常 亮

（北京教育學(xué)院宣武分院 北京 100053）

湯家新

（北京市第十五中學(xué) 北京 100054）

2015年高考北京理綜試卷的第24題是一道利用光電效應(yīng)元件作為直流電源的綜合題目.題目繼承了北京卷這幾年注重考查物理概念、規(guī)律深入理解的特色，也秉承了近幾年利用微觀機(jī)制解決宏觀現(xiàn)象的傳統(tǒng)，是在前幾年改革突破基礎(chǔ)上的又一次有益嘗試.

【原題】（2015年高考北京理綜卷第24題）真空中放置的平行金屬板可以作為光電轉(zhuǎn)換裝置，如圖1所示，光照前兩板都不帶電.以光照射A板，則板中的電子可能吸收光的能量而逸出.假設(shè)所有逸出的電子都垂直于A板向B板運(yùn)動(dòng)，忽略電子之間的相互作用.保持光照條件不變，a和b為接線柱.已知單位時(shí)間內(nèi)從A板逸出的電子數(shù)為N，電子逸出時(shí)的最大動(dòng)能為Ekm，元電荷為e.

圖1

（1）求A板和B板之間的最大電勢(shì)差Um，以及將a和b短接時(shí)回路中的電流I短.

（2）圖示裝置可看作直流電源，求其電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)阻r.

（3）在a和b之間連接一個(gè)外電阻時(shí)，該電阻兩端的電壓為U，外電阻上消耗的電功率設(shè)為P；單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)B板的電子，在從A板運(yùn)動(dòng)到B板的過程中損失的動(dòng)能之和設(shè)為ΔEk.請(qǐng)推導(dǎo)證明：P＝ΔEk.

（注意：解題過程中需要用到，但題目沒有給出的物理量，要在解題中做必要的說明）

分析：如果僅以解題為目的來看待此題，只要對(duì)相應(yīng)的物理概念有正確的理解，那么解決此題應(yīng)該是沒有什么問題的.

但如果我們拋開解題不談，僅借助題目給我們建立的物理模型，來研究這個(gè)過程中的具體細(xì)節(jié)，卻會(huì)發(fā)現(xiàn)很多值得思考的問題：

（1）在這樣的一個(gè)電路中能量到底是如何轉(zhuǎn)化的？

（2）這里的“電動(dòng)勢(shì)”應(yīng)如何理解？其數(shù)值和斷路電壓是否相同？

（3）題目中所涉及的“內(nèi)阻”具體是由什么機(jī)制造成的？決定“內(nèi)阻”大小的因素是什么？

為了回答這幾個(gè)問題，我們首先看題目給出的短接情況.根據(jù)外電路短路的特點(diǎn)，我們可以確定兩點(diǎn)：（1）從能量角度講電源中非靜電力所做的功將全部消耗在內(nèi)阻上.（2）A，B兩板等勢(shì).再結(jié)合本裝置的特點(diǎn)，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)A板中的電子首先吸收了一份光子能量hν，在逃離A板的過程中就消耗掉了W＋ΔE1的能量，其中W是逸出功，相當(dāng)于脫離金屬對(duì)電子的“勢(shì)阱”所消耗的能量，ΔE1是電子在逃離金屬過程中與其他原子實(shí)相碰所生的熱①這里將ΔE1看做是“電子在逃離金屬過程中與其他原子實(shí)相碰所生的熱”完全是一種經(jīng)典金屬理論的猜測(cè).現(xiàn)代量子力學(xué)告訴我們，當(dāng)金屬發(fā)生光電效應(yīng)時(shí)溢出電子的動(dòng)能幾乎均為最大初動(dòng)能，極個(gè)別的電子動(dòng)能小于這個(gè)數(shù)值.因此在這里做這個(gè)假設(shè)也只是對(duì)本題“內(nèi)阻”的一種解讀，并不作為對(duì)光電效應(yīng)的一種理解..電子脫離A板后，由于A，B兩板等勢(shì)而勻速通過A，B兩板之間的區(qū)域，然后與B板發(fā)生相互作用，再沿導(dǎo)線無能量損失地回到A板，進(jìn)入A板的過程也就是回到“勢(shì)阱”的過程.

