(dòng)態(tài)加載過程中滿足先進(jìn)先出的原則，具有良好的模擬效果.

2 Vickrey的點(diǎn)排隊(duì)模型

原有的點(diǎn)排隊(duì)模型主要由以下集計(jì)變量組成：

（1）路段的自由流行駛時(shí)間t0和路段的通行能力；

（2）假設(shè)所有車輛的長度可以忽略，在路段的下游處進(jìn)行排隊(duì)，排隊(duì)長度為q(t)；

（3）路段流量的變化情況由排隊(duì)長度的變化情況來反應(yīng)；

（4）路段的旅行時(shí)間τ(t)由路段的排隊(duì)長度與路段通行能力的比值來確定.

p(t)和v(t)分別表示在時(shí)刻t路段的駛?cè)肓髀屎吐范蔚鸟偝隽髀?，具體的點(diǎn)排隊(duì)的模型如下所示：

(1)排隊(duì)長度的改變?yōu)?/p>

(2)初始長度為0，即q(t0)=0.

(3)如果t＜t0，路段的駛出流率為0，即v(t)=0.

(4)如果t＞t0，路段的駛出流率為

(5)如果t∈[0,T-t0]，路段的旅行時(shí)間為τ(t)=t0+()-1q(t+t0).

3 模型構(gòu)建

原有的點(diǎn)排隊(duì)模型會(huì)出現(xiàn)負(fù)排隊(duì)的現(xiàn)象，國外有部分學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究，本文在之前研究的基礎(chǔ)上，首先對(duì)基于流體逼近的點(diǎn)排隊(duì)模型進(jìn)行了回顧.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)排隊(duì)模型實(shí)際上為單一的服務(wù)臺(tái)、容量無限的排隊(duì)模型，如圖1所示.到達(dá)服務(wù)臺(tái)的車輛實(shí)際上是非均勻到達(dá)，也就是車輛的到達(dá)率是時(shí)變的，并且到達(dá)服務(wù)臺(tái)的時(shí)間與車輛駛?cè)肼范蔚臅r(shí)間之間存在固定的時(shí)間延誤，也就是路段的自由流時(shí)間.服務(wù)臺(tái)的服務(wù)效率是固定的，也就是路段的通行能力.當(dāng)服務(wù)臺(tái)的使用率不同時(shí)，路段的駛出量也不同.

圖1 點(diǎn)排隊(duì)模型的排隊(duì)表示Fig.1 The queue form of point queue model

3.1 流量守恒函數(shù)

根據(jù)流量守恒原則，路段排隊(duì)長度的變化率等于車輛到達(dá)率和離開率的差值.本文用fin(t)表示時(shí)刻t車輛的到達(dá)率；fout(t)表示時(shí)刻t車輛的離開率；t0表示路段自由流時(shí)間.排隊(duì)長度的變化率可以表示為

3.2 流量駛出函數(shù)和服務(wù)臺(tái)使用率函數(shù)

本文將服務(wù)臺(tái)使用率定義為路段駛出量與路段通行能力的比值.

利用服務(wù)臺(tái)使用率函數(shù)，路段的流出率fout(t)可以表示為fout(t)=ρ(t).在點(diǎn)排隊(duì)模型中，車輛的尺寸被忽略，也就是說排隊(duì)空間是無限的，也就是服務(wù)臺(tái)的緩沖區(qū)是無限容量的.因此，車輛的駛?cè)肼示褪擒囕v的到達(dá)率，fin(t-t0)=p(t-t0).利用流量駛出函數(shù)和服務(wù)臺(tái)使用率函數(shù)，流量守恒函數(shù)可以表示為(t)=-ρ(t)+p(t-t0).其中，ρ(t)會(huì)隨著排隊(duì)系統(tǒng)具體形式的不同而不同.一般來說，確定ρ(t)的具體形式較為困難，因此，本文采用Wang等[7]流體逼近的思想.利用流體逼近，(t)=-ρ(t)+p(t-t0)可以表示成為

3.3 基于流體逼近的點(diǎn)排隊(duì)重新解釋

基于上述流體逼近模型，原有的點(diǎn)排隊(duì)模型可以被重新解釋為：

（1）排隊(duì)長度的變化.

