沈壯志

（陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710119）

1 引言

質(zhì)點或質(zhì)點系的運動傳遞著能量和動量.波動則是另一種傳遞能量和動量的過程，所有波動是物質(zhì)運動的重要要形式之一［1］.波可分為機械波和電磁波（包括光波）.機械波是質(zhì)點的機械運動在介質(zhì)中的傳播.如弦線上的波、水面波以及空氣或固體中的聲波等等.

一般情況下，我們所說的波是指不斷前進的波，但在特殊的情況下，還存在著一些“囚禁”在某一空間的波，波只能在這一空間做周期性的振動，其能量也被束縛而不能傳遞出去，這就是駐波.

音叉振動是最常見一維駐波，對于二維駐波，力學(xué)教材只提供兩幅膜或板上所形成的克拉尼駐波圖［1］，該圖是借助于提琴弓在金屬板邊沿摩擦引起振動形成的.傳統(tǒng)的方法是將薄板中心用螺絲固定在一根立柱上，這樣各種駐波圖案的中心點始終是波節(jié)位置，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，二維駐波圖形完全可以通過計算機模擬出來，本文采用Ansys（有限元法）［2］對板振動所形成的駐波進行數(shù)值模擬，以滿足學(xué)生對二維駐波振動特性的了解.

2 二維駐波的振動特性

2.1 板振動的數(shù)學(xué)模型

該模型只考慮薄板，也就是說板的厚度相對于板表面線度較小，這樣可認為板沿厚度方向的應(yīng)力為常數(shù)，即板的內(nèi)應(yīng)力僅是平面坐標(biāo)的函數(shù)；同時假設(shè)板的振動較小，即板內(nèi)所有質(zhì)點都進行垂直方向的振動，因此可用中心面的位移來代表板的位移，該位移只是平面坐標(biāo)與時間的函數(shù).由于板振動方程的推導(dǎo)涉及許多彈性力學(xué)知識，而且推導(dǎo)極為繁瑣，這里只給出它的振動方程［3］.

其中η（t，x，y）代表板中心面上任何一點在垂直方向的位移，E是板的楊氏模量，板的截面回轉(zhuǎn)半徑為為板的厚度是直角坐標(biāo)的一種算符.方程（1）可以采用分離變量法得出板上各點的振動位移，這里不給出板上各點振動的位移，只通過模擬的方法給出板上所形成的克拉尼駐波圖.

2.2 板振動的駐波圖

板或膜由于它們的振動發(fā)生于二維空間，波節(jié)已不在是點而是線.按照德國物理學(xué)家克拉尼曾經(jīng)所做的實驗，散在板上一層薄薄的細砂，在板的振動下位于波腹處的細砂由于振動而脫離波腹，而位于波節(jié)處則保持不動，最終在板上“畫”出一幅獨特的二維振動駐波圖案.從克拉尼實驗結(jié)果來看，圖形所顯示的波節(jié)位置也不是線，而是面.這里采用有限元法模擬出方形板的振動波形圖.

2.2.1 模擬過程

模擬設(shè)置板尺寸為40mm×40mm×3mm，且板的邊界條件設(shè)為自由邊界，當(dāng)給板施加一個振動頻率時，則板上會形成振動強弱不同的圖案，具體的模擬過程如下.

（1）指定分析標(biāo)題并設(shè)置分析范疇

1）設(shè)置標(biāo)題等

Utility Menu＞File＞Change Title

Utility Menu＞File＞ Change Jobname

2）選取菜單途徑Main Menu＞Preference，單擊Structure，單擊OK.

（2）定義單元類型

Main Menu＞ Preprocessor＞ Element Type＞ Add／Edit／Delete，出現(xiàn) Element Types對話框，單擊 Add出現(xiàn) Library of Element Types對話框，選擇Solid，再右滾動欄選擇Brick 20node 186，然后單擊OK，單擊Element Types對話框中的Close按鈕就完成這項設(shè)置了.

（3）指定材料性能

選取菜單途徑Main Menu＞Preprocessor＞Material Props＞ Material Models.出現(xiàn) Define Material Model Behavior對話框，在右側(cè)Structural＞Linear＞Elastic＞Isotropic，指定材料的彈性模量（2.1e11）和泊松系數(shù)（0.3），Structural＞Density指定材料的密度（7 800），完成后退出即可.

