高作斌，畢曉磊，馬偉

(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471000)

圓錐滾子超精研加工中，導(dǎo)輥是重要的磨削輔助工具和機(jī)床主軸。導(dǎo)輥輥形面直接與滾子錐面接觸，在超精研過程中起到控制滾子姿態(tài)、驅(qū)動(dòng)滾子自轉(zhuǎn)的重要作用，其加工精度直接影響滾子超精研后的凸度和表面質(zhì)量。

要保證超精研過程中導(dǎo)輥與圓錐滾子處于線接觸狀態(tài)，導(dǎo)輥設(shè)計(jì)輥形的軸向截形理論上是輕微內(nèi)凹的復(fù)雜曲線，而導(dǎo)輥輥形面理論上是相應(yīng)的螺旋曲面[1-4]，通常采用專門的超精輥磨床進(jìn)行磨削。對(duì)導(dǎo)輥輥形進(jìn)行初次磨削或磨損后的修磨時(shí)，砂輪外圓修整成錐面，以滿足導(dǎo)輥輥形軸向截形對(duì)導(dǎo)輥軸線傾斜角度即輥形錐角的要求；砂輪軸線鉛垂面內(nèi)傾斜一個(gè)小角度，以避免砂輪與導(dǎo)輥的螺旋擋邊發(fā)生干涉(磨削導(dǎo)輥擋邊時(shí)，該角度依據(jù)擋邊螺旋角進(jìn)行調(diào)整)。由于磨削導(dǎo)輥輥形時(shí)砂輪與導(dǎo)輥的軸線處于空間交錯(cuò)狀態(tài)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系是砂輪自轉(zhuǎn)并繞導(dǎo)輥軸線作螺旋運(yùn)動(dòng)，因而導(dǎo)輥磨削輥形的軸向截形理論上并非直線。

對(duì)于導(dǎo)輥磨削后的輥形，迄今為止，人們主要關(guān)注的是輥形錐角[5-6]，并采用弦高法測(cè)量該角度，而忽略了其非線性問題。實(shí)際中，隨著對(duì)高精度圓錐滾子加工問題的重視[7]，輥形形狀應(yīng)該引起人們的注意，因?yàn)閷?dǎo)輥輥形面與滾子錐面之間是剛性接觸，如果磨削輥形與設(shè)計(jì)輥形形狀不一致，導(dǎo)輥與滾子之間就無法實(shí)現(xiàn)真正的線接觸，這將影響導(dǎo)輥對(duì)滾子的支承穩(wěn)定性，也會(huì)因?qū)л亴?duì)滾子摩擦驅(qū)動(dòng)力的變化而影響滾子的自轉(zhuǎn)穩(wěn)定性，從而影響超精研加工質(zhì)量。此外，采用弦高法測(cè)量輥形錐角的誤差較大，生產(chǎn)中輥形錐角的磨削精度很大程度上依賴于操作者的經(jīng)驗(yàn)，因此，對(duì)導(dǎo)輥的磨削輥形進(jìn)行理論分析，并提供了一個(gè)磨削輥形的精密測(cè)量實(shí)例。

1 磨削輥形分析

1.1 輥形解析表達(dá)式

磨削導(dǎo)輥輥形過程中，導(dǎo)輥形面與砂輪錐面構(gòu)成一對(duì)共軛曲面。導(dǎo)輥形面與砂輪錐面構(gòu)成一對(duì)線接觸共軛曲面的充分條件是：在砂輪沿導(dǎo)輥軸線方向移動(dòng)的任意位置，導(dǎo)輥與砂輪接觸線上任意一點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度方向與該接觸點(diǎn)處砂輪錐面的法線以及導(dǎo)輥形面的法線同時(shí)垂直[8]。根據(jù)導(dǎo)輥及砂輪的運(yùn)動(dòng)方式，可將砂輪相對(duì)于導(dǎo)輥的運(yùn)動(dòng)分解為2部分進(jìn)行分析:一部分是導(dǎo)輥定軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和砂輪沿導(dǎo)輥軸線方向貫穿運(yùn)動(dòng)合成后形成的砂輪整體相對(duì)于導(dǎo)輥軸線的圓柱螺旋運(yùn)動(dòng)，在接觸線上任意一點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的線速度方向，即導(dǎo)輥螺旋輥形面上過該點(diǎn)的圓柱螺旋線的切線方向，其必定與輥形面的法線垂直(輥形面是圓柱螺旋表面)；另一部分是砂輪的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，在接觸線上任意一點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的線速度方向必定與砂輪錐面法線相切。因此，在砂輪與導(dǎo)輥接觸線上任意一點(diǎn)，只要砂輪錐面與導(dǎo)輥形面共法線，則砂輪相對(duì)于導(dǎo)輥的運(yùn)動(dòng)速度方向必定與該法線垂直，從而滿足滾子錐面與導(dǎo)輥形面構(gòu)成一對(duì)共軛曲面的充分條件。因此，以砂輪錐面與導(dǎo)輥形面共法線為條件，求導(dǎo)輥磨削輥形的解析表達(dá)式。

