徐玉慶+武小鵬

＼[作者簡介＼]徐玉慶（1985-），男，甘肅武威人。中學二級教師，碩士研究生，主要研究方向為課程教學論、比較研究。

＼[摘要＼]

數(shù)學教材中的習題在數(shù)學教學中發(fā)揮著重要的作用，習題的難度在一定程度上反映了教材的難度，本文利用一個綜合難度模型，選取中國、美國、新加坡三套初中數(shù)學教材中“三角形有關的角”的內容，從習題的背景、數(shù)學認知、運算、推理、知識綜合五個因素進行分析，為我國初中數(shù)學教材編寫提供參考。

＼[關鍵詞＼]教材比較;初中數(shù)學;國際比較;綜合難度模型;三角形

＼[中圖分類號＼]G424.7＼[文獻標識碼＼]A＼[文章編號＼]10054634（2015）03012104

0引言

綜合難度模型是一種利用等級權重來測量和統(tǒng)計難度的方法，該方法在國際比較教育領域發(fā)揮著重要作用。目前我國與之相關的研究成果中，代表性的有鮑建生、史寧中等在初中數(shù)學教材難度進行定量分析基礎上建立了課程難度模型＼[1＼]、朱婭梅在鮑建生的基礎上對中美初中數(shù)學教材進行了綜合難度分析＼[2＼]、賈隨軍在鮑建生、史寧中建立的“由探究、背景、運算、推理和知識含量五個因素的基礎上進行了微調，同時對中國與美國的數(shù)學教材中的習題進行了難度模型比較＼[3＼]。本文在賈隨軍教授的基礎上，對中國、美國、新加坡三國初中數(shù)學教材中的“三角形的有關角”的習題進行難度模型比較。首先，統(tǒng)計各因素上每個水平層次中的習題題量及百分比;其次，根據(jù)等級權重利用下面的公式計算中、美、新教材在每個因素上的加權平均值：

di=∑jnijn（∑nij=n，i=1，2，3，4，5，j=1，2，…）

其中di（i=1，2，3，4，5），分別為“數(shù)學認知”、“背景”、“運算”、“推理”、“綜合知識”五個難度因素上的取值;dij為第i個難度因素的第j個水平權重（以水平分別取1，2，3，…）;nij則表示這組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數(shù)，其總和等于該組題目的總數(shù)n＼[4＼]。

1樣本選取

考慮到購買教材的便利性，故選取了人教版教材＼[5＼]、美國Glencoe Mathematics.Geometry＼[6＼]和New Mathematics Counts for Secondary 2 Normal （Academic） Singapore＼[7＼]來進行比較研究。

本文中的習題包括：中國教材“三角形的有關角”中的“合作探究”、“練習”、“復習鞏固”、“綜合應用”、“拓廣探索”等;美國教材中的例題（Example）、活動（Activity）、證明（Proof）、概念檢查（Concept Check）、引導練習（Guide Practice）、應用（Application）為下節(jié)課做準備（Getting Ready for the Next Lesson）等;新加坡教材“三角形有關的角”中的“例題（Example）”、“練習（Exercise 6C、6D）”。從表1中統(tǒng)計的習題數(shù)量上可以看出，美國教材的習題最多，其次是人教社教材，接下來是新加坡教材，中國和新加坡教材差別不大。

表1樣本教材及習題總數(shù)

國別教材樣本出版年代習題數(shù)量

中國人民教育出版社：義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學七年級下冊200433

美國Glencoe Mathematics.Geometry.The McGrawHill Companies200473

新加坡New Mathematics Counts for Secondary 2 Normal （Academic） Singapore： Marshall Cavendish Education200731

2綜合難度模型

根據(jù)分析和計算得到表2的分析數(shù)據(jù)。

表2三國數(shù)學教材習題綜合難度數(shù)據(jù)分析

難度

因素等級

水平題量百分比加權平均

人教新加坡美國人教新加坡美國人教新加坡美國

數(shù)學

認知理解0130%3.23%5.26%

運用21184463.64%58.06%77.20%

分析12121036.36%38.71%17.54%2.362.352.12

背景無背景29314087.88%100.00%70.18%

有背景401712.12%0.00%29.82%1.121.001.3

運算無運算2166.06%3.23%10.53%

數(shù)值運算23174469.70%54.84%77.19%

簡單符號運算813724.24%41.94%12.28%2.182.392.02

推理無推理0130%3.23%5.26%

簡單推理27275281.82%87.10%91.23%

復雜推理63218.18%9.68%3.51%2.182.061.98

綜合知識1個18193654.55%61.29%63.16%

2個10102130.30%32.26%36.84%

3個以上52015.15%6.45%0%1.611.451.37

2.1數(shù)學認知因素水平的綜合難度分析

由表2可得，三種教材在“理解”因素上差異較小，“運用”因素水平的習題數(shù)據(jù)表明，人教社教材比美國教材高了13%，美國教材比新加坡教材高出約19%，人教社教材比新加坡教材高出約5%;對于“分析”因素水平的習題，美國教材比人教社教材低了18%，美國教材比新加坡教材低了近21%，人教社教材比新加坡教材低了近2%。

