劉文超，卞鴻巍，王榮穎，溫朝江

海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430033

1 引 言

地球橢球面上任意兩點(diǎn)之間的最短距離為大地線，大地線是一條既有曲率又有擾率的空間曲線，不便于應(yīng)用；而大橢圓是通過橢球面上兩個已知點(diǎn)和橢球中心所作的平面切割橢球產(chǎn)生的截面橢圓，是與大地線十分接近的規(guī)則曲線，大橢圓算得的大地距離與用嚴(yán)密公式算得的大地線長相差極?。?－2］。因此，按地球橢球面上的大橢圓航行是一種經(jīng)濟(jì)可行的遠(yuǎn)洋航法。然而傳統(tǒng)的船舶遠(yuǎn)洋和極區(qū)航行一般采用沿地球球體上兩點(diǎn)間的大圓弧即大圓航線航行。但是，地球?qū)嶋H上并不是一個標(biāo)準(zhǔn)的球體，而是一個近似的旋轉(zhuǎn)橢球體。大圓航線設(shè)計階段采用的球體模型和航行階段現(xiàn)代導(dǎo)航設(shè)備采用的橢球體模型間不統(tǒng)一，使得船舶使用現(xiàn)代導(dǎo)航設(shè)備執(zhí)行航行計劃存在誤差，影響船舶的正常航行和安全。大圓航線與大橢圓航線的航程誤差，最大可達(dá)大橢圓航程的0.5%［3］，在極區(qū)的相對誤差也比其他地區(qū)偏大，因此為了滿足現(xiàn)代導(dǎo)航對遠(yuǎn)距離、高緯度和高精度的要求，遠(yuǎn)洋和極區(qū)航行中航線的設(shè)計應(yīng)該以規(guī)則的大橢圓為依據(jù)，以提高航線設(shè)計精度。

對大橢圓航線進(jìn)行設(shè)計，首先需要計算兩個大橢圓航線基本參數(shù)：大橢圓航程和大橢圓方位角，然后根據(jù)分點(diǎn)原則（等經(jīng)差或等航程［4］）求解分點(diǎn)坐標(biāo)，最后計算出各分點(diǎn)間的恒向線航向和航程。本文主要針對前兩個方面進(jìn)行研究，目前研究大橢圓航線的方法與工作主要體現(xiàn)在以下方面：①將橢球面描寫到球面上，采用球面幾何的方法，解算大橢圓航程和航線坐標(biāo)［5－7］；②利用圓弧與大橢圓弧的對應(yīng)關(guān)系，對大橢圓航程進(jìn)行求解［8］；③采用大地坐標(biāo)系下的空間曲線方程及其曲線相關(guān)矢量的方法，計算大橢圓航線航程和方位角［9－10］；④采用位置矢量的方法，研究大橢圓航線航程、方位角和正反解問題［11－13］；⑤采用單位速度矢量的方法，研究大橢圓航線航程、方位角和正反解問題［14－16］。從以上分析來看，空間矢量方法計算推導(dǎo)最為簡潔，研究內(nèi)容多關(guān)注于大橢圓導(dǎo)航中參數(shù)解算和航線方程正反解確定問題，在船舶大橢圓航線系統(tǒng)設(shè)計方面，尚需進(jìn)一步研究以形成一套完善的大橢圓航線設(shè)計方法。

針對此問題，通過直接求解大橢圓頂點(diǎn)位置坐標(biāo)，應(yīng)用兩個基本矢量推導(dǎo)大橢圓航線方位和航程計算公式，進(jìn)而研究航線設(shè)計算法，重點(diǎn)研究基于Newton－Raphson（N－R）［17］等距離航線設(shè)計算法。

2 大橢圓描述方法

2.1 位置相關(guān)矢量［12］

地球形狀是一個凹凸不平的扁球體，為了獲得精確航海計算的平滑地球模型，通常把地球近似為一個繞其短軸旋轉(zhuǎn)的參考橢球體。如圖1所示，參考橢球表面上任意一點(diǎn)的位置可以用地理緯度φ和地理經(jīng)度λ來確定，設(shè)參考橢球表面上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（φ，λ），與之對應(yīng)的位置矢量X可表示為

式中，RN為卯酉圈曲率半徑；e為偏心率。

同樣，點(diǎn)P的位置也可以用地心緯度φ和地心經(jīng)度λ（與地理經(jīng)度數(shù)值相等）來確定，則點(diǎn)P的坐標(biāo)又可表示為（φ，λ），位置矢量X也可表示為

式中，r為點(diǎn)P到參考橢球中心O的距離，即

式中，a為參考橢球長軸半徑。

圖1 地球橢球體Fig.1 Earth ellipsoid

由式（1）和式（2）相等得地理緯度和地心緯度的轉(zhuǎn)換關(guān)系

根據(jù)地理經(jīng)緯度與地球坐標(biāo)系的關(guān)系，可得點(diǎn)P處的單位法線矢量TU、等緯度圈單位切線矢量TE和子午線單位切線矢量TN分別為

