崔建明

（山西省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院 山西太原 030024）

在水利工程建設(shè)中，國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)系統(tǒng)往往不能滿足工程建設(shè)的需要，所以必須針對(duì)不同的工程建立相應(yīng)的工程坐標(biāo)系統(tǒng)。工程坐標(biāo)系統(tǒng)的建立首先是投影變形及變形改正問(wèn)題；其次，才是工程坐標(biāo)系統(tǒng)的建立。

1 高斯投影變形和變形值大小的影響

1.1 投影變形分析及變形值改化的探討

1.1.1 高斯投影變形分析

通過(guò)高斯投影的理論研究，我們知道當(dāng)經(jīng)度L等于常數(shù)時(shí)，隨著緯度B的增加，高斯坐標(biāo)的x值增大，而y值減?。挥忠騝os（-B）=cos（B），所以無(wú)論B值為正或?yàn)樨?fù)，y值不變。這就是說(shuō)，除中央子午線投影外，其他子午線投影后，均向兩極收斂，并對(duì)稱于中央子午線和赤道。

當(dāng)緯度一定時(shí)，隨著經(jīng)度的增加，x值和y值都增大。所以在橢球面上投影后仍成為對(duì)稱的曲線，且對(duì)稱于赤道線圈。

1.1.2 投影變形值探討

1投影變形值

由高斯投影分析可知：距離中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，長(zhǎng)度變形也愈大。

1）地面水平距離換算至橢球面上的變形分析

假設(shè)地面水平距離歸算到參考橢球體面上的長(zhǎng)度變形設(shè)為Δs1，則：

式中：Hm——?dú)w算邊高出參考橢球面的平均高程；

s——觀測(cè)邊長(zhǎng)；

RA——?dú)w算邊方向參考橢球法截弧曲率半徑。

2）再將橢球面上的距離換算至投影面的變形分析

設(shè)橢球面上大地線長(zhǎng)度S投影在高斯平面上，其變形值為Δs，則：除中央子午線外，其余都變形，且均變長(zhǎng)，具體變形量的計(jì)算，見(jiàn)公式（2）。

式中：Δs——參考橢球面上大地線長(zhǎng)度S投影到高斯平面距離的變形值；

S——橢球面上兩點(diǎn)大地線長(zhǎng)度；

ym——大地線投影后始末兩點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值的平均值（此橫坐標(biāo)應(yīng)去掉500 km的常數(shù)和投影帶號(hào)）；

Rm——參考橢球的曲率半徑。

2投影變形值改化

歸算邊長(zhǎng)的相對(duì)變形的近似關(guān)系式為；

即Δs1/s與歸化高程成正比。設(shè)RA=6 371 km，Hm為100～2 000 m時(shí)，依式（2）和式（3）計(jì)算每公里長(zhǎng)度投影變形值及不同高程面上的相對(duì)變形，見(jiàn)表1：

表1 Δs1、Δs1/s0與Hm的關(guān)系

將參考橢球體面上的邊長(zhǎng)s0歸算到高斯投影面上時(shí)，其長(zhǎng)度將會(huì)增大Δs2，

投影邊長(zhǎng)的相對(duì)投影變形的近似關(guān)系式為：

式中s0=s+Δs1，即s0為觀測(cè)邊長(zhǎng)s歸算到參考橢球面上的邊長(zhǎng)，ym為觀測(cè)邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)平均值，其差數(shù)為Δy，Rm為參考橢球面在測(cè)距邊中點(diǎn)的平均曲率半徑。設(shè)測(cè)區(qū)平均緯度B=36°，Rm=6 371.6 km，Δy取最大值1 km，依公式（4）和公式（5）計(jì)算每公里長(zhǎng)度投影變形值及相對(duì)投影變形值見(jiàn)表2。

表2 Δs2、Δs2/s0與ym的關(guān)系

1.2 高斯投影后長(zhǎng)度變形值的允許值

我國(guó)《城市測(cè)量規(guī)范》和《工程測(cè)量規(guī)范》對(duì)控制網(wǎng)的長(zhǎng)度綜合變形值的允許值做出了明確規(guī)定，即綜合變形值應(yīng)小于2.5 cm/km，其相對(duì)變形值不超過(guò)1/40 000。