經(jīng)過這樣一次循環(huán)我們可以發(fā)現(xiàn)，整個(gè)過程中能量只消耗在兩個(gè)地方：一個(gè)是電子逃離A板時(shí)與其他原子實(shí)相碰所生的熱，一個(gè)是與B板發(fā)生相互作用時(shí)損失的能量.又因?yàn)橥怆娐范搪?，全部能量只能消耗在?nèi)電路，所以電子在涌向B板時(shí)所具有的動(dòng)能一定要全部消耗在與B板發(fā)生相互作用的過程中，即電子將與B板發(fā)生完全非彈性碰撞喪失全部動(dòng)能.因此從能量角度講這兩部分能量損失（從A板逸出，與B板撞擊）就代表了此電源的“內(nèi)阻”.這里值得說明的是逸出功W，因?yàn)殡娮咏?jīng)過一次循環(huán)又回到“勢(shì)阱”所以整體來看這份能量并沒有發(fā)生轉(zhuǎn)化，不算是能量消耗.

那這兩部分能量消耗到底消耗了多少能量呢？如果我們用ΔE2來表示電子與B板作用所消耗的能量的話，不難發(fā)現(xiàn)如下的能量關(guān)系

因此

因?yàn)閺哪芰拷嵌戎v電源中非靜電力所做的功將全部消耗在內(nèi)阻上.所以ΔE1＋ΔE2＝hν－W就是電源對(duì)每一個(gè)電子所做的非靜電力的功.這與電子逸出A板時(shí)的動(dòng)能無關(guān)，對(duì)于任何一個(gè)光電子都相同.因此從電源電動(dòng)勢(shì)的定義出發(fā)與題目中所算的斷路路端電壓相同.

在外電路是通路的情況下，由于外電阻R的存在，A，B兩板間必然存在U＝IR的電勢(shì)差，因此電子由A板逸出后必將減速通過兩板，此時(shí)電子的動(dòng)能減少，電勢(shì)能增加，完成了非靜電力做功轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能的過程.這部分增加的電勢(shì)能又通過外電路轉(zhuǎn)化為其他形式的能，這便是題目中第三問所要證明的問題.但與此同時(shí)，因?yàn)锳，B兩板此時(shí)的電勢(shì)差一定比第一問所求的最大電勢(shì)差小，因此電子雖然在兩板間減速前進(jìn)，但在到達(dá)B板之前仍有剩余動(dòng)能，這部分動(dòng)能在電子與B板撞擊過程中轉(zhuǎn)化為其他形式的能.這份由于撞擊而損失的能量再加上電子逸出時(shí)由于生熱所消耗的能量也就是此時(shí)內(nèi)阻消耗的能量.至此可以看出，短路與通路在解釋內(nèi)阻成因及電動(dòng)勢(shì)大小時(shí)是一致的.（此模型的能量轉(zhuǎn)化與原電池恰恰相反.原電池中電勢(shì)的躍遷發(fā)生在兩個(gè)極柱附近，內(nèi)阻由兩極間的電解液構(gòu)成.而這里電勢(shì)能的增加是在兩板間逐漸形成的，而內(nèi)阻卻是在兩極板附近突變?cè)斐傻?）