基于砂輪與導(dǎo)輥的空間幾何關(guān)系，建立空間正交坐標(biāo)系如圖1所示。圖中，O為導(dǎo)輥軸線上磨削長(zhǎng)度范圍內(nèi)任意一點(diǎn);z軸與導(dǎo)輥軸線重合處于水平面內(nèi);y軸也處于水平面內(nèi);Oxyz為固定坐標(biāo)系；O1x1y1z1為沿導(dǎo)輥軸線方向移動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系;O1為砂輪大端圓心，其初始位置在Oxyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為O1(0，A，0);z1軸與砂輪軸線重合;y1軸與y軸重合；λ為z1軸和z軸在鉛垂平面內(nèi)的夾角;β為砂輪半錐角；φ為坐標(biāo)系Oxyz中的轉(zhuǎn)角參變量；θ為O1x1y1z1坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)角參變量。為了便于區(qū)分，在Oxyz坐標(biāo)系表達(dá)的矢量用上標(biāo)0，在O1x1y1z1坐標(biāo)系表達(dá)的矢量用上標(biāo)1(下同)。

圖1 砂輪與導(dǎo)輥的空間幾何關(guān)系及坐標(biāo)系

在固定坐標(biāo)系Oxyz中，導(dǎo)輥形面是螺旋面，從機(jī)械加工表面形成的角度看，形成該螺旋面的導(dǎo)線是導(dǎo)輥的圓柱螺旋線，而素線既可以看作是導(dǎo)輥與砂輪的接觸線，也可以看作是導(dǎo)輥形面在xOz平面內(nèi)的軸向截形。導(dǎo)輥形面在xOz平面內(nèi)軸向截形的矢量表達(dá)式為

C0={R,0,z}，

(1)

式中：R為導(dǎo)輥軸向截形任意點(diǎn)半徑；z為導(dǎo)輥軸向截形任意點(diǎn)的z軸坐標(biāo)。

導(dǎo)輥軸向截形C0繞z軸作定軸圓柱螺旋運(yùn)動(dòng)，可得導(dǎo)輥的輥形面，因此，在坐標(biāo)系Oxyz中，輥形面的矢量表達(dá)式為

(2)

p=s/2π，

式中：p為導(dǎo)輥的螺旋參數(shù)；s為導(dǎo)程。

將 (1) 式代入 (2) 式得

R0={Rcosφ,Rsinφ,z+pφ} 。

(3)

在O1x1y1z1坐標(biāo)系中，砂輪錐面的矢量表達(dá)式為

r1={rcosθ,rsinθ,(re-r)cotβ},

(4)

式中：r為砂輪半徑參變量；re為砂輪大端半徑。

對(duì)于砂輪與導(dǎo)輥接觸線上任意一點(diǎn)E，應(yīng)同時(shí)滿足(3)，(4)式。因此，將(3)，(4)式中相關(guān)參數(shù)加下標(biāo)E，可得

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：I為矢量從坐標(biāo)系O1x1y1z1變換到坐標(biāo)系O2x2y2z2時(shí)的變換矩陣；坐標(biāo)系O2x2y2z2為坐標(biāo)系O1x1y1z繞y1軸旋轉(zhuǎn)λ角得到，與Oxyz坐標(biāo)系平行，僅用于坐標(biāo)變換(圖1未標(biāo)出)。

將(5)，(6)和(8)式代入(7)式整理得

(9)

