汪亞楠 朱家明 郭明珠 徐霞明

【摘要】針對(duì)創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)，綜合使用立體幾何、平面剖析、力學(xué)平衡、參數(shù)化設(shè)計(jì)、模糊綜合分析、線性規(guī)劃以及類比等知識(shí)，分別構(gòu)建描述折疊桌折疊過程的動(dòng)態(tài)描述模型、最優(yōu)化設(shè)計(jì)及軟件系統(tǒng)開發(fā)和參數(shù)化設(shè)計(jì)等模型，運(yùn)用Matlab和Lingo軟件編程，研究了以下問題：描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程，給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)；綜合考慮產(chǎn)品穩(wěn)固性、加工方便性、用材節(jié)省性，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

【關(guān)鍵詞】平板折疊桌 動(dòng)態(tài)過程描述 設(shè)計(jì)滿意度 參數(shù)化設(shè)計(jì) Matlab

折疊桌作為當(dāng)今時(shí)代一大時(shí)尚元素，在設(shè)計(jì)時(shí)除了做到美觀外，更要求設(shè)計(jì)的產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。因此其參數(shù)化設(shè)計(jì)及優(yōu)化設(shè)計(jì)顯得尤為重要。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，因其設(shè)計(jì)的形狀、尺寸等不同，很多公司計(jì)劃開發(fā)折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。

一、數(shù)據(jù)的獲取及假設(shè)

本文數(shù)據(jù)來源于2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題。為便于解決問題，提出如下假設(shè)：（1）設(shè)計(jì)所用材質(zhì)均相同且木板厚度均為3厘米；（2）不考慮木條間摩擦因素的影響，即各桌腿間切割時(shí)不留空隙；（3）折疊桌設(shè)計(jì)時(shí)只考慮產(chǎn)品穩(wěn)固性、加工方便性、用材節(jié)省性；（4）桌面受力均勻；（5）加工時(shí)平板材料無損耗且人工操作時(shí)能進(jìn)行正確判斷實(shí)現(xiàn)操作。

二、折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程及設(shè)計(jì)加工參數(shù)

（一）建模思路

為說明桌子折疊過程的空間格局變化，首先借助桌腳邊緣曲線、桌腿長及開槽長度來描述該折疊桌的形狀及大小，研究折疊桌的折疊原理，確定參數(shù)及變量間的聯(lián)系，其次建立三維空間坐標(biāo)系，選取折疊前后桌腳各點(diǎn)及桌面中心為切入點(diǎn)分析其空間坐標(biāo)變化規(guī)律；最后運(yùn)用畫圖軟件畫出其動(dòng)態(tài)變化示意圖，并結(jié)合坐標(biāo)變化描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程。

（二）建模準(zhǔn)備

由折疊桌的折疊視頻知：桌子折疊前后桌子均是完全對(duì)稱的。展開時(shí)是120cm×50cm×3cm的長方形平板（見圖2）。折疊后桌子（見圖3）的桌面為木板中心位置的最大內(nèi)切圓；折疊后桌子著地的支撐點(diǎn)只有最外面四個(gè)桌腳；兩側(cè)桌腿間的小木條均由鋼筋連系固定，鋼筋位置固定在四條腿的中心位置；桌腿開槽以保證折疊時(shí)鋼筋的滑動(dòng)，槽的上端點(diǎn)為達(dá)到平板狀態(tài)時(shí)的槽口，下端點(diǎn)是在支撐時(shí)鋼筋滑到的位置，兩端間距離即開槽的長度。折疊桌形狀和尺寸的確定取決于木條長度、桌高、圓形桌面直徑、平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度及桌角邊緣曲線（見圖3中紅線）。

