徐鴻鵬+尹社會+皮小力

摘 要： 運用Matlab中的Simulink組件，通過理論和數(shù)值模擬分析一個八模類Lorenz混沌系統(tǒng)的非線性特性，從對稱性、耗散性、空間相圖、功率譜、Poincare映射、分岔圖等幾個方面展示了該系統(tǒng)具有豐富的動力學行為。通過構(gòu)造廣義李雅普諾夫函數(shù)給出新的全局指數(shù)吸引集及其指數(shù)估計速率，該類系統(tǒng)解的界估計為其控制和同步提供理論依據(jù)，通過計算機模擬證明，數(shù)值模擬與理論計算的結(jié)果相吻合。

關(guān)鍵詞： 八模類Lorenz系統(tǒng)； 理論分析； 數(shù)值模擬； 全局吸引集

中圖分類號： TN911?34； O357.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2015）14?0006?02

Global dynamics characteristics and numerical simulation of eight?mode?like Lorenz system

XU Hongpeng， YIN Shehui， PI Xiaoli

（Henan Polytechnic Institute， Nanyang 473000， China）

Abstract： The nonlinear characteristic properties of eight?mode Lorenz?like chaotic system are analyzed by theoretical and numerical simulation based on Simulink in Matlab software. The rich dynamic behavior of the novel chaotic system is demonstrated in the aspects of symmetry， dissipation， space phase diagram， power spectrum， Poincare mapping and bifurcation diagram. The globally exponential attractive set and its exponential estimation rate are given via constructing the generalized Lyapunov function. The boundedness obtained in this paper provides the theoretic foundation for chaotic control and chaotic synchronization of the system. Numerical simulation results show the effectiveness of the proposed scheme， and is consistent with the results of theoretical calculation.

Keywords： eight?mode?like Lorenz system； theoretical analysis； numerical simulation； globally attractive set

0 引 言

奇怪吸引子是相空間中的一個點集，隨著運動時間的增加，所有軌線都趨向于它。自從Lorenz在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了蝴蝶混沌吸引子之后[1]，就有新的混沌吸引子不斷被發(fā)現(xiàn)，尤其是這些混沌系統(tǒng)的動力學行為和一些系統(tǒng)的有界性被許多研究者所認識和研究[2?9]。本文進一步考慮文獻[10]所提出的新八模類Lorenz 方程組，結(jié)合數(shù)值計算分析了該系統(tǒng)的動力學特性，表明了在一定參數(shù)范圍內(nèi)混沌吸引子的存在性。并通過構(gòu)造廣義李雅普諾夫函數(shù)給出了新的全局指數(shù)吸引集及其指數(shù)估計速率。

1 數(shù)學模型及其主要結(jié)果

崔妍等在研究平面正方形區(qū)域上不可壓縮的Navier?Stokes方程進行傅立葉展開后，進行截斷得到一個新的八模類Lorenz 方程組[10]。該混沌系統(tǒng)的方程為：

[x1=-2x1+4x2x3+4x4x5+4x6x8x2=-9x2+3x1x3x3=-5x3-7x1x2-95x1x7+Rex4=-5x4-x1x5x5=-x5-3x1x4+5x1x6x6=-x6-5x1x5-3x1x8x7=-5x7+95x1x3x8=-5x8-x1x6] （1）

式中：[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8∈R8]為狀態(tài)變量；雷諾數(shù)Re為系統(tǒng)實參數(shù)，其物理意義為是流體慣性力與黏性力比值的量度，無量綱，通過改變Re的取值，可以得到系統(tǒng)的不同動力學行為。

當Re=44.5時，初值取[1，1，1，1，1，1，1，1]，系統(tǒng)（1）軌線的相圖如圖1所示。

圖1 吸引子相圖

Poincare映射是通過降低超平面的維數(shù)來進行定性研究的一種重要手段，圖2表示系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。功率譜是另一種重要的判斷方法，連續(xù)功率譜并出現(xiàn)峰值則進一步表明吸引子的混沌特性，如圖3所示。分岔圖如圖4所示。

圖2 Poincare映射

圖3 功率譜

圖4 分岔圖

通過數(shù)值模擬計算表明，隨著參數(shù)[Re]的變化，系統(tǒng)表現(xiàn)出匯聚點、極限環(huán)（周期軌或擬周期軌）和混沌吸引子等不同的非線性行為，即出現(xiàn)臨界Hopf分岔和混沌現(xiàn)象。