2.2 大橢圓頂點(diǎn)、長軸矢量和短軸矢量

如圖2所示，弧為AB赤道半圓，參考橢球上任意兩個點(diǎn)決定大橢圓，大橢圓的圓心在參考橢球的中心，長軸在大橢圓平面與赤道平面的交線上，長度為2a，短軸過橢圓圓心與長軸垂直。設(shè)P（φP，λP）和Q（φQ，λQ）為一個大橢圓上的兩個點(diǎn)，滿足φP、φQ不能同時為零且λP≠λQ，對應(yīng)的位置矢量分別為XP和XQ，則大橢圓平面的單位法線矢量為

大橢圓長軸既在大橢圓平面內(nèi)又在赤道平面內(nèi)，因此沿大橢圓長軸的一個單位矢量I0為

大橢圓短軸既與長軸垂直又與大橢圓的法線垂直，因此沿大橢圓短軸的一個單位矢量J0為

則大橢圓短軸與參考橢球在北半球的交點(diǎn)V的地心緯度滿足

考慮到短軸與參考橢球有兩個交點(diǎn)，這里為了得到北半球的交點(diǎn)，因此對反正弦函數(shù)取絕對值。點(diǎn)V相應(yīng)的經(jīng)度為

將φV代入式（3），易知大橢圓短半徑b為

由式（3）可知，北半球范圍內(nèi)大橢圓上的點(diǎn)與參考橢球球心的距離是關(guān)于緯度的減函數(shù)，短半徑為該函數(shù)的最短距離，因此V點(diǎn)為大橢圓上緯度最高的點(diǎn)［18］，即大橢圓的頂點(diǎn)。

圖2 大橢圓頂點(diǎn)、長軸矢量和短軸矢量Fig.2 Vertex，major－axis vector and minor－axis vector of great ellipse

定義大橢圓的長軸單位矢量I和短軸單位矢量J分別為

式中，I與I0相等或相反；J與J0相等或相反。但上述定義沒有考慮兩種特殊情況：一是當(dāng)φP、φQ同時為零，此時大橢圓和赤道重合，可定義

二是當(dāng)λP＝λQ，此時大橢圓與子午圈重合，可定義

采用長軸單位矢量I和短軸單位矢量J描述大橢圓，方便下文的公式推導(dǎo)和計算。

3 大橢圓航線航程和方位角

3.1 大橢圓航線航程計算

大橢圓剖面圖如圖3所示，其方程可以用式（17）的參數(shù)方程表示

圖3 大橢圓剖面圖Fig.3 Section of Great ellipse

矢量aI對應(yīng)的位置點(diǎn)沿大橢圓逆時針方向到矢量X對應(yīng)的位置點(diǎn)的弧長S（θ）為

式（19）為橢圓積分，沒有解析解，具體計算方法參考文獻(xiàn)［2］。

P和Q分別為大橢圓航線的始點(diǎn)和終點(diǎn)，應(yīng)用式（18）求出相應(yīng)的θ角，分別為θP和θQ，考慮參考橢球上兩點(diǎn)之間的大橢圓航線為劣弧，因此P和Q兩點(diǎn)之間的航程為

3.2 大橢圓航線方位角計算

大橢圓航線方位角（如圖4所示）通過計算大橢圓航線的單位切線矢量和子午線單位切線矢量的夾角進(jìn)行求解。大橢圓航線上任意點(diǎn)處的一個單位切線矢量既垂直于大橢圓平面的法線又垂直參考橢球的法線，即

考慮到同一點(diǎn)處大橢圓航線的單位切線矢量有TGE和－TGE兩種情況，因此大橢圓航線方位角也存在兩種情況，即

圖4 大橢圓航線方位角Fig.4 Azimuth of Great ellipse

4 大橢圓航線設(shè)計算法

4.1 等經(jīng)差大橢圓航線設(shè)計算法

大橢圓航線上任意一點(diǎn)的位置矢量X、長軸單位矢量I和短軸單位矢量J共面，因此滿足

將式（2）和式（14）代入式（23），解得

將地心坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為地理坐標(biāo)得

根據(jù)等經(jīng)差的分點(diǎn)原則確定分點(diǎn)經(jīng)度后，利用式（25）確定分點(diǎn)緯度，然后計算出各分點(diǎn)間的恒向線航程和方位。

當(dāng)大橢圓航線在赤道上或者子午圈上時，按大橢圓航線航行即按恒向線航行，無須進(jìn)行大橢圓航線設(shè)計。

4.2 等距離大橢圓航線設(shè)計方法

先根據(jù)式（20）求出總航程S，確定分點(diǎn)數(shù)量n，每段航程為

則第i個分點(diǎn)與始點(diǎn)P的距離為

設(shè)第i個分點(diǎn)對應(yīng)的位置向量為Xi，θ角為θi，P點(diǎn)對應(yīng)的θ角為θP，則θi滿足f（θi）＝0，考慮多種情形，則

式（28）解析解可通過復(fù)雜的推導(dǎo)得到，也可以通過采用 Newton－Raphson（N－R）方法［17］近似獲得，即

如果在遞推過程中出現(xiàn)θi，k?［0，2π） ，通過判斷θi，k所處的象限確定在定義域內(nèi)對應(yīng)的角度。很明顯f′（θi）在f（θi）＝0根θi附近不為零，f″（θi）存在，并滿足