圖2 桌子展開時(shí)的形狀

圖3 桌子折疊后時(shí)的形狀

圖4 圓形桌面的俯視圖

（三）模型的建立

由于該折疊桌具有對(duì)稱性，在此選舉折疊桌的四分之一部位進(jìn)行研究。同理，其他部分可由對(duì)稱性求出。

1.相關(guān)參數(shù)的確定及量化。為了便于分析木條長度，首先將桌子平面化得其俯視圖，如圖3。圓周四分之一共有10根木條。設(shè)木條長li（i=1，2，…，10），在桌面上建立平面直角坐標(biāo)系，圓周經(jīng)過每個(gè)凹槽的中點(diǎn)，則圓周的方程為x2+y2=252，將桌面上半部分看成由10根小木條拼湊而成，設(shè)小木條長度為mi。通過在方程中計(jì)算出這10根小木條的長度，即可得到折疊桌木條的長度li，小木條的長度為■，則第i根木條長■。

假設(shè)在折疊的每一時(shí)刻桌子都是固定的，即鋼筋抵住滑槽的下端。通過投影，得第i根木條與第一根木條在木條前表面平行的平面上的投影圖，如圖5。同時(shí)，將第根木條分成三部分表示，如圖6。

圖5 木條的滑槽平面 圖6 木條分割圖

其中θ表示第一根木條與地面形成的夾角；ai表示第i根木條從頂部到滑槽的頂端的長度；bi表示滑槽長度；ci表示木條從滑槽的下端到木條底端的長度（其中■），由木板鋪平時(shí)可知■，則■）。由三角函數(shù)關(guān)系式得：

■ （1）

由桌子折疊原理可知，第i根木條和第1根與桌面連接部分在平面上投影的長度為這兩根木條的長度差，記為di，則di=l1-li，i=2，3，…，10，由圖4可知：

■ （2）

由（1）（2）兩式計(jì)算得：

■

在模型的分析中，已經(jīng)得出的各個(gè)階段折疊桌的變化主要表現(xiàn)為各點(diǎn)坐標(biāo)的變化，其形狀由各參數(shù)決定，因此只需通過比較計(jì)算出的各時(shí)間內(nèi)的點(diǎn)坐標(biāo)（xi，yi，zi），即可大致描述各點(diǎn)整體變化趨勢(shì)；通過比較即可描述折疊桌的動(dòng)態(tài)折疊過程。

以桌子下表面中心為原點(diǎn)，垂直于平板的長的直線為x軸，平行于平板的長的直線為y軸，垂直于平板平面的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系。

設(shè)桌腳的邊緣點(diǎn)為Q，則Qi在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（xi，yi，zi）為：

■

（四）模型的求解

1.量化描述：借助折疊過程中桌腳邊緣線變化進(jìn)行動(dòng)態(tài)描述。為了更具體的描述桌子，用桌子折疊過程中桌子凈高為指標(biāo)來表示桌子不同的折疊階段：h=0，h=10，h=20，h=30，h=40，h=50，其中h以桌子凈高（單位：cm）為準(zhǔn)，分別為的這五個(gè)折疊階段進(jìn)行對(duì)比分析。根據(jù)所建立的坐標(biāo)系，可確定各具體點(diǎn)坐標(biāo)，首先用Excel軟件根據(jù)上述公式計(jì)算得不同折疊階段各桌腳邊緣點(diǎn)的坐標(biāo)[1]，運(yùn)用Matlab編程得其邊緣曲線變化如圖7所示：

圖7 不同折疊階段桌腳邊緣線

如圖7，桌腳邊緣線由最初的直線（圖中藍(lán)色線所示，此時(shí)木板平鋪為桌子折疊前的狀態(tài)）從左到右逐漸變?yōu)樽钣叶说募t色曲線，曲線弧度逐漸變大。折疊過程中，桌腳邊緣點(diǎn)先向下移動(dòng)，后在鋼筋的作用下，中間木條的邊緣點(diǎn)又向上收縮，直到外側(cè)兩桌腳著底，鋼筋卡在木條能活動(dòng)區(qū)間（滑槽）的最低端，中間木條點(diǎn)離地面最遠(yuǎn)。

