趙萍，孫冬梅，陳紅燕

(南京工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化與電氣學(xué)院，南京 211800)

隨著能源消費(fèi)的大幅度增長(zhǎng)和地球生態(tài)環(huán)境的惡化，可再生能源得到了越來(lái)越廣泛的重視，風(fēng)能是解決能源危機(jī)的一個(gè)重要手段。與傳統(tǒng)軸承相比，磁懸浮軸承具有無(wú)摩擦磨損、無(wú)需潤(rùn)滑、轉(zhuǎn)速高、精度高和壽命長(zhǎng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)械工業(yè)、航空航天、機(jī)器人、計(jì)算機(jī)、能源交通及生命科學(xué)等領(lǐng)域[1]。磁軸承的支承轉(zhuǎn)子在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中存在擾動(dòng)問(wèn)題，最主要的是同頻不平衡擾動(dòng)，擾動(dòng)干擾是影響其性能的重要因素之一。

為減小轉(zhuǎn)子不平衡引起的擾動(dòng)，建立了磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了滑模擾動(dòng)觀測(cè)器。采用微分器的輸出取代系統(tǒng)的實(shí)際輸出，使滑模觀測(cè)器的輸入降階，對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，從仿真結(jié)果來(lái)看，設(shè)計(jì)的滑模變結(jié)構(gòu)擾動(dòng)觀測(cè)器能夠快速地跟蹤不平衡擾動(dòng)，通過(guò)補(bǔ)償降低擾動(dòng)干擾。

1 磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子的不平衡振動(dòng)會(huì)造成飛輪系統(tǒng)的基頻擾動(dòng)，對(duì)控制器的輸出造成干擾,影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性,是磁懸浮飛輪最主要的擾動(dòng)源。轉(zhuǎn)子的不平衡是指轉(zhuǎn)子的幾何軸與慣性主軸不重合，而磁懸浮飛輪的工作原理是將轉(zhuǎn)子懸浮于轉(zhuǎn)子幾何軸上，因此當(dāng)飛輪繞轉(zhuǎn)子幾何軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，飛輪的慣性主軸就會(huì)繞幾何軸轉(zhuǎn)動(dòng)，從而產(chǎn)生離心力等擾動(dòng)力與擾動(dòng)力矩輸出。以基于磁懸浮技術(shù)的5自由度飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為對(duì)象，建立有質(zhì)量偏心干擾下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型[2]，如圖1所示，圖中f為磁軸承的作用力；τ為旋轉(zhuǎn)軸與z軸的夾角；φ為旋轉(zhuǎn)角；ψ為傾角；(φ,ψ)用來(lái)定義飛輪參照系的方位和偏轉(zhuǎn)方向。由于此系統(tǒng)是一個(gè)中心對(duì)稱理想狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子，因此慣性坐標(biāo)系等同于質(zhì)心坐標(biāo)系。

圖1 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

實(shí)際系統(tǒng)多采用各自由度分散控制的方式，忽略推力方向?qū)较虻鸟詈希屏Ψ较虻奶匦钥蓡为?dú)用單自由度的方法來(lái)研究。因此，磁懸浮轉(zhuǎn)子模型可以用4自由度的轉(zhuǎn)子數(shù)學(xué)模型表示[3-4]。電磁線圈使飛輪懸浮并以很高的速度運(yùn)行，而且沒(méi)有摩擦損耗，輸出為4個(gè)可以測(cè)量的位移。在可測(cè)量的慣性參照系中，這些距離對(duì)應(yīng)于軸的兩端坐標(biāo)在平衡點(diǎn)的位置，其中xc和yc是可測(cè)量的慣性參照系中飛輪的重心位置，4個(gè)線圈電流控制軸的磁場(chǎng)，每個(gè)線圈都配有位移傳感器，運(yùn)動(dòng)的線性化方程為

(1)

式中：m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量；ε為離心率(靜不平衡)；ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)速；xc和yc初始位置都設(shè)為0；Jxx為繞質(zhì)量中心的截面慣性矩；Jzz為繞質(zhì)量中心的極慣性矩。輸入fi的表達(dá)式為

fi=k1yi+k2ui，i=1,2,3,4，

(2)

式中：k1為徑向磁軸承位移剛度；yi為系統(tǒng)的輸出；k2為徑向磁軸承電流剛度，由線圈中的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)決定；ui為控制量。yi的表達(dá)式為

(3)

式中：h為重心的高度。為了使系統(tǒng)線性化，必須使旋轉(zhuǎn)角很小，此時(shí)sin(ωt)≈ωt,cos(ωt)≈1，根據(jù)(1)式，可將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式寫為

