范廣法

與往年一樣，2015年高考理科壓軸題（第20題）仍然延續(xù)了往年的風(fēng)格，保持對(duì)不等式的考查，不同的是今年的壓軸題以迭代數(shù)列為背景，往年多以函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容為依托.今年的壓軸題構(gòu)思更精巧，設(shè)計(jì)別出心裁，解答長度大大縮短，給學(xué)生更多的思維空間，題目簡約不簡單.

題目 已知數(shù)列{an}滿足a1=12且an+1=an-a2n（n∈N*）.

（Ⅰ）證明：1≤anan+1≤2（n∈N*）;

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a2n}的前n項(xiàng)和為Sn，證明12（n+2）≤Snn≤12（n+1）（n∈N*）.

1 解題的“切入點(diǎn)”與“突破口”分析

根據(jù)遞推關(guān)系，本題中的數(shù)列{an}認(rèn)為是在給定首項(xiàng)a1后，由遞推公式an+1=f（an）（其中f（x）=x-x2）反復(fù)迭代生成的數(shù)列.這時(shí)把{an}叫迭代數(shù)列，顯然迭代數(shù)列{an}由函數(shù)y=f（x）與首項(xiàng)a1共同確定.以迭代數(shù)列為背景的題目，浙江考生遇到的不多，顯得有些神秘.我們知道數(shù)形結(jié)合既是尋找問題解決切入點(diǎn)的“法寶”，又是優(yōu)化解題途徑的“良方”，因此在解題時(shí)，能畫圖的盡量畫出圖形，以利于正確地理解題意、快速地解決問題.注意到f（x）=x-x2是非常熟悉的函數(shù)，因此可嘗試將數(shù)列{an}中的項(xiàng)表示在圖形中，借此來獲取{an}的性質(zhì).但凡迭代數(shù)列可嘗試從數(shù)形結(jié)合的角度切入.

圖1

如右圖，過點(diǎn)（a1，0）作x軸的垂線交曲線y=f（x）于A1，交直線y=x于B1，再過A1作A1B1的垂線交直線y=x于B2，過B2作A1B2的垂線交曲線y=f（x）于A2，依此類推，反復(fù)作垂線得到一系列的點(diǎn)Ak（ak，ak+1），Bk（ak，ak），當(dāng)正整數(shù)k由小到大變化時(shí)，通過觀察點(diǎn)Ak或Bk位置變化情況可獲取數(shù)列{an}的性質(zhì)，如單調(diào)性、有界性等.由上圖（有人把這種圖叫做迭代圖）可知{an}必滿足0<an≤12，且an+1<an，這兩點(diǎn)是解決第（Ⅰ）問乃至本題的切入點(diǎn).

要證明第（Ⅱ）問，實(shí)際上是證明2（n+1）≤nSn≤2（n+2），它的左右兩邊是等差數(shù)列的通項(xiàng)，因此問題的突破口是證明{nSn}是類等差數(shù)列，但n+1Sn+1-nSn又不好計(jì)算（所以它不是本問的切入點(diǎn)），（Ⅱ）問的切入點(diǎn)在于對(duì)所證式子的等價(jià)轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的難運(yùn)算的式子轉(zhuǎn)化為簡單的好運(yùn)算的式子.到此（Ⅱ）問的思路就很明顯了，首先在等價(jià)轉(zhuǎn)化方面切入，然后借助于類等差數(shù)列的性質(zhì)突破.其過程如下：

根據(jù)Sn=a1-an+1，把12（n+2）≤Snn≤12（n+1）等價(jià)轉(zhuǎn)化為12n≤an≤1n+1，再等價(jià)轉(zhuǎn)化為n+1≤1an≤2n.因1an+1-1an=11-an，0<an≤12，1<1an+1-1an≤2，從而2+（n-1）·1≤1an≤2+（n-1）·2，即n+1≤1an≤2n，進(jìn)而有12（n+2）≤Snn≤12（n+1）.

2 難點(diǎn)分析

“0<an≤12”是本題證明過程中的難點(diǎn)，往往說不清，道（推理）不明，一帶而過，企圖蒙混過關(guān)，解答必然差強(qiáng)人意.有人說用數(shù)學(xué)歸納法解決，可惜的是，數(shù)學(xué)歸納法并不面向2015屆浙江全體學(xué)生（多數(shù)學(xué)生對(duì)此一無所知），這也是命題組不想看到的.對(duì)an≤12（實(shí)際上只需證明an+1≤14）可通過配方、判別式、基本不等式甚至標(biāo)準(zhǔn)答案中的迭代法都能解決.那么an>0如何證明呢？

可用反證法解決：假定ak+1<0，則ak+1=ak（1-ak）<0，而ak≤12，從而ak<0.也就是說若數(shù)列后項(xiàng)為負(fù)則其前項(xiàng)必為負(fù)，依此類推，必有a2<0，a1<0，這與首項(xiàng)a1為正矛盾;同樣假定ak+1=0，則ak=0，依此類推，a2=0，a1=0，這與首項(xiàng)a1為正矛盾.

3 思維誤區(qū)分析

（Ⅱ）問入口較窄，如不將所證式的等價(jià)轉(zhuǎn)化當(dāng)作切入點(diǎn)，會(huì)產(chǎn)生許多解題誤區(qū)，這就是本問的難點(diǎn).若將上問結(jié)果作為切入點(diǎn)：由1≤anan+1≤2得12≤an+1an≤1，（12）n≤an≤12，（14）n≤a2n≤14，13（1-14n）≤Sn≤n4，13n（1-14n）≤Snn≤14，左邊縮得過小右邊放得過大，離要證明的相差太遠(yuǎn).若從0<an≤12切入：由于1an+1-1an=11-an，0<an≤12，1<1an+1-1an≤2，從而n+1≤1an≤2n，14n2≤a2n≤1（n+1）2，14∑nk=11k2≤Sn≤∑nk=11（k+1）2，接下的求和、放縮成難題;筆者通過12n≤an≤1n+1，12（n+1）≤an+1≤1n+2獲取an-an+1即a2n的范圍是12n-1n+2≤a2n≤1n+1，接下的求和、放縮同樣成難題.若從所證式切入：即證n2（n+2）≤Sn≤n2（n+1），n2（n+2）是數(shù)列{1（n+1）（n+2）}的前n項(xiàng)和，n2（n+1）是數(shù)列{12n（n+1）}的前n項(xiàng)和，故要證明1（n+1）（n+2）≤a2n≤12n（n+1），證明有難度！切入點(diǎn)雖對(duì)但這種轉(zhuǎn)化方式并不是等價(jià)轉(zhuǎn)化.