2 工程坐標(biāo)系的建立

2.1 國(guó)家統(tǒng)一3°帶平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)的建立

1）國(guó)家統(tǒng)一3°帶平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)建立的前提

由表1、表2可見(jiàn)，當(dāng)測(cè)區(qū)平均高程在160 m以下，ym絕對(duì)值不大于45 km時(shí)，其觀測(cè)邊長(zhǎng)投影變形值 Δs1、Δs2均小于2.5 cm， 或 Δs1+Δs2＜2.5 cm時(shí)，其長(zhǎng)度變形不會(huì)小于1/40 000。在這樣的前提下，可直接采用國(guó)家統(tǒng)一3°帶高斯平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。

2）國(guó)家統(tǒng)一3°帶高斯平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)的建立

國(guó)家統(tǒng)一3°帶高斯平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)在我國(guó)已經(jīng)建立完畢，這里不再談?wù)摗?/p>

2.2 “抵償”坐標(biāo)系統(tǒng)的建立

2.2.1 抵償高程值的選取

例如某測(cè)區(qū)海拔Hm=1 002 m，最邊緣距中央子午y0=35 km，當(dāng)s=1 000 m時(shí)，則其變形值為：

而 Δs1+Δs2=-0.142 m

顯然，其變形值超過(guò)了2.5 cm/km。為使變形值小于2.5 cm/km，就必須建立高斯正形投影3°帶高程抵償平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。

設(shè)測(cè)區(qū)的平均高程為Hm（大地高），某水利工程中心附近某點(diǎn)的3°帶坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)為y0，為使測(cè)區(qū)中心處的長(zhǎng)度變形完全被抵償，須使高程歸化面低于測(cè)區(qū)平均高程面，依據(jù)下式：

式中： ΔD為地面距離投影至參考橢球面長(zhǎng)度的縮短值；Hm為測(cè)區(qū)平均高程；D為地面兩點(diǎn)間的距離；Rm為參考橢球的曲率半徑，通常取值為6 371 km。

可推出公式（6）

設(shè)抵償高程歸化至大地高為，則：

例如：某測(cè)區(qū)平均大地高為1 002 m，對(duì)于y0為35 km，則H=96.14 m，依據(jù)公式（7），則抵償高程歸化面大地高=905.86 m。

投影變形值為：

由此可見(jiàn)，通過(guò)抵償高程歸化，則投影變形值完全抵消。

2.2.2 抵償坐標(biāo)系建立方法

1）國(guó)家統(tǒng)一高斯平面直角坐標(biāo)系根據(jù)高斯反算公式換算成大地坐標(biāo)；

2）把大地坐標(biāo)換算成同一基準(zhǔn)面下的空間直角坐標(biāo)；

3）空間直角坐標(biāo)根據(jù)新的橢球參數(shù)（將原橢球長(zhǎng)半軸加上得到新的長(zhǎng)半軸，扁率不變）換算成大地坐標(biāo)；

4）大地坐標(biāo)進(jìn)行高斯投影換算成平面直角坐標(biāo)，此坐標(biāo)系即為工程坐標(biāo)系。

2.2.3 高斯正形投影任意帶平面直角坐標(biāo)系的建立

1）任意帶中央子午線經(jīng)度的求取

設(shè)某大型水利工程相對(duì)參考橢球面的大地高為Hm，為使工程中心邊長(zhǎng)綜合變形為零，設(shè)抵償中央子午線距離測(cè)區(qū)中心的距離為ym，則有：

則

任意投影帶的中央子午線經(jīng)度L0可按下面兩式計(jì)算：

式中：B、L——測(cè)區(qū)中心位置的經(jīng)度和緯度；

Rm——參考橢球曲率半徑；

L1——測(cè)區(qū)中心經(jīng)度L與任意投影帶的中央子午線經(jīng)度L0的差值。

2）任意帶平面直角坐標(biāo)系建立方法

方法是：把地面觀測(cè)結(jié)果歸算到參考橢球面上，但投影帶的中央子午線不按國(guó)家3°帶的劃分方法，而是依據(jù)抵償高程面歸化長(zhǎng)度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線，從而建立其坐標(biāo)系統(tǒng)。

2.2.4 假定平面直角坐標(biāo)系的建立

1）該坐標(biāo)系的適用條件

假定平面坐標(biāo)系（包括建筑坐標(biāo)系），是在測(cè)區(qū)附近沒(méi)有可資利用的控制點(diǎn)，或暫無(wú)聯(lián)測(cè)條件，或?yàn)槟撤N工程建筑施工之用而建立的一種坐標(biāo)系統(tǒng)。這種坐標(biāo)系的建立應(yīng)滿足以水平面直接代替水準(zhǔn)面的條件，即測(cè)區(qū)面積應(yīng)小于100 km2。