(10)

式中：i，j和k分別為x,y和z坐標(biāo)軸的單位矢量。

(11)

式中：i1，j1和k1分別是x1，y1和z1坐標(biāo)軸的單位矢量。

(12)

將(8),(11)式代入(12)式得

(13)

在接觸點(diǎn)E，導(dǎo)輥形面與滾子錐面共法線的條件為

(14)

。(15)

由于E是任意點(diǎn)，接觸線上的點(diǎn)均滿足(9)，(15)式，將其去下標(biāo)E得

Rcosφ=rcosθcosλ+(re-r)cotβsinλ,

(16)

Rsinφ=rsinθ+A,

(17)

z+pφ=-rcosθsinλ+(re-r)cotβcosλ,

(18)

(19)

將(17)式除以(16)式得

(20)

(19)式變形可得

(21)

(22)

由(21)，(22)式又可得到

(23)

將(23)式代入(17)式整理后，再利用(3)～(20)式消去與φ有關(guān)的項(xiàng),則

Esinθ+Fcosθ-G=0，

(24)

(25)

式中：E，F(xiàn)和G是為了書寫和計(jì)算方便使用的代數(shù)符號(hào)，沒有明確的幾何意義。

由圖1可知，砂輪與導(dǎo)輥接觸線位于O1x1y1z1坐標(biāo)系的第3象限，θ為第3象限的角，cosθ的值為負(fù)，故在(24)式中

(26)

將(25),(26)式代入(24)式整理后可得

(27)

為了確定(27)式中“±”號(hào)如何選取，令λ=0，且p=0，將其代入(25)式得E=0，F(xiàn)=A，G=0；再將E，F(xiàn)和G的值代入(27)式得sinθ=±1。θ為第3象限的角，sinθ的值為負(fù),所以(27)式中根號(hào)前應(yīng)取“-”號(hào)。因此，(27)式改寫為

(28)

(18)式變形為

z=(re-r)cotβcosλ-rcosθsinλ-pφ,

(29)

(17)式變形為

(30)

以r為自變量，由(28)式可計(jì)算參變量θ；由(20)式可計(jì)算參變量φ；再由(29)，(30)式可分別計(jì)算變量z和R；從而得到導(dǎo)輥的軸向截形。

為明確取值范圍和計(jì)算方便，改用砂輪與導(dǎo)輥任意接觸點(diǎn)在O1x1y1z1坐標(biāo)系中z1軸的坐標(biāo)值z(mì)1為自變量，替換砂輪半徑參變量r，2個(gè)變量之間的關(guān)系為

r=re-z1tanβ；0

(31)

式中：B為砂輪寬度。

需要說明的是，相關(guān)算式中的A值可由砂輪大端半徑和導(dǎo)輥小端半徑Rmin進(jìn)行計(jì)算，即

A=re+Rmin。

(32)

(20)，(25)，(28)～(31)式共同構(gòu)成導(dǎo)輥磨削輥形軸向截形曲線的解析表達(dá)式。

1.2 輥形特征

文中建立的輥形解析表達(dá)式十分復(fù)雜，因此，通過數(shù)值計(jì)算分析導(dǎo)輥磨削輥形的特征。計(jì)算條件為：β=2.5°，λ=4°，B=48 mm，re=150 mm，Rmin=80 mm，s=54 mm。導(dǎo)輥磨削輥形軸向截形解析表達(dá)式數(shù)值計(jì)算結(jié)果實(shí)例如圖2所示。

圖2 導(dǎo)輥磨削輥形軸向截形曲線計(jì)算實(shí)例

由圖2可知，輥形軸向截形幾乎是一條傾斜的直線，表明截形曲線的非線性程度與其傾斜程度相比很小。

為了準(zhǔn)確表達(dá)導(dǎo)輥磨削輥形的特征，將軸向截形的傾斜性和非線性分別進(jìn)行描述。以軸向截形兩端點(diǎn)連線作為基準(zhǔn)線；以基準(zhǔn)直線相對(duì)于導(dǎo)輥軸線的傾斜角度表示截形的整體傾斜程度，稱為導(dǎo)輥的輥形錐角，用μ表示；用截形曲線各點(diǎn)與基準(zhǔn)直線對(duì)應(yīng)點(diǎn)的半徑差描述截形的非線性，并將這個(gè)半徑差稱為導(dǎo)輥的輥形凹度，用ΔR表示。