(4)

x(t)=[w(t)y(t)]T，

w(t)表示系統(tǒng)在干擾下重心位置旋轉(zhuǎn)角及傾角的參數(shù)值。狀態(tài)方程系數(shù)矩陣分別為

C=[04×8,I8×8]，

式中：I8×8為單位矩陣。

2 滑模擾動(dòng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

由于各種振動(dòng)干擾是可觀測(cè)的，因此可根據(jù)系統(tǒng)的輸入u(t)和輸出y(t)設(shè)計(jì)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器。

根據(jù)降維觀測(cè)器理論，(4)式可改寫為[5]

(5)

相應(yīng)的y觀測(cè)器的方程為

(6)

切換矩陣M為[6]

M=M1diag(|ey|)+M2，

(7)

則系統(tǒng)的估計(jì)誤差為

(8)

對(duì)于二階系統(tǒng)，干擾觀測(cè)器的方程為

(9)

[Msgn(ey)]eq=A21ew，

(10)

誤差系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

(11)

將(10)式代入(11)式，可得系統(tǒng)在滑模面上的誤差運(yùn)動(dòng)方程為

(12)

若系統(tǒng)方程滿足(A,C)可觀測(cè)條件，那么(A11,A21)也是可觀測(cè)的，通過(guò)選擇合理的反饋矩陣L2，使ew→0。

合理選擇下列矩陣可以保證觀測(cè)器收斂，

3 控制律設(shè)計(jì)

基于滑模擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)磁軸承控制系統(tǒng)[7]，磁軸承主動(dòng)控制系統(tǒng)框圖如圖2所示?；Ｓ^測(cè)器的輸出經(jīng)過(guò)補(bǔ)償放大環(huán)節(jié)，對(duì)每個(gè)徑向磁軸承線圈提供補(bǔ)償量，實(shí)現(xiàn)對(duì)不平衡擾動(dòng)的補(bǔ)償。該補(bǔ)償量和PID控制器的輸出均作為磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的輸入。系統(tǒng)中的控制律采用傳統(tǒng)的分散PID控制，其傳遞函數(shù)為

圖2 磁軸承主動(dòng)控制系統(tǒng)框圖

(13)

式中：Kp,Ti,TD分別為比例系數(shù)、積分常數(shù)、微分常數(shù)；s為微分算子。

磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子采用細(xì)長(zhǎng)軸轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小，轉(zhuǎn)子繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小于繞與之垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；在進(jìn)行仿真時(shí)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不高，因此，可以忽略陀螺效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響[8]。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證文中控制方法的有效性，在MATLAB的Simulink環(huán)境下建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的仿真模型，系統(tǒng)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)

滑模觀測(cè)器(6)式和(9)式中的矩陣A11,A12,A21,A22,B1和B2根據(jù)(4)式確定，其他參數(shù)為

將相應(yīng)的參數(shù)值與矩陣代入Simulink建立的仿真框圖中，仿真結(jié)果如圖3～圖6所示。

圖3 擾動(dòng)力觀測(cè)值與期望值對(duì)比

對(duì)比圖3和圖4可知，擾動(dòng)力和擾動(dòng)力矩的觀測(cè)值與期望值存在一定的偏差，并且當(dāng)擾動(dòng)增加時(shí)，跟蹤誤差增大，這是因?yàn)榛Ｚ吔芍袇?shù)矩陣Lx的影響，但由于實(shí)際擾動(dòng)量較小，跟蹤誤差較小且在可控的范圍內(nèi)，因此所選取的系統(tǒng)參數(shù)滿足實(shí)際的應(yīng)用要求。在0.16 s時(shí)對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，但觀測(cè)值并不能直接對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，需經(jīng)過(guò)補(bǔ)償放大環(huán)節(jié)才能引入磁軸承執(zhí)行器中。由圖5和圖6可知，系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的補(bǔ)償效果較好，但系統(tǒng)抖振較大，因此，在今后的研究中需要選擇更加合理的觀測(cè)系數(shù)，保證觀測(cè)速度不變的同時(shí)減小系統(tǒng)抖振。

圖4 擾動(dòng)力矩觀測(cè)值與期望值對(duì)比

圖5 擾動(dòng)力補(bǔ)償前后對(duì)比

圖6 擾動(dòng)力矩補(bǔ)償前后對(duì)比

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)子不平衡擾動(dòng)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了滑模擾動(dòng)觀測(cè)器，對(duì)不平衡引起的擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償。仿真結(jié)果證明，所設(shè)計(jì)的滑模觀測(cè)器能很好地跟蹤擾動(dòng)；補(bǔ)償后擾動(dòng)降低了約90%，有效抑制了系統(tǒng)的擾動(dòng)。