閆興文，任春光，韓肖清，王磊，楊宇，2（.太原理工大學(xué)電氣與動力工程學(xué)院，太原030024；2.山西省電力公司，太原03000）

三相電壓型PWM整流器慢時標不穩(wěn)定現(xiàn)象分析

閆興文1，任春光1，韓肖清1，王磊1，楊宇1，2
（1.太原理工大學(xué)電氣與動力工程學(xué)院，太原030024；2.山西省電力公司，太原030001）

針對三相電壓型脈沖寬度調(diào)制PWM（pulse widthmodulation）整流器的慢時標不穩(wěn)定現(xiàn)象，分析了現(xiàn)有的三相電壓型PWM整流器的小信號頻域模型，通過建立能精確預(yù)測系統(tǒng)穩(wěn)定邊界的時域模型，求取了閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程的Jacobian矩陣，依據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判定法則對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行判斷，并將時域模型與現(xiàn)有小信號頻域模型做比較，明確了頻域模型的精確適用頻率范圍，闡述了頻域模型只適用于很低的頻域的原因，解釋了三相電壓型PWM整流器的不同于單相變換器的低頻振蕩現(xiàn)象。仿真結(jié)果驗證了所建時域模型在判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的精確性。

三相；整流器；慢時標不穩(wěn)定；分岔；時域模型；小信號模型

三相電壓型PWM變換器被廣泛應(yīng)用于新能源發(fā)輸電領(lǐng)域，由于新能源發(fā)電的間歇性比較大，便對整流器直流輸出電壓的穩(wěn)定性提出了更高的要求。直流電壓應(yīng)保證輸出諧波含量少，穩(wěn)態(tài)誤差小，動態(tài)響應(yīng)速度快，具有較強的帶負載能力。因此，優(yōu)化設(shè)計三相電壓PWM整流器的控制策略是必不可少的。目前，雙閉環(huán)PI調(diào)節(jié)器控制理論已相當成熟[1-4]，包括電壓環(huán)、電流環(huán)PI參數(shù)設(shè)計，交流側(cè)電感、直流側(cè)電容的選取和電流超調(diào)的抑制等。

這些控制策略的優(yōu)化設(shè)計都是基于狀態(tài)空間平均的小信號模型。小信號模型是系統(tǒng)在工作點附近的線性化模型，便于使用頻域分析方法研究參數(shù)變化對模型的影響，可以直觀地反映系統(tǒng)的帶寬和穩(wěn)定裕度，因模型簡單和物理意義明確等優(yōu)點被廣泛采用[2]。但是，若要精確預(yù)測系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界，便需要明確小信號模型的適用范圍。文獻[5]提到單相的小信號模型可以精確到開關(guān)頻率的一半左右，然而，對三相模型的適用范圍目前還未做明確的說明，而若想精確地設(shè)計三相電壓型PWM整流器的控制系統(tǒng)，這項工作是必不可少的而且是及其重要的。

在現(xiàn)有小信號模型理論基礎(chǔ)上，最優(yōu)設(shè)計雙環(huán)PI參數(shù)之后，若對直流側(cè)負載做大幅度變動，系統(tǒng)仍會出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。在負載增大時，系統(tǒng)會呈現(xiàn)慢時標不穩(wěn)定（slow-scale instability）現(xiàn)象，這種現(xiàn)象最早在文獻[6]中被提出，如不加以控制便會發(fā)展成catastrophic bifurcation[7-9]；文獻[7]主要從功率傳輸角度分析了三相PWM整流器的這種現(xiàn)象。目前，學(xué)者們對單相變換器的快時標不穩(wěn)定（fastscale instability）和慢時標不穩(wěn)定現(xiàn)象已做了比較深入的探討和研究。文獻[10-11]分別對降壓Buck和升壓Boost變換器的振蕩和分岔問題作了詳細討論；此外，還有關(guān)于功率因數(shù)校正PFC（power factor correction）變換器[12-13]、升降壓Cuk變換器[14]和H橋直流變換器[15]的不穩(wěn)定現(xiàn)象的分析。然而，對三相PWM整流器的這種不穩(wěn)定現(xiàn)象研究的還很少，對振蕩頻率的解釋也不夠充分。