2 系統(tǒng)的界估計和數(shù)值模擬

下面給出系統(tǒng)的界估計和最終有界集的結(jié)論。

定理1：集合[Ω=Xi=18x2i≤Re52]是系統(tǒng)（1）的正向不變集和最終有界集，其中：

[X=x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]

證明：令[VXt=12i=18x2i]為廣義正定，徑向無界的Lyapunov函數(shù)，對[V]沿系統(tǒng)（1）的軌線對時間求導有：

[dVdt1=i=18xixi=-[2x21+9x22+5x3-Re102+ 5x24+x25+x26+5x27+5x28]+Re220]

令[V=dVdt1=0]，可得到八維超球面[Γ]：

[Γ=X2x21+9x22+5x3-Re102+5x24+x25+x26+5x27+5x28=Re220]

在[Γ]外部，[V<0]，在[Γ]內(nèi)部，[V>0]，因此，函數(shù)[Vx，y，z]只能在[Γ]上取得最大值，如果記函數(shù)[Vx，y，z]在[Γ]上的最大值為[R2]，根據(jù)文獻[9]可得[R2=Re52]。

對于集合[Ω=Xi=18x2i≤Re52]，有[Γ?Ω]；應(yīng)用反證法易證，[limt→∞ρXt，t0，X0，Ω=0]，即集合[Ω]是系統(tǒng)（1）的正向不變集和最終有界集。特別地，當參數(shù)[Re=44.5]時，系統(tǒng)（1）的最終界估計為，[Ω=Xi=18x2i≤8.92]，如圖5所示。

圖5 最終界

定理2： 令[VXt=12i=18x2i]，則當[VXt≤Re52，][t≥t0]時，系統(tǒng)（1）有如下的指數(shù)估計式：

[VXt-Re52≤VXt0-Re52e-2t-t0， t≥t0]

特別地，集合[Ω=Xi=18x2i≤Re52]是系統(tǒng)（1）的全局指數(shù)吸引集。證明略。

該定理不僅給出了系統(tǒng)解的最終界估計式，而且給出了系統(tǒng)（1）的軌線從吸引集外進入吸引集的速率估計表達式。

3 結(jié) 論

本文研究了參數(shù)[Re]變化時系統(tǒng)（1）的部分動力學行為和全局吸引集，并且給出了相應(yīng)的計算機仿真。由于該系統(tǒng)具有豐富的動力學行為，其中混沌機理和分岔現(xiàn)象的研究以及電子振蕩電路是下一步研究的重點任務(wù)。

參考文獻

[1] LORENZ E N. Deterministic non?periods flows [J]. Journal of Atoms Sci， 1963， 20（2）： 130?141.

[2] 呂金虎.混沌時間序列分析及其應(yīng)用[M].武漢：武漢大學出版社，2002.

[3] 尹社會，張勇，張付臣，等.基于Lorenz系統(tǒng)的強迫Lorenz混沌系統(tǒng)的動力學研究[J].東北師大學報：自然科學版，2014，46（1）：42?47.

[4] 楊洪亮，張付臣，舒永錄，等.一個新三維類洛倫茲系統(tǒng)的最終有界集和正向不變集及其在同步中的應(yīng)用[J].山東大學學報：理學版，2010，45（9）：83?89.

[5] 廖曉昕.論Lorenz混沌系統(tǒng)全局吸引集和正向不變集的新結(jié)果及對混沌控制與同步的應(yīng)用[J].中國科學（E輯），2004，34（12）：1404?1419.

[6] 廖曉昕，羅海庚，傅予力，等.論 Lorenz 系統(tǒng)族的全局指數(shù)吸引集和正向不變集[J].中國科學（E輯），2007，37（6）：757?769.

[7] LI Damei， WU Xiaoqun， CHEN Guan?rong. Estimating the ultimate bound and positively invariant set for the Lorenz system and a unified chaotic system [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2006， 323（2）： 844?853.

[8] 張勇，尹社會，張光云，等.新混沌系統(tǒng)的有界性及其界估計[J].東北師大學報：自然科學版，2014，46（4）：81?84.

[9] 張勇，尹社會，舒永錄，等.新超混沌系統(tǒng)模型的動力學分析[J].東北師大學報：自然科學版，2014，48（6）：806?811.

[10] 崔妍，王賀元.一個新的平面不可壓縮的Navier?Stokes方程的八模類Lorenz方程組截斷[J].遼寧工學院學報，2007，27（6）： 416?420.

[11] LI Damei， LU Junan， WU Xiaoqun， et al. Estimating the bounds for the Lorenz family of chaotic systems [J]. Chaos， Solutiona and Fractals， 2005， 23（2）： 529?534.