2.圖形描述。分析折疊桌折疊變化過程，根據(jù)求出的點(diǎn)坐標(biāo)，利用幾何繪圖軟件SAI畫出它在不同折疊階段的示意圖，如圖8：

圖8 桌子折疊過程中動(dòng)態(tài)變化的示意圖

三、最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)

（一）建模思路

折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，為了對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑使桌子達(dá)到設(shè)計(jì)要求，首先結(jié)合上述研究結(jié)果，分別分析影響產(chǎn)品的穩(wěn)固性、加工方便性和用材節(jié)省性的因素，研究出這三個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)與設(shè)計(jì)參數(shù)間的相互關(guān)系；再運(yùn)用引入滿意度概念來衡量不同設(shè)計(jì)方案下各性能指標(biāo)的優(yōu)劣；其次，運(yùn)用模糊綜合評(píng)價(jià)的方法，確定各指標(biāo)的權(quán)重并得出綜合平均設(shè)計(jì)滿意度函數(shù)；最后通過Lingo軟件求出函數(shù)最值，給出最優(yōu)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

（二）模型的準(zhǔn)備

桌子的設(shè)計(jì)應(yīng)考慮產(chǎn)品穩(wěn)固性、加工方便性、用材節(jié)省性三大指標(biāo)，桌子設(shè)計(jì)方案的好壞評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)極為三者的綜合評(píng)價(jià)值。具體綜合關(guān)系如圖9所示：

圖9 不同設(shè)計(jì)方案的層次結(jié)構(gòu)圖

為了更好的研究最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案，引入滿意度概念，參考隸屬度設(shè)計(jì)綜合平均滿意度指標(biāo)。記不同設(shè)計(jì)方案的平均滿意度為：■，wi為某一指標(biāo)權(quán)重，ui為某一指標(biāo)滿意度。

（三）模型的建立

1.穩(wěn)固性分析。從力學(xué)角度看，影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的因素主要有結(jié)構(gòu)形狀、重心和支撐面。

從結(jié)構(gòu)形狀討論[5]

該折疊桌主要靠四只腳支撐，結(jié)構(gòu)對(duì)稱。一般來說的摩擦力越大代表其較穩(wěn)固，桌子不易散架。此結(jié)構(gòu)中，為了盡可能減少摩擦力對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)受力的影響，桌腳木條與水平面的夾角應(yīng)該有所限制。夾角又與腿長與桌高、滑槽有關(guān)，桌子能靠桌腿支撐，桌腿又靠鋼筋固定。再結(jié)合杠桿原理知，其受力平衡主要取決力矩大小，決定力矩的主要因素為鋼筋的固定位置。故可用鋼筋的固定位置來衡量桌子的穩(wěn)定性。

從重心位置討論：

當(dāng)桌高確定時(shí)，桌子重心也確定，故不通過重心分析其穩(wěn)固性。

從支撐面積討論：

一般來說，結(jié)構(gòu)體與地面形成的支撐面積越大，這里用系數(shù)表示支撐面積對(duì)穩(wěn)固性的作用大小。由圖7知，鋼筋固定位置越靠近地面，桌子四只腳與地面所形成的支撐面積越大。

設(shè)k1為鋼板的位置參數(shù)（0

定義穩(wěn)定性滿意度為：■（其中■）

其中，α為穩(wěn)固性系數(shù)，為計(jì)算方便本題將其取值為0.01。l1為最外側(cè)桌腿長，k為平板寬度。

2.加工方便性分析。影響折疊桌加工方便性的主要是木條上滑槽的加工，故選取開槽總長度作為衡量加工方便性的主要指標(biāo)。記開槽總長度為Σbi，由于滑槽總長度越長，加工起來就越困難，加工方便性能滿意度越低。故將加工方便性滿意度定義為■。

3.材料節(jié)省性分析。由于節(jié)省性指標(biāo)的要求，在資源的限制下，折疊桌在設(shè)計(jì)時(shí)，在使材料的使用盡可能達(dá)到最大化、所用木材越少越好，即應(yīng)使平板尺寸越小越好。為了便于研究我們定義材料節(jié)省性滿意度公式為：材料節(jié)省性滿意度■。