（2）初始排隊(duì)長度為0，即q(t0)=0.

（3）如果t＜t0,駛出流率為0，即v(t)=0.

實(shí)際上，在流體逼近模型中的表現(xiàn)形式為ρ(t)=0.

（4）如果t＞t0，駛出流率為v(t)=ρ(t).

（5）如果t∈[] 0,T-t0，路段的實(shí)際旅行時(shí)間為

3.4 離散形式

在利用上述連續(xù)形式的點(diǎn)排隊(duì)模型進(jìn)行模擬過程中，如果將時(shí)間離散化為固定長度的時(shí)間間隔，在計(jì)算每個(gè)時(shí)間間隔結(jié)束時(shí)刻的排隊(duì)長度時(shí)，需要采用Runge-Kutta[6-8]數(shù)值計(jì)算方法，計(jì)算時(shí)間較長.因此，基于上述連續(xù)型點(diǎn)排隊(duì)模型，本文將其進(jìn)行離散化，提出一種離散形式的流體逼近模型.該模型計(jì)算速度快，能夠適用動(dòng)態(tài)交通分配的需求，這也為未來研究中的拓展提供了良好的條件.本文采用流體逼近模型對(duì)點(diǎn)排隊(duì)模型進(jìn)行重新解釋，得到了具有跳躍點(diǎn)的常微分方程（3.3節(jié)），離散后得到的模型也具有跳躍點(diǎn)，而這類模型的相關(guān)性質(zhì)在數(shù)學(xué)理論上也較難探討.因此，本文選取了Backward的離散形式，并且選取較小的離散步長，盡可能的確保收斂性，相應(yīng)問題Ban等[4]也做了探討.

在離散化的過程中，假設(shè)時(shí)間步長為Δ，自由流時(shí)間t0=mΔ，在不引起歧義的情況下，下述離散型的模型中，tΔ表示第t個(gè)時(shí)間步長.利用上述參數(shù)，本文對(duì)連續(xù)型的流體逼近重新進(jìn)行了定義，具體如下：

（1）流量守恒函數(shù).

（2）流量駛出函數(shù).

基于上述離散型的流體逼近模型，原有的點(diǎn)排隊(duì)模型可以被重新解釋為：

（1）排隊(duì)長度的變化.

（2）初始排隊(duì)長度為0，即q(mΔ)=0.

（3）如果tΔ＜mΔ,駛出流率為0，即v(tΔ)=0.

實(shí)際上，在流體逼近模型中的表現(xiàn)形式為ρ(tΔ)=0.

（5）如果tΔ∈[] 0,TΔ-mΔ，路段的實(shí)際旅行時(shí)間為τ(tΔ)=mΔ+(ρ((t+m)Δ))-1q((t+m)Δ).

4 算例分析

假設(shè)路段車輛到達(dá)服從泊松分布，在路段車輛的離去模型中，選取3種不同的分布，分別是確定型分布（D），Erlang分布（Ek）和指數(shù)型分布（M），得到連續(xù)型流體逼近模型如表1所示，同時(shí)得到連續(xù)型模型所對(duì)應(yīng)的離散型流體逼近模型如表2所示.在表1和表2中表示的是服務(wù)時(shí)間分布變異系數(shù)的平方.在本文中，服務(wù)時(shí)間指的是路段的流出率.

表1 不同離去模型下的流體逼近模型(連續(xù)狀態(tài))Table 1Different fluid approximation models with different exit models(continuous form)

表2 不同離去模型下的流體逼近模型（離散狀態(tài)）Table 2Different fluid approximation models with different exit models(discrete form)

采用離散型模型對(duì)3種不同的流率進(jìn)行模擬，時(shí)間步長為Δ=30 s，路段的通行能力為1 000.值得注意的一點(diǎn)是，假設(shè)路段的到達(dá)和離去分別服從一定的概率分布，而所構(gòu)建的流體逼近模型就是將這種隨機(jī)性關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定性關(guān)系.也就是說，用確定性的結(jié)果去逼近隨機(jī)的概率分布，而不同輸入和輸出的隨機(jī)性體現(xiàn)在不同流體逼近公式的參數(shù)和函數(shù)形式中，如表1和表2所示.本文具體的流入率如下：