美國教材“運用”因素水平上的習題所占比例很高，是由于美國教材注重概念、公理、定理的直接轉化。而美國教材“分析”水平的習題比例偏低，是由于美國教材對每題的處理都“碎片化”，如圖1（美國教材189頁）所示，都是讓把題目“碎片化”，將每道題目分解成幾步，引導學生去完成，所涉及的定理都是單一的，然后讓學生計算∠2和∠3等。相反，人教社教材對于習題的處理更加“整體化”、“綜合化”，如圖2（人教版82頁）所示，直接給出所有的條件，計算∠ACB的度數(shù)。學生在解決問題的過程中將問題“碎片化”，從而建立解題策略，“分析”水平相對很高，新加坡教材的“分析”水平相對也很高，如圖3（新加坡教材189頁）＼[7＼]。但是新加坡教材和美國教材有著共同的特點——對于題目的處理“低起點”、“碎片化”＼[6，7＼]。

圖1美國教材習題

圖2人教版教材習題

圖3新加坡教材習題

2.2背景因素的水平綜合難度分析

有背景的習題比例，美國教材比人教社教材高出約18%，美國教材比新加坡教材高出約30%，人教社教材比新加坡教材高約12%。在統(tǒng)計過程中發(fā)現(xiàn)，新加坡教材沒有一道題目有背景，全部習題都是純粹的數(shù)值和符號運算。同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材“有背景”的習題很少出現(xiàn);美國教材習題則有著豐富的生活背景＼[7＼]，有現(xiàn)實生活中如何制作風箏（How are the angles of triangles uses to make the kites）、跳臺滑雪（ski jumping）、速滑（speed skating）等。

2.3運算因素的水平綜合難度分析

在運算水平上，三種教材的主要運算形式是“數(shù)值運算”、“無運算”習題的比例都很低＼[8＼]。“數(shù)值運算”美國教材比人教社教材高約5%，比新加坡教材高約13%;而在“簡單符號運算”中新加坡教材比人教社教材高約13%，比美國教材高約29%。

2.4推理因素的水平的綜合難度分析

三種教材在“無推理”因素水平的習題所占比例并沒有明顯的差異＼[9＼]，人教社教材中沒有無推理的題目，屬于“簡單推理”水平的習題相差不大，美國教材和新加坡教材簡單運算的所占比例都很高;屬于“復雜推理”水平的習題比例，人教社教材比美國教材高約15%，比新加坡教材高約8%，新加坡教材比美國教材高約7%。從統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材對于習題的推理要求都高于美國教材，人教社教材對習題的推理水平是三種教材中最高的。

2.5綜合知識因素的水平綜合難度分析

在綜合知識方面，對于“1個知識點”和“2個知識點”，三種教材的要求基本一致，但是，對于“3個及以上知識點”習題的要求不同，美國教材要比人教社教材低近15%，但是，美國教材比新加坡教材高了近6%。由于美國教材強調題目的“碎片化”處理，所以對于“3個及以上的知識點”要求不是很高，題目相對較少。

2.6各因素水平綜合難度的比較

前面通過五個難度因素對三種教材進行了詳細比較，在此基礎上利用綜合難度模型綜合難度值＼[10＼]。通過對表2中加權平均值的統(tǒng)計，得到下面的雷達圖（圖4）。

圖4三種教材綜合難度的比較

如圖4所示，在認知水平方面，人教社教材和新加坡教材占據(jù)前兩位;在背景方面美國教材最高，其次是人教社教材，新加坡教材第三;而且從圖中發(fā)現(xiàn)三個五邊形在背景方面都有向內傾的趨勢，說明在教材習題的設計上關于實際背景的題目偏少;運算水平新加坡教材占據(jù)第一的位置;推理方面人教社教材占據(jù)第一，其次是新加坡教材，美國教材次之;在知識含量方面，人教社教材基本上每個題目都包含2個知識點，3個及以上的知識點習題也是遠高于美國教材和新加坡教材的。