解決了內(nèi)阻的形成機(jī)制，我們?cè)賮砜纯从绊憙?nèi)阻的因素.按題目給我們的線索，內(nèi)阻在光電效應(yīng)的背景下Um由電子的最大初動(dòng)能決定，也就是由光的頻率和A板材料決定；I短即單位時(shí)間內(nèi)逸出電子數(shù)，與光強(qiáng)和A板材料有關(guān).由此可看出“阻礙”雖是由A，B兩板造成的，但內(nèi)阻r的大小卻主要由入射光的參數(shù)決定.不僅如此，如果進(jìn)一步思考就會(huì)發(fā)現(xiàn)，嚴(yán)格說來確定的是電路處于短路狀態(tài)下的內(nèi)阻，至于通路狀態(tài)下的內(nèi)阻呢？其阻值是否與短路情況相一致呢？在通路情況下這里的Um仍指電動(dòng)勢(shì)，在不改變內(nèi)電路裝置結(jié)構(gòu)及參數(shù)，只改變外電路阻值的情況下，Um恒定；UAB指通路狀態(tài)下A，B兩板間的電壓；I指通路狀態(tài)下的實(shí)際電流.正如前面所分析的，當(dāng)電路處于通路的情況下，電子不會(huì)像短路時(shí)勻速由A到B，必將做減速運(yùn)動(dòng)，而且不僅做減速運(yùn)動(dòng)，由于電子從A板逸出時(shí)的動(dòng)能并不都是Ekm，因此那些初動(dòng)能小的電子必將沒有機(jī)會(huì)到達(dá)B板.這樣一來單位時(shí)間內(nèi)由A到B的電子數(shù)目就會(huì)減小，也就是說電流I會(huì)減小.假設(shè)當(dāng)外電路電阻取某值時(shí)，UAB恰為，若要此時(shí)的內(nèi)阻r與短路時(shí)相同，就要求單位時(shí)間由A到B的電子數(shù)目是即初動(dòng)能大于的電子數(shù)目要等于假設(shè)當(dāng)外電路電阻取某值時(shí)，UAB恰為若要此時(shí)的內(nèi)阻r與短路時(shí)相同，就要求單位時(shí)間由A到B的電子數(shù)目是即初動(dòng)能大于的電子數(shù)目要等于.因?yàn)橹皇翘乩?，不過以此為例我們可以看出，若要通路時(shí)的內(nèi)阻恒定且與短路時(shí)的內(nèi)阻相同，就要求逸出電子的動(dòng)能是均勻分布的，即每一能量值下對(duì)應(yīng)的電子數(shù)目一樣多.

其關(guān)系如圖2所示，其中橫軸是逸出電子的序列，向上的縱軸是逸出電子的動(dòng)能.如果逸出電子的動(dòng)能是均勻分布的，將所有N個(gè)電子按能量由小到大排列其Ek－n關(guān)系就應(yīng)該是一條直線.向下的半軸代表電子從A板逸出時(shí)生熱所消耗的能量，顯然逸出時(shí)所攜帶動(dòng)能越小就說明在逸出過程中損失能量越多，對(duì)于任何一個(gè)電子都存在Ek＋ΔE1＝hν－W.由此可知，當(dāng)外電路短路時(shí)內(nèi)阻消耗的能量就是圖中上、下兩個(gè)大三角形的面積（下面的三角形代表從A板逸出時(shí)消耗的能量，上面的三角形代表與B板撞擊時(shí)消耗的能量）.當(dāng)UAB恰為時(shí)只有能量大于的電子可以到達(dá)B板，而且這些電子在由A到B的過程中都要損失因此在從A板逸出和與B撞擊過程中，消耗在內(nèi)阻上的能量僅為圖中兩陰影面積（下面的陰影代表從A板逸出時(shí)消耗的能量，上面的陰影代表與B板撞擊時(shí)消耗的能量），此時(shí)的陰影面積恰好是兩個(gè)大三角形面積的的結(jié)果.而且由圖可知，此時(shí)外電路消耗的能量恰好為兩個(gè)大三角形面積的是內(nèi)阻消耗能量的2倍，與分壓關(guān)系相符.

圖2

因此，無論從U－I關(guān)系還是能量關(guān)系上看，若要內(nèi)阻r恒定，都要求逸出電子的動(dòng)能是均勻分布的.這也是本題的一個(gè)重要隱含條件，由于解題過程并不需要這個(gè)條件，所以題干中并沒有給出，但作為理解此裝置工作細(xì)節(jié)的重要條件，教師對(duì)此還應(yīng)引起足夠的重視.

綜上所述：

（1）在本電路中電勢(shì)能來自于電子在A，B兩板間減速時(shí)消耗的動(dòng)能.

（2）這里的“電動(dòng)勢(shì)”由光子能量和逸出功共同決定，其數(shù)值和斷路電壓相同.

（3）題目中所涉及的“內(nèi)阻”具體是由電子在A，B兩板內(nèi)與原子實(shí)相互作用生熱所致.決定“內(nèi)阻”大小的因素是入射光和金屬參數(shù)以及逸出電子的能量分布.