本文以三相電壓型PWM整流器的慢時標不穩(wěn)定現(xiàn)象為出發(fā)點，建立了系統(tǒng)的時域模型，能精確預(yù)測系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界，通過改變控制參數(shù)，從時域和頻域兩個角度分析這種不穩(wěn)定現(xiàn)象，利用狀態(tài)方程的Jacobian矩陣和由傳遞函數(shù)得到的Bode圖，并結(jié)合一系列的數(shù)值仿真闡述現(xiàn)有小信號模型的適用頻率范圍，解釋了三相PWM整流器和單相變換器不同的振蕩現(xiàn)象。

1 三相電壓型PWM整流器的慢時標不穩(wěn)定現(xiàn)象

三相電壓型PWM整流器在雙環(huán)PI控制器下的工作原理如圖1所示。

圖1 三相電壓型PWM整流器工作原理Fig.1 Schematic diagra Mof three-phase voltage source PW Mrectifier

表1給出了電路的運行參數(shù)。即使PI調(diào)節(jié)器參數(shù)在設(shè)計合理的情況下，負載電阻由50Ω減小至7.05Ω，直流電壓便會呈現(xiàn)低頻振蕩。

表1 電路運行參數(shù)Tab.1 Parametersof the circuit

這種低頻振蕩現(xiàn)象在不加控制的情況下便會發(fā)展成如圖2所示的波形1，致使系統(tǒng)徹底崩潰，導(dǎo)致災(zāi)難性后果。

圖2 PI調(diào)節(jié)器有無限制的直流電壓波形Fig.2 DC voltagewavefor Msw ith or w ithout li Mits in PIregulator

在實際電路中，積分器往往有約束限制，在電壓環(huán)PI調(diào)節(jié)器加以限幅而其他參數(shù)都未更改的情況下直流電壓可以得到有效控制，呈現(xiàn)圖2中的波形2。將波形2局部放大可得到如圖3（a）所示的振蕩幅度達60 V、振蕩頻率約300 Hz的直流電壓波形，這種現(xiàn)象便是前面提到的典型的慢時標不穩(wěn)定。

圖3 整流器的慢時標不穩(wěn)定現(xiàn)象Fig.3 Slow-scale instability phenomenon of the rectifier

當直流電壓低頻振蕩時觀察交流側(cè)電感中的能量變化，可以看到電感中的有功與無功功率同樣出現(xiàn)低頻振蕩，如圖3（b）所示，頻率與直流電壓振蕩頻率一致，并且有功功率出現(xiàn)過零點，在零點處直流電壓波動幅值處于最低點。

2 時域模型和頻域模型的穩(wěn)定性分析

本節(jié)基于數(shù)學(xué)模型在時域和頻域兩方面對三相電壓型PWM整流器的穩(wěn)定性問題做詳細分析，重點介紹時域模型的建立。

2.1 時域模型

由圖1所示的功率電路可得到整流器在dq0旋轉(zhuǎn)坐標下的電路狀態(tài)平均方程，即

式中：〈id〉T和〈iq〉T為狀態(tài)變量三相電感電流ia、ib、ic在開關(guān)周期T內(nèi)的平均值〈ia〉T、〈ib〉T、〈ic〉T變換到旋轉(zhuǎn)坐標下dq0的d軸和q軸分量；dd和dq為開關(guān)函數(shù)Sa、Sb和Sc坐標變換后的d軸和q軸占空比。式（1）中前2個公式用于電流內(nèi)環(huán)的控制，第3個式子用于電壓外環(huán)的控制。