3啟示

首先，中美新三國初中數(shù)學對于學生在“認知”、“運算”、“推理”中的能力要求都很高;而中國和新加坡教材對學生的綜合推理能力要求相對較高;美國教材處理習題更加注重層次化、碎片化，即將一個綜合問題分解成若干小問題，這和目前國內通用的導學案有相同之處，意在引導學生獨立解決問題。同樣，新加坡教材中的習題也有這個特點，將一個復雜問題分解成幾個小問題，而且美國和新加坡教材在題目的設計結構上有共同之處;人教社教材更注重推理的綜合化、模塊化，對學生綜合能力的要求相對較高。所以，美國和新加坡教材對于習題的處理方面值得中國教材借鑒。

其次，在背景因素水平方面，人教社教材和新加坡教材中含有背景的題目要遠遠低于美國教材，美國教材對于題目的設計貼近于生活，包含了生活中的許多場景，呈現(xiàn)方式也很豐富＼[10＼];人教社教材習題所含的背景很少，且沒有很好地和學生的實際生活相聯(lián)系，好多題目都是純粹的推理計算;新加坡教材完全是單一的數(shù)值符號運算，沒有一道題目有實際背景;所以，在教材習題的設計過程中，要更加注重教材和現(xiàn)實生活的聯(lián)系，讓學生感受到知識來源于生活，同時服務于生活，讓學生學習有用的知識。

最后，同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材在“運算”、“推理”方面有共同之處，更加強調學生解決問題的綜合能力，更加注重學生的運算推理能力;美國教材則注重問題的引導及問題的生活化，每道題目起點都比較低，學生可以利用簡單的計算和推理就能解決，對于復雜的題目也是同樣的處理方式，新加坡教材的大部分題目起點也比較低，易于學生嘗試去解決，這些值得我國在編寫初中數(shù)學教材時去借鑒。

參考文獻

＼[1＼] 王建磐，鮑建生.高中數(shù)學教材中例題的綜合難度的國際比較＼[J＼].全球教育展望，2014，（8）：101110.

＼[2＼] 朱婭梅.中美初中數(shù)學教材綜合難度的比較研究＼[J＼].數(shù)學教學，2013：10.

＼[3＼] 賈隨軍，呂世虎，李保臻.中國與美國初中數(shù)學教材習題的個案比較——以“與三角形有關的角”為例＼[J＼].數(shù)學通報，2014，（9）：1723.

＼[4＼] 蔡慶有，鄺孔秀，宋乃慶.小學數(shù)學教材難度模型研究＼[J＼].教育學報，2013，（5）：99103.

＼[5＼] 課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開放中心.義務教育課程標準試驗教課數(shù)·數(shù)學·七年級（下冊）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2004：7883.

＼[6＼] Carol B，Jerry C，Carol M，et al.Glencoe Mathematics.Geometry＼[M＼].The McGraw-Hill Companies，2004：184191.

＼[7＼] New Mathematics Counts for Secondary 2 Normal（Academic）＼[M＼].Singapore：Marshall Cavendish Education，2007：184189.

＼[8＼] 張維忠，黃麗虹.新教材“三角形”課程難度的對比分析＼[J＼].數(shù)學教育學報，2009，（4）：6164.

＼[9＼] 孫露.初中數(shù)學形成性測試卷與課程標準的一致性分析——以“圖形與幾何”領域為例＼[D＼].黃山：黃山學院，2012.

＼[10＼] 張婷.高中數(shù)列不同版本教科書內容的比較研究＼[D＼].長春：東北師范大學，2009.

Comparison on composite difficulties of problem sets in junior school

The angle of triangle from China，the United States and Singapore

XU Yuqing1，WU Xiaopeng2

（1.The Junior Forth School of Jiuquan，Jiuquan，Gansu 735000，China;

2.Lanzhou Fourteenth High School，Lanzhou，Gansu730000，China）

AbstractThe problem sets in mathematics textbooks play a multi-functional role in mathematics teaching and learning， and the difficulty of problem sets affects the difficulty of mathematics textbooks.With three sets of junior school mathematics textbooks from China，Singapore，and the United States about the angle of triangle，the present paper uses a composite difficulty model to analyze the difficulty levels of problem sets in the textbooks with respect to 5 factors—the problem context，the mathematical cognition，the computation complexity，the reasoning difficulty，and the topic coverage of the angle of triangle.It may provide references for the compilation of junior school mathematics textbooks in our country.

Key wordstextbooks compare;junior school mathematics;international comparison;comprehensive difficulty model;triangle