注意到橢圓的長、短半軸近似相等，很自然的把式（31）當(dāng)成初始值

設(shè)置初始值同樣會出現(xiàn)θi，0?［0，2π） ，通過判斷θi，0所處的象限確定在定義域內(nèi)對應(yīng)的角度。

將式（18）和式（25）聯(lián)立，可得

求出θi后，利用式（32），求解分點(diǎn)地心緯度及地理緯度，然后利用式（25）求分點(diǎn)經(jīng)度，即

會出現(xiàn)λi?［－π，π］，也需要進(jìn)行象限判斷和確定。確定好分點(diǎn)緯度和分點(diǎn)經(jīng)度，然后計算出各分點(diǎn)間的恒向線航程和方位。

5 算例分析

為驗(yàn)證本文提出的大橢圓航線設(shè)計方法以及比較大橢圓航線和大圓航線設(shè)計差別，以非洲好望角 （35°S，20°E）到澳大 利 亞 墨 爾 本 （38°S，145°E）之間的航線為例進(jìn)行分析，大圓航線設(shè)計采用航海學(xué)半徑為6 366 707m的球體模型，大橢圓航線設(shè)計采用 WGS－84參考橢球模型，分段恒向線航程和方位計算方法參照文獻(xiàn)［19—20］，結(jié)果見表1—3。

表1 航程與初始方位角結(jié)果比較Tab.1 Distance and initial azimuth comparison

表1為大橢圓航線和大圓航線航程和初始方位角結(jié)果比較?？梢钥闯?，大橢圓航線航程比大圓航線航程長15.644nmile，初始方位角比大圓航線初始方位角小7′39″。

表2為大橢圓航線和大圓航線等經(jīng)差設(shè)計算法結(jié)果比較，可以看出，分點(diǎn)經(jīng)度和分點(diǎn)緯度完全一樣，分段恒向線方位幾乎一樣（誤差量級為10－12°），但僅僅是數(shù)值上相等，由于采用地球模型不一致，其幾何意義完全不同。除此之外，分段恒向線航程誤差最大可達(dá)0.919nmile，總航程誤差達(dá)5.257nmile。

表2 等經(jīng)差航線設(shè)計算法結(jié)果比較Tab.2 Comparison of equal longitude difference route planning algorithm

表3 等距離航線設(shè)計結(jié)果比較Tab.3 Comparison of equal distance route planning algorithm

表3為大橢圓航線和大圓航線等距離設(shè)計算法結(jié)果比較，可以看出，大橢圓航線和大圓航線設(shè)計各參數(shù)均不相同，分點(diǎn)經(jīng)度最大誤差可達(dá)2′15″，分點(diǎn)緯度最大誤差可達(dá)59″；分段恒向線方位最大誤差可達(dá)1′42″，分段航程最大誤差可達(dá)0.531nmile，總航程誤差達(dá)5.249nmile。

大橢圓航線設(shè)計與航行階段現(xiàn)代導(dǎo)航設(shè)備采用的橢球體模型保持一致，航線設(shè)計解算的參數(shù)與導(dǎo)航設(shè)備輸出參數(shù)基準(zhǔn)坐標(biāo)系相同，除受風(fēng)流影響外，能夠較好地執(zhí)行航行計劃，而大圓航線設(shè)計階段與航行階段采用地球模型不一致，受此影響航行的執(zhí)行會存在較大誤差。通過以上結(jié)果分析可得，大圓航線設(shè)計采用球體模型會存在誤差，主要體現(xiàn)在：航程和初始方位角參數(shù)存在誤差；等經(jīng)差航線設(shè)計算法對于兩種航線的分點(diǎn)坐標(biāo)和分段恒向線航向影響不大，而分段恒向線航程和總航程有較明顯誤差；等距離航線設(shè)計得到的各段參數(shù)均存在明顯誤差。因此，采用大橢圓航線設(shè)計算法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的大圓航線設(shè)計算法，使得航線設(shè)計和航行階段采用的地球模型一致，可以消除大圓航線計劃階段和航行階段由于地球模型不同引起的誤差，一定程度上提高了航海計算精度。

6 結(jié) 論

本文提出了依據(jù)長軸矢量和短軸矢量的大橢圓描述方法，推導(dǎo)了大橢圓航線方位和航程計算公式，研究了航線設(shè)計算法，包括等經(jīng)差航線設(shè)計算法和基于N－R方法的等距離航線設(shè)計算法。對比算例表明，大圓航線與大橢圓航線設(shè)計結(jié)果差異明顯，而采用大橢圓航線設(shè)計與現(xiàn)代導(dǎo)航設(shè)備采用的地球模型相同，不會引起由模型差異導(dǎo)致的誤差，因此大橢圓航線設(shè)計算法可以消除大圓航線計劃階段和航行階段采用不同地球模型引起的誤差，提高航海計算精度，且提出的算法可適用于航線設(shè)計的程序化設(shè)計。

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