學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，不可避免地會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤.我們對(duì)錯(cuò)誤要有正確的認(rèn)識(shí)，首先，不要害怕學(xué)生犯錯(cuò)誤，錯(cuò)誤往往是正確認(rèn)知的前兆，這正是失敗乃成功之母，錯(cuò)誤是重要的學(xué)習(xí)資源.其次，要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)積極地發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤之時(shí)，是發(fā)展思維的最佳時(shí)機(jī).再次，培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)反思糾正錯(cuò)誤的習(xí)慣，吃一塹長(zhǎng)一智.筆者在三角形中三個(gè)求解范圍問(wèn)題的教學(xué)中，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤，發(fā)展思維，現(xiàn)整理成文與大家交流.

1 弄清構(gòu)成三角形的充要條件

問(wèn)題1 已知△ABC的三條邊a，b，c成等比數(shù)列，且a+b+c=9，求b的取值范圍.

學(xué)生的典型解法：

解 因?yàn)閍，b，c能成為三角形的三條邊，所以a-c<b<a+c;

因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac;

再結(jié)合a+b+c=9，得到a，b，c應(yīng)滿(mǎn)足

a-c<b<a+c， ? ?①

b2=ac，②

a+b+c=9，③

由③式得a+c=9-b， ④

由①得（a-c）2<b2<（a+c）2，即（a+c）2-4ac<b2<（a+c）2 ， ⑤

將② ④代入⑤得（9-b）2-4b2<b2<（9-b）2， ?⑥

由⑥左邊不等式解得b>95-94或b<-95-94（舍去），由⑥右邊不等式解得b<92.

綜上，b的取值范圍為（95-94，92）.

但本題的參考答案是（95-94，3]，是學(xué)生解錯(cuò)了，還是參考答案錯(cuò)了？對(duì)此，開(kāi)展了如下的教學(xué)活動(dòng).

師：請(qǐng)同學(xué)們比較兩個(gè)答案，你發(fā)現(xiàn)了什么？有什么想法？請(qǐng)大家分析究竟哪個(gè)答案是正確的.

生1：我發(fā)現(xiàn)我們得到的答案比參考答案的范圍大，多出了區(qū)間（3，92）內(nèi)的值.

生2：我在區(qū)間（3，92）內(nèi)取一個(gè)特殊值b=4試了一下.發(fā)現(xiàn)當(dāng)b=4時(shí)，ac=16

a+c=5，由此得a2-5a+16=0，而此時(shí)Δ=（-5）2-4×16=-39<0，方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，所以a，c不存在.由此可以肯定我們的解法錯(cuò)了.

師：那怎樣改進(jìn)你們的解法呢？

生3：生2的啟發(fā)，我這樣做：由②③ ac=b2

a+c=9-b得方程x2-（9-b）x+b2=0應(yīng)該有兩正實(shí)數(shù)根Δ=（9-b）2-4b2≥0-9≤b≤3.又因?yàn)閎為正數(shù)，所以0<b≤3，再結(jié)合（95-94，92）得到正確的答案（95-94，3].

師：至此真相大白，忽視正數(shù)a，c的存在性是造成解答錯(cuò)誤的根本原因.盡管錯(cuò)誤解法中的錯(cuò)誤是非常隱蔽的，但還是被同學(xué)們的智慧眼睛發(fā)現(xiàn)了！邊b的取值不但要保證a，b，c可以構(gòu)成三角形，而且還要保證邊a，c（a，c是正實(shí)數(shù)）的存在性，我們不僅要發(fā)揮②③兩式的消元轉(zhuǎn)化作用，還要充分挖掘②③中隱含的不等關(guān)系.由此，我們得到這樣的解題經(jīng)驗(yàn)：對(duì)于等式，不但要發(fā)揮它們的等的功能，而且要挖掘其中隱含的不等關(guān)系，不但要重視等式相等的一面，還要重視不等的一面，把問(wèn)題考慮周全.

2 弄清三角形中一個(gè)角是銳角的充要條件

問(wèn)題2 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，12mb，c成等差數(shù)列，a，12b，c成等比數(shù)列，角B是銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

學(xué)生的典型解法：

解 因?yàn)閍，12mb，c成等差數(shù)列，a，12b，c成等比數(shù)列，所以a+c=mb，ac=14b2.因?yàn)榻荁是銳角，所以a2+c2>b2. 又因?yàn)椋╝+c）2=a2+c2+2ac，所以（mb）2>b2+12b2.由a+c=mb得m>0.所以m>62.

學(xué)生得到的答案m>62是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在哪里？對(duì)此，開(kāi)展了如下的教學(xué)活動(dòng).

師：角B是銳角的充要條件是a2+c2>b2嗎？

生1：是的.

師：說(shuō)出你的理由.

生1：由余弦定理知道，角B是銳角cos B=a2+c2-b22ac>0a2+c2>b2（不少同學(xué)附和贊同）.

生2：我認(rèn)為不是充要條件，例如，a=100，b=1，c=2，雖然有a2+c2>b2，但b+c<a，這樣的a，b，c不能組成三角形，角B根本不存在.