路段的自由流行駛時(shí)間t0為60 min，模擬的時(shí)長為550 min.在第1種情形下，從第0 min到第180 min，路段的流入率為2 000 pcu/h，然后在第180 min時(shí)，存在間斷點(diǎn)，流入率突然變?yōu)?，能夠模擬現(xiàn)實(shí)交通中交通管制或者交通事故等現(xiàn)象；第2種情形是梯形的流入率，從第60 min到第120 min存在峰值，流入率為1 200 pcu/h，其他時(shí)段內(nèi)流入率的改變?yōu)榫€性形式，能夠模擬現(xiàn)實(shí)交通狀況中早晚高峰的情形；第3種情形的流入率為sigmoidal曲線的形式，在這種流入率的情況下，當(dāng)交通量較高時(shí)，流入量的波動(dòng)不大，當(dāng)交通量降低時(shí)，流入量的波動(dòng)較大.

在作者先前的研究中，采用的是Runge-Kutta進(jìn)行計(jì)算，對(duì)比本文的結(jié)果和先前已有的結(jié)果[6]，我們可以發(fā)現(xiàn)偏差較小.在先前的研究中，主要分析了非負(fù)排隊(duì)的問題，本文在已有工作的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析先進(jìn)先出問題.

本文首先對(duì)路段的排隊(duì)長度和流出量進(jìn)行模擬，模擬的結(jié)果如圖3～圖5所示.通過模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，路段中排隊(duì)為非負(fù)排隊(duì)，克服了原有點(diǎn)排隊(duì)模型中負(fù)排隊(duì)的現(xiàn)象，因此，所得的路段流出量也為非負(fù)值.除此之外，從模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，3種不同的排隊(duì)所得的結(jié)果差別不大，這為后期交通分配中模型的選擇提供了參考.在本文的模擬中，之所以3種模型的模擬結(jié)果差別不大，這是因?yàn)?種模型的路段使用率差別不大，如圖2所示.此處的路段使用率分別是表2所示.

圖2 三種流體逼近模型下的路段使用率對(duì)比Fig.2 Comparison of the link utilization ratio for the three models

圖3 流入率#1下的排隊(duì)長度和流出量Fig.3 Queue length and exit flow under inflow rate#1

圖4 流入率#2下的排隊(duì)長度和流出量Fig.4 Queue length and exit flow under inflow rate#2

路段交通流加載過程中，車輛是否滿足先進(jìn)先出可以通過路段旅行時(shí)間的改變率反映，因此，本文對(duì)路段的旅行時(shí)間和旅行時(shí)間改變率進(jìn)行模擬，模擬結(jié)果如圖6～圖8所示.其中，路段旅行時(shí)間τ的計(jì)算公式如式（3）所示，路段旅行時(shí)間改變率Λτ的計(jì)算公式如式（4）所示.

圖5 流入率#3下的排隊(duì)長度和流出量Fig.5 Queue length and exit flow under inflow rate#3

圖6 流入率#1下的路段旅行時(shí)間及其改變率Fig.6 Link travel time and its change rate under inflow rate#1

圖7 流入率#2下的路段旅行時(shí)間及其改變率Fig.7 Link travel time and its change rate under inflow rate#2

在Ran and Boyce[8]及Ban等[4]的研究中可以發(fā)現(xiàn)，如果路段交通流動(dòng)態(tài)加載滿足先進(jìn)先出的原則，那么路段旅行時(shí)間的改變率總是大于(-1).從圖5，圖6及圖7可以發(fā)現(xiàn)，路段旅行時(shí)間的改變率在3種不同的流入情況下總是大于(-1)，因此先進(jìn)先出（FIFO）原則得以滿足.