4.綜合評(píng)價(jià)。衡量不同設(shè)計(jì)參數(shù)所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣[3]可用綜合平均滿意度變量來衡量。

平均滿意度為：■

（四）模型的求解

1.對(duì)比不同穩(wěn)固狀態(tài)下的桌子設(shè)計(jì)滿意度?，F(xiàn)實(shí)生活中，缺少實(shí)用性的桌子只是擺設(shè)，即桌子穩(wěn)固性最為重要，故把力學(xué)性能分析放在首要地位。為使加工方便和用材最少，會(huì)在穩(wěn)固性達(dá)到實(shí)用性要求的前提下減少使用的木板尺寸和選擇最優(yōu)加工參數(shù)。

設(shè)最外側(cè)木條即桌腿的長為e1，則平板的長為2（e1+9.9261），鋼筋在最外側(cè)木條上到木條頂端的距離為e2分別研究■時(shí)的情況，第i根木條開槽長度bi。因此目標(biāo)函數(shù)為■，

假定木條寬度均為為2.5cm時(shí)，該折疊桌每邊有80/2.5=36根木條（只需考慮18根木條），由上述結(jié)論知，第根木條的長度為

■

則■

可得：■

顯然任意兩根木條滑槽長度是同增同減的，因此只需考慮一根木條的滑槽長度，故只需研究滑槽最長的木條，設(shè)e3=b16并對(duì)其化簡得：

■

當(dāng)e3取得極小值時(shí)，Σbi也取得極小值，故目標(biāo)函數(shù)為minS=e1+e3，此時(shí)加工方便性與材料節(jié)省性均達(dá)到最優(yōu)。

2.通過線性規(guī)劃[6]求函數(shù)最值，確立最優(yōu)參數(shù)。通過模糊判別矩陣得三大指標(biāo)的權(quán)重向量為w=（0.6，0.2，0.2）。

目標(biāo)函數(shù)為：■

由于兩函數(shù)可進(jìn)行轉(zhuǎn)化，故只要保證其中一個(gè)函數(shù)求得極值即可。本題中選取S=e1+Σbi函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，求其最小值：將桌高h(yuǎn)=70cm、木板寬度（或桌面直徑）均為80cm等已知數(shù)據(jù)代入，通過變動(dòng)鋼筋固定位置，求解鋼板不同位置下，再調(diào)用Lingo求出函數(shù)最優(yōu)值。求得當(dāng)■時(shí)，支撐面積■=7560.394cm2，即鋼板固定在木條中間位置時(shí)，綜合平均設(shè)計(jì)指標(biāo)滿意度最大u=0.5235。故當(dāng)給定桌高70cm，桌面直徑80cm時(shí)，折疊桌的最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)分別為：平板長158.8460cm，槽口總長為375.8017cm，且鋼筋固定位置在外側(cè)桌腿中心位置。

四、總結(jié)

本文建立的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)模型充分考慮了各種影響因素，確保模型較高的可靠性；又創(chuàng)新定義了相對(duì)方便度、穩(wěn)固性參數(shù)、平均設(shè)計(jì)滿意度，使本來抽象的概念得以量化，確保了最優(yōu)設(shè)計(jì)方案的評(píng)估與求解；運(yùn)用Matlab繪出折疊桌折疊的過程圖，使折疊桌動(dòng)態(tài)變化一目了然。同時(shí)本文就折疊桌設(shè)計(jì)及優(yōu)化問題所建立的模型能夠可以推廣到各種零件設(shè)計(jì)，應(yīng)用范圍廣。

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11301001）；大學(xué)生科研創(chuàng)新基金項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)： XSKY1563）。

作者簡介：汪亞楠（1993-），女，安徽安慶人，研究方向：統(tǒng)計(jì)學(xué)；朱家明（1973-），男，安徽泗縣人，副教授，碩士，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室主任，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模。