在電壓外環(huán)控制電路中，直流電壓參考值vdcr與實際采樣值的差值經(jīng)PI控制器后作為電流內(nèi)環(huán)d軸電流的參考值idr，如圖1中控制電路所示。由此可得電壓外環(huán)控制電路的狀態(tài)方程為

式中：kv和分別為電壓外環(huán)PI控制器的比例系數(shù)和積分系數(shù)；x1為電壓差值的積分值。

在電流內(nèi)環(huán)控制電路中，idr和iqr分別為d軸和q軸電流的參考值，為使得交流輸入電壓與電流同相位取iqr=0。ki和分別為電流內(nèi)環(huán)PI控制器的比例系數(shù)和積分系數(shù)，vd和vq為圖1中va、vb和vc經(jīng)坐標變換后的d軸和q軸電壓，設(shè)x2和x3分別為d軸和q軸電流偏差的積分值，由此可得電流內(nèi)環(huán)控制電路的狀態(tài)方程，即

以上3個公式中，式（1）為主電路狀態(tài)方程，式（2）和式（3）為控制電路狀態(tài)方程。在式（1）和式（3）中存在的關(guān)系為

聯(lián)立式（1）、式（2）和式（3），寫成矩陣x˙=Ax+ Bu形式為

式中，狀態(tài)矩陣A為非線性矩陣。判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判別法，對式（5）求取Jacobian矩陣，得到

將表1情況下的平衡點參數(shù)帶入Jacobian矩陣，求取的特征值實部全部為負，逐漸減小負載電阻值到7.06Ω時特征值實部依然全部為負，電阻值降到7.05Ω時特征值實部出現(xiàn)正值，系統(tǒng)變得不再穩(wěn)定，這與仿真結(jié)果吻合良好。

2.2 頻域模型

式（1）經(jīng)拉普拉斯變換便可轉(zhuǎn)換成頻域模型，再經(jīng)小信號模型線性化和雙環(huán)PI解耦控制可得到其控制框圖，如圖4所示。

圖4 三相電壓型PWM整流器的控制框圖Fig.4 Controlblock diagra Mof three-phase voltage source PW Mrectifier

由控制框圖求得電流內(nèi)環(huán)閉環(huán)的傳遞函數(shù)為

電壓外環(huán)開環(huán)的傳遞函數(shù)為

將時域模型中的相同參數(shù)、負載電阻值7.05 Ω代入式（8）得到三相PWM整流器小信號模型開環(huán)Bode圖，如圖5所示。

圖5 電壓環(huán)開環(huán)Bode圖Fig.5 Bode diagra Mof voltageopen-loop

由圖5可以看到，系統(tǒng)正好處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。Bode圖和上述求解Jacobian矩陣特征值在判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性上結(jié)果是一致的，但Bode圖更加直觀地表現(xiàn)了系統(tǒng)的帶寬和參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的趨勢。

3 慢時標不穩(wěn)定現(xiàn)象與小信號模型精確性分析

3.1 單相與三相慢時標不穩(wěn)定現(xiàn)象對比

在文獻[10]中分析了單相Buck電路的慢時標不穩(wěn)定現(xiàn)象，系統(tǒng)不穩(wěn)定后直流電壓不是發(fā)生跌落而是呈現(xiàn)持續(xù)振蕩，這是由于電感電流不可為負導(dǎo)致的，變換器交替工作在電流連續(xù)和電流斷續(xù)兩種模式之間。

對于三相PWM整流器而言，電感中有功功率和直流輸出電壓也存在類似的關(guān)系，如圖3（b）中所示兩者呈現(xiàn)完全一致的振蕩現(xiàn)象。但是，三相電路中電感流過的有功功率不像單相中的一樣，它可以出現(xiàn)負值，功率電路中其他元器件也缺少類似的邊界約束，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定后便會走向災(zāi)難性的失穩(wěn)，進而也就可以解釋在電壓環(huán)PI調(diào)節(jié)器施加限幅后便可以呈現(xiàn)與單相一樣的持續(xù)振蕩現(xiàn)象。災(zāi)難性的失穩(wěn)在實際應(yīng)用中應(yīng)該是盡量避免的，然而在功率電路中實現(xiàn)對變量的約束限制是比較困難的，因此，必須在控制電路中對所需處理信號加以限幅。