圖8 流入率#3下的路段旅行時(shí)間及其改變率Fig.8 Link travel time and its change rate under inflow rate#3

5 研究結(jié)論

本文基于流體逼近的思想，探討了路段交通流動(dòng)態(tài)加載中常用的點(diǎn)排隊(duì)模型，簡要回顧了之前研究中提出的基于流體逼近的連續(xù)型點(diǎn)排隊(duì)模型，克服了原有點(diǎn)排隊(duì)模型中排隊(duì)出現(xiàn)負(fù)值的情況.通過分析可以發(fā)現(xiàn)，原有的點(diǎn)排隊(duì)模型實(shí)質(zhì)上屬于具有單一服務(wù)臺(tái)和無限容量的排隊(duì)模型，基于流體逼近的思想去重新定義了原有的點(diǎn)排隊(duì)模型.其中3個(gè)主要部分是流量守恒模型，車輛流出模型和時(shí)間相關(guān)的服務(wù)臺(tái)模型，這3個(gè)模型全部都是連續(xù)的.由于基于流體逼近的連續(xù)型點(diǎn)排隊(duì)模型的計(jì)算需求較高，本文采用Backward離散化的方式，提出了離散型的流體逼近模型，并基于此對(duì)原有點(diǎn)排隊(duì)模型進(jìn)行重新定義.通過模擬可以發(fā)現(xiàn)，離散型的流體逼近模型克服了原有點(diǎn)排隊(duì)模型中出現(xiàn)負(fù)排隊(duì)的情形，并且路段交通流動(dòng)態(tài)加載過程滿足先進(jìn)先出原則.將本文提出的模型應(yīng)用到動(dòng)態(tài)用戶均衡或者動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)的研究中，是接下來的研究方向之一.

[1]VickreyW.Congestiontheoryandtransport investment[J].The American Economic Review,1969, 59(2):251-260.

[2]Nie Y,Ma J,Zhang H.Apolymorphicdynamic network loading model[J].Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering,2008,23(2):86-103.

[3]Nie X,Zhang H.Delay-function-based link models: theirpropertiesandcomputationalissues[J]. Transportation Research Part B:Methodological,2005, 39(8):729-751.

[4]Ban J X,Pang J,Liu H X,et al.Continuous-time point-queue models in dynamic network loading[J]. Transportation Research Part B:Methodological,2012, 46(3):360-380.

[5]Han K,Friesz T L,Yao T.A partial differential equation formulation of Vickrey's bottleneck model, partI:Methodologyandtheoreticalanalysis[J]. Transportation Research Part B:Methodological,2013, 49(5):55-74.

[6]Ji X,Zhang J,Ran B,et al.Fluid Approximation of Point-queue Model[J].Procedia-Social and Behavioral Sciences,2014,138:470-481.

[7]Wang W,Tipper D,Banerjee S.A simple approximation for modeling non-stationary queues[C].Proceedings of the IEEE,Fifteenth Annual Joint Conference of the IEEEComputerSocieties,NetworkingtheNext Generation:Infocom,1996,96(1):255-262.

[8]Ran B,Boyce D E.Modeling dynamic transportation networks:An intelligent transportation systems oriented approach,2nd revised edn[M].Springer-Verlag New York,1996.

Dynamic Link Traffic Flow Loading Based on Fluid Approximation

JI Xiang-feng1，2,ZHANG Jian1，2,RAN Bin1，2
(1.Jiangsu Key Laboratory of Urban ITS,Southeast University,Nanjing 210096,China;2.Jiangsu Province Collaborative Innovation Center of Modern Urban Traffic Technologies,Nanjing 210096,China)

Dynamic link traffic flow loading is an essential component in the dynamic traffic assignment.In the loading models,point-queue model is widely used in discrete-time or continuous-time form.Based on the previous work,this paper briefly reviews the continuous time point queue based on the fluid approximation, which overcomes the negativity problem of original queue.Based on the observation that the original pointqueue model is actually a queuing model with a server and infinite buffer,a fluid flow approximation model is proposed to interpret the original point-queue model.Three essential components are a flow balance function,an exit flow function and a time-dependent capacity utilization ratio function,which are all in continuous form.Finally,with the discretization of the proposed model,outflow and queue are simulated on the link in three different scenarios,and the non-negativity of queue and flow first in first out(FIFO)can be easily observed.

traffic engineering;continuous point-queue model;queueing system;fluid approximation; discretization;non-negativity of queue;FIFO

1009-6744（2015）05-0195-07

U1

A

2014-12-08

2015-05-09錄用日期：2015-05-25

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）（2012CB725405）；國家自然科學(xué)基金（51308115）；東南大學(xué)優(yōu)博基金（YBJJ1344）.

紀(jì)翔峰（1986-），男，山東青島人，博士生. ＊

bran@seu.edu.cn