2）建立方法

假定平面直角坐標(biāo)系是以獨(dú)立測(cè)區(qū)內(nèi)平均水準(zhǔn)面的切平面作為坐標(biāo)平面，以測(cè)區(qū)西南角作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以縱坐標(biāo)軸為x軸，向上(向北)為正；以橫坐標(biāo)軸為y軸，向右(向東)為正；角度(方位角)從x軸正向開(kāi)始按順時(shí)針?lè)较蛄咳?，象限也按逆時(shí)針?lè)较蚓幪?hào)，以便三角函數(shù)公式的應(yīng)用。

2.2.5 獨(dú)立坐標(biāo)系的建立

獨(dú)立坐標(biāo)系是相對(duì)國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)系而言的一種近似的國(guó)家坐標(biāo)系，其特點(diǎn)是這種控制網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo)與國(guó)家3°帶坐標(biāo)基本一致，可以通過(guò)坐標(biāo)換算展繪在國(guó)家各種基本圖上。

1）由高斯平面坐標(biāo)換算投影高程面上的獨(dú)立坐標(biāo)

在有國(guó)家控制網(wǎng)的測(cè)區(qū)，當(dāng)測(cè)區(qū)內(nèi)投影長(zhǎng)度變形值大于2.5 km時(shí)，為使控制網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo)盡可能與國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)接近，可以將多個(gè)國(guó)家控制網(wǎng)點(diǎn)的高斯平面坐標(biāo)直接換算為測(cè)區(qū)投影高程面上的獨(dú)立坐標(biāo)，作為起算點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量、平差計(jì)算。其建立方法是：選取測(cè)區(qū)內(nèi)國(guó)家3°帶的高斯坐標(biāo)的一點(diǎn)作為獨(dú)立坐標(biāo)系原點(diǎn)，另一點(diǎn)作為起算邊（起算方位）進(jìn)行換算。換算公式如下：

式中：Xp、Yp——獨(dú)立坐標(biāo)系坐標(biāo)；

X0、Y0——獨(dú)立網(wǎng)原點(diǎn)在3°帶的高斯坐標(biāo)；

x、y——在3°帶的高斯坐標(biāo)；

K——測(cè)區(qū)平均高程面與高斯平面同名邊長(zhǎng)度比。K值按下式計(jì)算：

式中：ym——起算邊兩端點(diǎn)y坐標(biāo)均值（取自然值）；

Δy——起算邊兩端點(diǎn)y坐標(biāo)差；

Hm——測(cè)區(qū)平均高程面高程；

hm——測(cè)區(qū)大地水準(zhǔn)面相對(duì)橢球面的高度（可根據(jù)測(cè)區(qū)大地水準(zhǔn)面差距圖查出它的概值，無(wú)資查取也可略去）；

RA——起算邊方向橢球面法截弧的曲率半徑，可由下式計(jì)算：

式中：Rm——起算邊中點(diǎn)地球半徑；

e′——橢圓的第二偏心率；

Bm——起算邊中點(diǎn)緯度；

α——起算邊方位角。

Rm、e′應(yīng)當(dāng)根據(jù)所選的坐標(biāo)系統(tǒng)（1954年北京坐標(biāo)系、1980年西安坐標(biāo)系）選取相應(yīng)的參數(shù)。

2）由投影高程面上的獨(dú)立坐標(biāo)換算高斯平面坐標(biāo)

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上述五種選擇局部坐標(biāo)系統(tǒng)的建立方法可以看出：第一種和第四種使用起來(lái)比較簡(jiǎn)單，但應(yīng)用范圍受到限制；第二種方法是通過(guò)變更頭面面來(lái)抵償長(zhǎng)度綜合變形的，具有換算簡(jiǎn)便、概念直觀等優(yōu)點(diǎn)；第三種方法是通過(guò)變更中央子午線、選擇任意帶來(lái)抵償長(zhǎng)度綜合變形的，同樣具有概念清晰、換算簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)，但換系后與原國(guó)家同一坐標(biāo)差異較大。希望廣大工程建設(shè)者能夠根據(jù)工程的大小、地形的復(fù)雜程度和工程所處的地理位置選擇不同坐標(biāo)系，以減少投影變形的誤差，從而達(dá)到節(jié)省人力、物力，提高施工控制網(wǎng)精度的目的。