3.2 小信號模型的精確范圍

在第2節(jié)中時域模型和小信號頻域模型都能比較精確地預(yù)測系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但此時系統(tǒng)的帶寬僅僅在174 rad/s左右，在更高或更低的帶寬下兩種模型是否仍然精確有待深入研究。探討模型能預(yù)測系統(tǒng)穩(wěn)定性的精確范圍需要將模型在不同帶寬下與仿真模型做比較。改變系統(tǒng)的帶寬可以通過改變交流側(cè)電感值、電流環(huán)比例系數(shù)和電壓環(huán)比例系數(shù)。逐漸改變電壓外環(huán)PI調(diào)節(jié)器比例系數(shù)kv，3種模型在不同帶寬下臨界穩(wěn)定的PI調(diào)節(jié)器積分系數(shù)的變化情況如表2所示。

從時域和頻域兩個角度與仿真模型做對比，隨著kv的增大，3種模型臨界穩(wěn)定時對應(yīng)的電壓環(huán)積分系數(shù)都在增大，小信號模型對應(yīng)的系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的帶寬也在逐漸提高，在約300 rad/s以內(nèi)3種模型預(yù)測的的穩(wěn)定邊界是相差不大的，超過此帶寬后時域模型與仿真模型依然匹配良好，但小信號模型的誤差逐漸增大，帶寬越高誤差越大，預(yù)測系統(tǒng)穩(wěn)定邊界的能力逐漸下降。通過一系列的仿真和模型對比，結(jié)果表明三相PWM整流器小信號模型精確預(yù)測穩(wěn)定邊界只適用于很低的頻率，約在300 rad/s以內(nèi)。但是，在高頻域小信號模型與仿真模型參數(shù)變化影響的趨勢是一致的，只是精確程度遠不能達到單相變換器所能精確到開關(guān)頻率的1/2。造成這種情況的原因主要有2點：①狀態(tài)空間平均在開關(guān)周期內(nèi)做了平均化處理，忽略了開關(guān)周期內(nèi)的高頻影響；②小信號線性化過程中忽略了模型中的高階分量。

表2 不同帶寬下3種模型臨界穩(wěn)定的比較Tab.2 Co Mparison of three kinds criticalstablemodel w ith differentbandw idth

在時域模型中，首先得到的是系統(tǒng)含有開關(guān)函數(shù)的離散狀態(tài)方程。為了便于分析對其做了開關(guān)周期平均處理，頻域模型又在此基礎(chǔ)上進行線性化處理。從時域模型與仿真的對比發(fā)現(xiàn)開關(guān)周期平均對模型的精確性影響并不大，而小信號模型的線性化卻導(dǎo)致模型的精確性大大降低。

3.3 小信號模型中慣性延遲環(huán)節(jié)的作用

小信號模型中加入的慣性延遲環(huán)節(jié)在仿真電路中實際上不存在，但其對模型的精確性具有矯正的作用。圖6中曲線1和2分別為無慣性延遲環(huán)節(jié)和有慣性延遲環(huán)節(jié)時kv為0.5的對數(shù)頻率特性曲線，此時帶寬為644 rad/s。曲線1為臨界穩(wěn)定狀態(tài)，對應(yīng)的電壓環(huán)積分系數(shù)為790.4；觀察曲線2可以發(fā)現(xiàn)加上慣性延遲環(huán)節(jié)后小信號模型早已不穩(wěn)定，而要達到臨界穩(wěn)定則需調(diào)節(jié)電壓環(huán)積分系數(shù)下降至550.2。在其他較高帶寬下情況相似，因此，可以認為慣性延遲環(huán)節(jié)等效地增加了系統(tǒng)的階數(shù)，能有效地減小小信號模型在高頻段與實際仿真電路的穩(wěn)定邊界誤差。