師：那還應(yīng)該增加什么條件呢？

生3：再加上構(gòu)成三角形的條件，任意兩邊之和大于第三邊.

生4：由a2+c2>b2可以得到a+c>b.因?yàn)椋╝+c）2>a2+c2>b2，所以a+c>b.只要再增加a-c<b這個(gè)條件就可以了.

生5：我覺(jué)得，角B是銳角應(yīng)該等價(jià)于0<cos B<1，只要增加cos B<1就可以了.

師：我們來(lái)看看cos B<1轉(zhuǎn)化為邊是什么限制條件，由cos B<1得a2+c2-b22ac<1，即a-c<b.真是殊途同歸.由此我們得到，三角形中角B是銳角的充要條件是0<cos B<1a2+c2>b2

a-c<b.

生6：這個(gè)題目我會(huì)解了，在原來(lái)解法的基礎(chǔ)上增加限制條件a-c<b，即（a-c）2<b2，

（a+c）2-4ac<b2，（mb）2-b2<b2，再結(jié)合上面得到的m>62，所以實(shí)數(shù)m取值范圍是（62，2）.

師：忽視三角形的存在性是造成解答錯(cuò)誤的根本原因.經(jīng)過(guò)同學(xué)們的相互討論，研究出三角形中角B是銳角的充要條件是0<cos B<1a2+c2>b2

a-c0a2+c2>b2.

3 弄清三角形中一個(gè)角是鈍角的充要條件

問(wèn)題3 ?在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=32，A=π3，角B是鈍角，求b+c的取值范圍.

學(xué)生的典型解法：

解 由余弦定理得b2+c2-bc=34.因?yàn)椋╞+c）2=b2+c2+2bc，所以（b+c）2=34+3bc.由基本不等式得（b+c）2≤34+3（b+c）24，因?yàn)榻荁是鈍角，所以b≠c.所以（b+c）2<34+3（b+c）24，（b+c）2<3，b+c<3.又因?yàn)閎+c>a=32，所以32<b+c<3.所以b+c取值范圍是（32，3）.

本題的正確答案是（32，32），學(xué)生實(shí)際上只是得到了問(wèn)題3的必要條件（32，3），解決問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找三角形的一個(gè)角是鈍角的充要條件.對(duì)此，開(kāi)展了如下的教學(xué)活動(dòng).

師：同學(xué)們上述解法正確嗎？

生1：我覺(jué)得角B是鈍角這一條件轉(zhuǎn)化有問(wèn)題，由角B是鈍角得到b≠c，這個(gè)限制太弱了.

師：那角B是鈍角的充要條件是什么？

生2：由余弦定理知道，角B是鈍角cos B=a2+c2-b22ac<0a2+c2<b2（不少同學(xué)附和贊同）.

生3：我認(rèn)為不是充要條件，例如，a=1，b=100，c=2，雖然有a2+c2<b2，但a+c<b，這樣的a，b，c不能組成三角形，角B根本不存在.

師：那還應(yīng)該增加什么條件呢？

生3：再加上構(gòu)成三角形的條件，任意兩邊之和大于第三邊.

生4：由a2+c2<b2可以得到a-c<b.因?yàn)椋╝-c）2<a2+c2<b2，所以a-c<b.只要再增加a+c>b這個(gè)條件就可以了.

生5：我覺(jué)得，角B是鈍角應(yīng)該等價(jià)于-1<cos B<0，只要增加-1<cos B就可以了.

師：我們來(lái)看看-1<cos B轉(zhuǎn)化為邊是什么限制條件，由cos B>-1得a2+c2-b22ac>-1，即a+c>b.真是殊途同歸.由此我們得到，三角形中角B是鈍角的充要條件是-1<cos B<0a2+c2<b2

a+c>b.

師：有了上面的分析，請(qǐng)同學(xué)們思考問(wèn)題3的正確解法.

生6：這個(gè)題目我會(huì)解了，因?yàn)榻荁是鈍角，所以a2+c2<b2

a+c>b，即a2<b2-c2=（b+c）（b-c）

a>b-c.

因?yàn)椋╞+c）2=34+3bc=34+34[（b+c）2-（b-c）2]，

所以（b+c）2=3-3（b-c）2.

設(shè)b+c=y，b-c=x，則xy>34，x<32，y2=3-3x2.即（3x2）y2>2716，x2<34，y2=3-3x2.

所以（3-y2）y2>2716，y2>34.因此34<y2<94.又因?yàn)閥>0，所以32<y<32.

所以b+c取值范圍是（32，32）.

師：沒(méi)有對(duì)角B是鈍角這一條件實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化是造成解答錯(cuò)誤的根本原因.經(jīng)過(guò)同學(xué)們的相互討論，研究出三角形中角B是鈍角的充要條件是-1<cos B<0a2+c2<b2

a+c>b.糾正原有的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)：角B是鈍角cos B<0a2+c2<b2.另請(qǐng)同學(xué)們思考如何用正弦定理簡(jiǎn)捷解決這個(gè)問(wèn)題.

作者簡(jiǎn)介 張乃貴，男，1966年生，江蘇興化人，教育碩士，江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育、初等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究，在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等雜志發(fā)表論文300多篇.