導(dǎo)輥輥形錐角計(jì)算式為

(32)

圖2所示算例的輥形錐角μ=2.520 5°。

設(shè)基準(zhǔn)直線任意一點(diǎn)半徑為Rj，則其計(jì)算公式為

(33)

式中：Rmax為截形大端端點(diǎn)半徑；zmax為截形大端端點(diǎn)軸向坐標(biāo)；Rmin為截形小端端點(diǎn)半徑；zmin為截形小端端點(diǎn)軸向坐標(biāo)。

導(dǎo)輥輥形凹度計(jì)算式為

ΔR=R-Rj。

(34)

圖2所示算例的截形曲線非線性特征即輥形凹度，如圖3所示。由圖可知，除2個(gè)端點(diǎn)數(shù)值為零外，其余各點(diǎn)的輥形凹度均為負(fù)值，曲線最大內(nèi)凹量ΔRmax=6.2 μm。表明截形曲線是內(nèi)凹的，這也是將描述截形曲線非線性特征的指標(biāo)稱為輥形凹度的原因。由此可知，導(dǎo)輥磨削輥形軸向截形具有傾斜和內(nèi)凹2種特征。

圖3 導(dǎo)輥磨削輥形軸向截形曲線的非線性特征

1.3 影響輥形的因素

在磨削導(dǎo)輥輥形時(shí)，砂輪可以修整成不同的半錐角；砂輪架可以在鉛垂平面內(nèi)以擺動(dòng)方式調(diào)整到不同角度位置，即砂輪架垂直擺角(λ角)；砂輪大端半徑re會(huì)隨著修整次數(shù)的增加而不斷減小。因此，通過數(shù)值計(jì)算分析這些因素對(duì)導(dǎo)輥輥形錐角和輥形凹度的影響，其中，除有專門說明外，計(jì)算條件均為：β=2°，λ=6°，B=48 mm，re=150 mm，Rmin=80 mm，s=54 mm。

1.3.1 砂輪半錐角β

使砂輪半錐角β在1°～5°范圍內(nèi)變化，其他計(jì)算條件不變，β變化對(duì)導(dǎo)輥磨削輥形錐角和凹度的影響分別如圖4和圖5所示。

圖4 砂輪半錐角對(duì)導(dǎo)輥磨削輥形錐角的影響

圖5 砂輪半錐角對(duì)導(dǎo)輥磨削輥形凹度的影響

由圖可知，當(dāng)β增大時(shí)，輥形錐角μ呈近似線性增大趨勢(shì)，而輥形凹度ΔR幾乎沒有變化。由計(jì)算數(shù)據(jù)可知，β在1°～5°范圍內(nèi)變化時(shí)，β每增大1°，μ約增大0.995 0°，μ的總變化量為3.978°，最大內(nèi)凹量ΔRmax的總變化量為0.2 μm，可見，輥形錐角μ受β的影響很大，而輥形凹度ΔR幾乎不受β的影響。

1.3.2 砂輪架垂直擺角λ

在2°～6°范圍內(nèi)對(duì)λ取值(由于導(dǎo)輥螺旋角的制約，λ不會(huì)取太小的值)，其他計(jì)算條件不變，λ變化對(duì)導(dǎo)輥磨削輥形錐角和凹度的影響分別如圖6和圖7所示。

由圖可知，當(dāng)λ增大時(shí)，輥形錐角μ呈非線性增大趨勢(shì)，輥形凹度ΔR也呈增大趨勢(shì)。根據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)可知，λ在2°～6°范圍內(nèi)變化時(shí)，μ的總變化量為0.05°，最大內(nèi)凹量ΔRmax的總變化量為12.5 μm，可見，輥形錐角μ受λ的影響并不大，而輥形凹度ΔR受λ的影響很大。

圖6 砂輪架垂直擺角對(duì)導(dǎo)輥磨削輥形錐角的影響

圖7 砂輪架垂直擺角對(duì)導(dǎo)輥磨削輥形凹度的影響

1.3.3 砂輪大端半徑re

結(jié)合生產(chǎn)實(shí)際，在120～200 mm范圍內(nèi)對(duì)re取值，其他計(jì)算條件不變，re變化對(duì)導(dǎo)輥磨削輥形錐角和凹度的影響分別如圖8和圖9所示。