圖6 無和有慣性延遲環(huán)節(jié)時系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線Fig.6 Frequency characteristic curvesof the syste Mw ithoutand w ith inertialdelay

4 結(jié)語

本文建立了三相電壓型PWM整流器的非線性時域模型，借助狀態(tài)方程的Jacobian矩陣依據(jù)李雅普諾夫判定法則分析了三相PWM整流器的慢時標不穩(wěn)定現(xiàn)象。并將時域模型、仿真模型和小信號模型做了詳細比較，發(fā)現(xiàn)時域模型能比較精確地預(yù)測系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界，與仿真模型誤差很小。然而，小信號模型只精確到很低的頻率范圍，遠遠低于單相小信號模型的預(yù)測能力，這大大出乎意料。導(dǎo)致這種現(xiàn)象的原因是小信號模型線性化過程中忽略的高階項對三相模型精度的影響遠遠大于單相模型。因此，在頻域模型中的慣性延遲環(huán)節(jié)在一定程度上能提高模型的精確度。同時，明確了小信號模型的精確范圍，便于在設(shè)計較高的帶寬時考慮加入適當?shù)恼`差，對小信號模型精確度的提高或新模型的的提出也具有重要的指導(dǎo)意義。另外，對比三相PWM整流和單相Buck電路的慢時標不穩(wěn)定現(xiàn)象，可以發(fā)現(xiàn)持續(xù)振蕩是由于電路中存在限幅器件。從實際應(yīng)用角度出發(fā)，為避免三相電壓型PWM整流器出現(xiàn)重大的電壓跌落，限幅器件是必不可少的。

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Analysisof Slow-scale Instability in Three-phase Voltage Source PW MRectifier

YANXingwen1，RENChunguang1，HANXiaoqing1，WANG Lei1，YANGYu1，2
（1.CollegeofElectricaland Power Engineering，Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030024，China；2.ShanxiElectric Power Corporation，Taiyuan 030001，China）

The slow-scale instability phenomenon of three-phase voltage source PW Mrectifier is studied in this paper. A time-domainmodelwhich can accurately predictsystem's stability boundary isestablished and the Jacobianmatrix of the closed loop control syste Mis calculated.Then the syste Mstability can be judged based on the Lyapunov theorem. Through analysising the rectifier circuit parameters and control parameters'influence on the slow-scale instability，combined with numerical simulation，the different low-frequency oscillation phenomena between three-phase PW Mrectifierand single-phase converter isexplained.Also，the time-domainmodeland the existing small signal frequencydomainmodelof three-phase voltage source PW Mrectifier is compared.Finally，the accurate frequency range ofsmall signalmodel is pointed，and the reason that the small signalmodel is only applicable to the low frequency domain is expounded.

three-phase；rectifier；slow-scale instability；bifurcation；time-domainmodel；smallsignalmodel

TM461

A

1003-8930（2015）07-0018-06

10.3969/j.issn.1003-8930.2015.07.04

閆興文（1988—），男，碩士研究生，研究方向為電力電子與電力傳動、微電網(wǎng)電能質(zhì)量。Email：yanxingwen0702@163. com

2014-01-07；

2014-03-27

國家自然科學(xué)基金資助項目（51277127）；山西省高等學(xué)校中青年拔尖創(chuàng)新人才支持計劃資助項目

任春光（1989—），男，碩士研究生，研究方向為微電網(wǎng)中開關(guān)變換器的穩(wěn)定性分析。Email：renchunguang55@163.com

韓肖清（1964—），女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為為電力系統(tǒng)運行與控制、新能源發(fā)電。Email：hanxiaoqing@ tyut.edu.cn