廣東省深圳市第二實驗學校 陶繼智

函數(shù)與方程的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法、數(shù)形結合的思想方法、邏輯劃分的思想方法等，是中學數(shù)學的基本思想方法。如果說數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體體現(xiàn)形式的話，那么，數(shù)學思想就是妙解數(shù)學問題的靈魂。本文就數(shù)學思想方法解決自主招生和數(shù)學競賽中的幾個熱點問題之應用談點體會。

一、多項式與方程問題

多項式與方程的零點問題一直是自主招生考試中的一個熱點問題，因為它特別能體現(xiàn)各種代數(shù)知識點的交匯，如韋達定理、零點存在定理、整數(shù)系數(shù)多項式的根及其推論、函數(shù)性質(zhì)、三角問題等，這類問題常常能體現(xiàn)考生的數(shù)學代數(shù)功底，因此頗受命題老師的青睞。解決此類問題常常通過換元的手段，運用函數(shù)與方程、數(shù)形結合、邏輯劃分等數(shù)學思想方法，等價化歸為已知問題求解。

[例]（2008年北京大學自主招生）：已知a1+ a2+ a3= b1+ b2+b3，

聯(lián)想到韋達定理，構造函數(shù)

而函數(shù)f( x)與g( x)僅僅是常數(shù)項不同的兩個多項式，說明g( x)的圖象就是把f( x)的圖象向下平移個單位。（如圖）

[評析]本例結合條件聯(lián)想到韋達定理利用函數(shù)與方程的思想構造函數(shù)，使問題得以順利進入求解過程，結合函數(shù)的特點利用數(shù)形結合的思想使得以順利求解。

二、恒成立問題

恒成立問題由于涉及常見函數(shù)的性質(zhì)、圖象、導數(shù)、不等式等重要知識點，滲透著換元、化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此它不僅在近年來高考中頻頻出現(xiàn)，也是自主招生和數(shù)學競賽中的重要考點。恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結合法等解題方法求解。

[例]（2 0 0 9年北京大學自主招生）已知對任意x∈R均有a cos x + b cos2 x ≥-1恒成立，求a+b的最大值.

[解]：令cos x=t∈[-1,1]，則原不等式等價于2bt2+ at- b -1 ≥ 0,t ∈[-1,1]恒成立.令f( t) = 2b t2+ at-b +1，t∈[-1,1]

1.當b=0時，f( t) =at+1，則f(- 1) ≥0，且f (1) ≥0，從而a+b≤1

2.當b＜0時，對于f( t) = 2b t2+ at-b +1，t∈[-1,1]有f( t)min=f (1)或f( t)min=f(-1)，故f(- 1) ≥0，且f (1) ≥0則a+b＜1

3．當b＞0時，

①若-a＜-1，即a

4b＞4 b時 ，f( t)min=f(-1)=2b -a-b+1≥0， 令a+b=u，如圖：當直線a+b=t 過點(a,b)時u 有最大值.

令a+b=u，如圖：當直線a+b=u 過點(0,0)時u 有最大值.a+b≤0.

或者：用Cauchy不等式解決：

[評析]這是一個典型的利用數(shù)學思想方法解決問題的范例，首先用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的最值問題，繼而利用邏輯劃分和數(shù)形結合的思想方法求函數(shù)最值，當然，局部問題還可以化歸為Cauchy不等式來解決。

三、不等式與最值問題

不等式問題由于解題方法沒有固定程序，因題而異，而且靈活多樣，技巧性強，是考查考生思維靈活性、嚴謹性、創(chuàng)新性甚至批判性的重要途徑，因此，無論是高考還是自主招生和數(shù)學競賽到處都有它的出現(xiàn)。不等式問題常常分為三類：證明不等式、解不等式和不等式的應用。解決不等式問題常常要用到的基本知識點有均值不等式、Cauchy不等式、排序不等式、Jensen不等式等，常常用到的方法有綜合法、分析法、構造法、換元法、數(shù)學歸納法等，數(shù)學思想的運用更是無處不在。

[例]對ΔABC和任意實數(shù)x,y,z，證明：x2+ y2+ z2≥ 2 yz cos A + 2 zx cos B +2 xy cosC成立，

等號當且僅當x: y: z =sin A :sin B :sin C時取得.

[證明]結合不等式的形式，構造函數(shù)

∴f( x) ≥0恒成立，即原不等式成立.

[評析]本問題結合原不等式的形式，利用函數(shù)與方程的思想方法，構造一個二次函數(shù)來解決問題。其實這是一個非常重要的不等式，利用它我們可以使很多問題轉(zhuǎn)化解決。

理解中學數(shù)學思想方法的本質(zhì)，掌握基本數(shù)學思想方法，會根據(jù)實際情況，選擇恰當?shù)臄?shù)學思想方法，從而就找到了解決數(shù)學問題的靈魂。