圖8 砂輪大端半徑對(duì)導(dǎo)輥磨削輥形錐角的影響

圖9 砂輪大端半徑對(duì)導(dǎo)輥磨削輥形凹度的影響

由圖可知，當(dāng)re增大時(shí)，輥形錐角μ呈近似線性減小趨勢(shì)，輥形凹度ΔR也呈減小趨勢(shì)。根據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)可知，re在120～200 mm范圍內(nèi)變化時(shí)，re每增大10 mm，μ約減小0.004°，μ的總變化量為0.022°，最大內(nèi)凹量ΔRmax的總變化量為5.1 μm，可見，輥形錐角μ受re的影響很小，而輥形凹度ΔR受re的影響相對(duì)較大。

2 磨削輥形精密測(cè)量實(shí)例

導(dǎo)輥尺寸較大，其輥形難以在計(jì)量室進(jìn)行測(cè)量，而現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量受測(cè)量設(shè)備限制精度較低。為實(shí)現(xiàn)導(dǎo)輥磨削輥形的精密測(cè)量，設(shè)計(jì)制作了一種特殊導(dǎo)輥，其由一個(gè)環(huán)形輥套裝在一根長(zhǎng)軸上構(gòu)成，環(huán)形輥具有與正常導(dǎo)輥完全相同的螺旋工作面，只是長(zhǎng)度僅有2個(gè)螺距；長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度以及長(zhǎng)軸兩端的軸承座均與正常導(dǎo)輥完全相同，使特殊導(dǎo)輥可以方便地安裝在導(dǎo)輥磨床上與正常導(dǎo)輥一樣進(jìn)行輥形磨削(圖10)。特殊導(dǎo)輥磨削后，環(huán)形輥可以很方便地拆下，在計(jì)量室進(jìn)行磨削輥形的精密測(cè)量(圖11)。

圖10 特殊導(dǎo)輥及其輥形磨削

圖11 特殊導(dǎo)輥環(huán)形輥輥形的精密測(cè)量

特殊導(dǎo)輥螺旋工作面參數(shù)以及相關(guān)磨削參數(shù)為：β=5.23°，λ=6.5°，B=22.5 mm，re=150 mm，Re=80 mm，s=54 mm。磨削后測(cè)量?jī)x器為FORM TALYSURF系列BEARING MEASUREMENT SYSTEM PGI 1220型測(cè)量?jī)x，其水平移動(dòng)的直線度達(dá)0.1 μm，觸針在垂直方向的分辨率達(dá)0.8 nm。特殊導(dǎo)輥磨削輥形軸向輪廓測(cè)量結(jié)果如圖12所示,最大凹度約3.5 μm。根據(jù)特殊導(dǎo)輥參數(shù)和磨削參數(shù)計(jì)算的輥形軸向截形曲線如圖13所示，對(duì)比可知，測(cè)量結(jié)果與計(jì)算結(jié)果一致性良好。

圖12 特殊導(dǎo)輥磨削輥形軸向廓形測(cè)量結(jié)果

圖13 特殊導(dǎo)輥磨削輥形軸向截形曲線內(nèi)凹量計(jì)算結(jié)果

在正常導(dǎo)輥磨削之前先磨削特殊導(dǎo)輥，通過其環(huán)形輥的精密測(cè)量來選擇和調(diào)整相關(guān)磨削參數(shù)，然后磨削正常導(dǎo)輥保證其加工精度。

3 結(jié)論

1)磨削輥形軸向截形解析表達(dá)式由(20)，(25)，(28)～(31)式共同構(gòu)成。

2)磨削輥形軸向截形不僅具有傾斜特征，還具有內(nèi)凹的非線性種特征，這2種特征可分別用輥形錐角和輥形凹度來表征。輥形錐角受砂輪錐角的影響最大，而受砂輪直徑和砂輪架垂直擺角的影響不大；輥形凹度受砂輪架垂直擺角的影響最大，受砂輪直徑的影響較大，而受砂輪錐角的影響極小。