（4）建立模型

選取菜單途徑Main Menu＞Preprocessor＞Modeling＞Create＞Volumes＞Block＞By Dimensions，根據(jù)尺寸要求設(shè)置（板的尺寸是40mm×40mm×3mm）.

（5）劃分網(wǎng)格

選取菜單途徑Main Menu＞Preprocessor＞Meshing＞MeshTool，出現(xiàn)MeshTool對話框，點擊SmartSize，保留其他選項，單擊 Mesh出現(xiàn) Mesh Volumes對話框，其他保持不變單擊Pick All，完成網(wǎng)格劃分.

（6）進入求解器并指定分析類型和選項

選取菜單途徑 Main Menu＞Solution＞Analysis Type ＞ New Analysis， 將 出 現(xiàn) New Analysis對話框，選擇Modal單擊OK.

再選取 Main Menu＞Solution＞ Analysis Type＞Analysis Options，將出現(xiàn) Modal Analysis對話框，單擊OK，出現(xiàn)Subspace Model Analysis對話框，選擇激勵的頻率，其他保持不變，單擊OK.

（7）施加邊界條件

選取 Main Menu＞Solution＞Define loads＞Apply＞Structural＞Displace－ment，出現(xiàn)ApplyU，ROT on KPS對話框，選擇在點、線或面上施加位移約束，單擊OK會打開邊界約束種類對話框，選擇邊界設(shè)置（本文選擇自由邊界），單擊apply或OK即可.

（8）進行求解計算

選取菜單途徑Main Menu＞Solution＞Solve＞Current LS.瀏覽在／STAT命令對話框中出現(xiàn)的信息，然后使用File＞Close關(guān)閉該對話框，單擊OK. 在 出 現(xiàn) Should the SOLV command be executed？時單擊Yes，求解過程結(jié)束后單擊close.

（9）查看振動結(jié)果

執(zhí)行 Main Menu＞General Postproc＞Read results＞first Set，然后執(zhí)行Main Menu＞General Postproc＞Plot Results＞Deformed Shape，在彈出對話框中選擇“Def＋undefe edge”單擊OK，模擬結(jié)果就會呈現(xiàn)出來.

（10）當(dāng)需要其他頻率激勵時，重復(fù)上述步驟，只需對步驟（6）進行設(shè)置改變激勵頻率則會得到不同振動圖樣.

2.2.2 各種不同激勵頻率的振動圖樣（圖1）

圖1

上述圖樣，顯示板在不同頻率激勵下所呈現(xiàn)出來的精美圖形，模擬顯示在板上某些區(qū)域由于振動能量相差很微小，計算機則以同一顏色暗示這些區(qū)域的振動的幅度是一致的.而振動能量的強弱以顏色的深淺表示，紅色［如圖1（a）中正四邊形的邊長中點附近處］代表的是板上振動最強的地方，而藍色［如圖1（a）中深色對角線組成的十字叉］則是振動最弱的地方，兩者之間則以其他顏色顯示.從上述8個圖案可知，激勵的頻率越高，波長越短，在同樣大小的板上就會更多的駐波，當(dāng)然波腹或波節(jié)數(shù)目也相應(yīng)增加，圖案也就更加復(fù)雜精美，盡管復(fù)雜但不雜亂無章而是呈現(xiàn)一種規(guī)則分布的、和諧的對稱圖樣，這就是克拉尼二維駐波圖樣，它完全不輸于實驗所帶來的震撼.它代替了在實驗條件不足的情況下給學(xué)生所展現(xiàn)出的一幅幅生動的圖樣，當(dāng)然也可以通過動畫的形式呈現(xiàn)每時每刻的振動圖樣.

3 結(jié)論

本文通過有限元軟件，模擬了二維方板在激勵頻率的作用下所呈現(xiàn)二維駐波圖樣，它代替了在實驗條件不足的情況下，同樣給學(xué)生在視覺上展現(xiàn)出一幅幅生動的精美圖樣，學(xué)生也了解激勵頻率對振動圖樣的影響，避免了對復(fù)雜的理論公式的理解.

1 漆安慎，杜嬋英.力學(xué).北京：高等教育出版社，2005.334，362

2 李黎明.Ansys有限元分析實用教程.北京：清華大學(xué)出版社，2005

3 杜功煥，朱哲民，龔秀芬.聲學(xué)基礎(chǔ)，上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981.104