閆鋒剛王 軍*沈 毅金 銘

①(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院 威海 264209)

②(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院 哈爾濱 150001)

基于半實(shí)值Capon的高效波達(dá)方向估計(jì)算法

閆鋒剛①王 軍*①沈 毅②金 銘①

①(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院 威海 264209)

②(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院 哈爾濱 150001)

子空間類(lèi)超分辨波達(dá)方向(DOA)估計(jì)算法需預(yù)先估計(jì)信號(hào)個(gè)數(shù)，當(dāng)信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)錯(cuò)誤時(shí)，其性能會(huì)嚴(yán)重下降。該文提出一種新穎的半實(shí)值Capon(SRV-Capon)DOA估計(jì)算法。該算法繼承了Capon算法無(wú)需信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)并克服了現(xiàn)存實(shí)值算法僅適用于中心對(duì)稱(chēng)陣列(CSA)的缺點(diǎn)。相比于Capon算法，SRV-Capon僅利用陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的實(shí)部求逆構(gòu)建空間譜函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了譜值計(jì)算的半實(shí)值化并將譜搜索的范圍壓縮至原來(lái)的一半，從而至少降低約75%的計(jì)算量。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)證明了該算法的有效性。

波達(dá)方向估計(jì)；信號(hào)個(gè)數(shù)；半實(shí)值Capon；任意陣列結(jié)構(gòu)

1 引言

以多重信號(hào)分類(lèi)(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)[1]和旋轉(zhuǎn)不變子空間(Estimate Signal Parameters via Rotational Invariance Technique, ESPRIT)[2]為代表的子空間類(lèi)算法是信號(hào)波達(dá)方向(Direction-Of-Arrival, DOA)估計(jì)的最重要方法之一。這類(lèi)算法根據(jù)已知信號(hào)個(gè)數(shù)，利用信號(hào)子空間和噪聲子空間之間的正交性估計(jì)DOA[3?5]。由于信號(hào)子空間和噪聲子空間在無(wú)噪模型下是完全正交的，因此子空間類(lèi)算法理論上可對(duì)無(wú)限靠近的兩個(gè)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)分辨。

雖然子空間類(lèi)算法具有優(yōu)良超分辨估計(jì)性能，但它們幾乎均需已知信號(hào)個(gè)數(shù)作為先驗(yàn)信息。通常，信號(hào)個(gè)數(shù)可通過(guò)信息論準(zhǔn)則[6]、功率估計(jì)[7]、聲矢量傳感器法[8]、杰克利弗重采樣[9]等技術(shù)估計(jì)得到。但是，上述算法受噪聲模型、快拍數(shù)及信噪比(Signalto-Noise Ratio, SNR)的影響，會(huì)出現(xiàn)信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)錯(cuò)誤的現(xiàn)象，進(jìn)而使得子空間類(lèi)算法的估計(jì)性能?chē)?yán)重下降，甚至無(wú)法正常工作[10]。

為了避免信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)，Capon提出了最小方差譜估計(jì)算法(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)[11]。該算法需要對(duì)陣列輸出協(xié)方差矩陣(Array Output Covariance Matrix, AOCM)求逆，同時(shí)以復(fù)數(shù)運(yùn)算計(jì)算空間譜值，計(jì)算量異常龐大。雖然近年來(lái)產(chǎn)生了實(shí)值酉變換Capon[12]、類(lèi)多重信號(hào)分類(lèi)(MUSIC-Like)[13]等各種無(wú)需信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)的新算法，但這些算法或需假定特殊的中心對(duì)稱(chēng)陣(Centro-Symmetrical Array, CSA)結(jié)構(gòu)，或仍以復(fù)數(shù)運(yùn)算估計(jì)DOA，難以在陣列結(jié)構(gòu)的普適性和算法的高效性之間取得兼容[14]。

本文在分析Capon算法的基礎(chǔ)上，提出了一種適用于任意陣列結(jié)構(gòu)的半實(shí)值Capon(Semi-Real-Valued Capon, SRV-Capon)算法。相比于經(jīng)典Capon算法，SRV-Capon只需對(duì)AOCM實(shí)部(Real part of AOCM, R-AOCM)求逆，并且縮小了一半的空間譜搜索范圍，因而至少降低了約75%的計(jì)算量。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明：SRV-Capon算法不需要信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)，同時(shí)在小快拍數(shù)下表現(xiàn)出優(yōu)于Capon算法的估計(jì)性能。

2 信號(hào)模型及相關(guān)算法

2.1 信號(hào)模型

設(shè)xoy平面上由M個(gè)陣元組成的線(xiàn)陣各通道獨(dú)立且附加加性高斯白噪聲(AGWN)，設(shè)空間有K個(gè)信號(hào)，定義DOA為信號(hào)來(lái)向與陣列法線(xiàn)的夾角θ，則陣列一次快拍接收數(shù)據(jù)可表示為[1-5]

式中，x(t)∈?M×1是接收數(shù)據(jù)向量，s(t)∈?K×1是信號(hào)向量，n(t)∈?M×1是AGWN向量，A(θ)∈?M×K是導(dǎo)向矢量矩陣且導(dǎo)向矢量a(θk)∈?M×1定義為

其中，ω?2πsinθk/λ,xi(i=1,2,…,M)是第i個(gè)陣元坐標(biāo)，λ是中心波長(zhǎng)，j?(?1)1/2。ACOM定義為

式中，ξk,k∈[1,K]和分別為R的K個(gè)大特征值及AGWN的功率，uk和vk分別為ξk和對(duì)應(yīng)的特征矢量，Λs和Λn是分別以ξk,k∈[1,K]和為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。由矩陣的列向量分別張成的子空間span(S)和span(G)分別稱(chēng)為信號(hào)子空間和噪聲子空間。實(shí)際中，受AGWN的影響，可利用L快拍接收數(shù)據(jù)得到估計(jì)值：

2.2 MUSIC算法

根據(jù)子空間正交性，MUSIC算法構(gòu)造空間譜：

并在[?π/2,π/2]搜索使得fMUSIC(θ)出現(xiàn)極大值的K個(gè)入射角，它們即為信號(hào)DOA。MUSIC算法的最大優(yōu)點(diǎn)是分辨率高，能適用于任意陣列結(jié)構(gòu)，但其需要先驗(yàn)已知信號(hào)K，當(dāng)K估計(jì)錯(cuò)誤時(shí)，MUSIC算法的性能會(huì)嚴(yán)重下降，甚至無(wú)法工作[10]。

2.3 Capon算法

為了避免信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)，Capon在波束形成的框架下，建議在DOA方向保持陣列增益不變，通過(guò)抑制噪聲和干擾信號(hào)使得陣列輸出功率最小化[11]，從而提出了如式(8)的優(yōu)化問(wèn)題：

利用Lagrange乘子法易求得式(8)的最優(yōu)權(quán)矢量為wopt= R?1a(θ)/aH(θ)R?1a(θ)，進(jìn)而可得

的Capon空間譜。搜索[?π/2,π/2]，使fCapon(θ)出現(xiàn)極大值的角θ即為DOA。

3 SRV-Capon算法

由上述分析可見(jiàn)：作為超分辨算法的典型代表，MUSIC 需估計(jì)信源數(shù)目并對(duì)AOCM進(jìn)行EVD，而且該算法對(duì)快拍數(shù)的要求遠(yuǎn)超Capon[15]。Capon直接利用逆AOCM估計(jì)DOA，有效解決了子空間類(lèi)算法因信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)而引起的性能下降問(wèn)題，但該算法不具有超分辨性能，其對(duì)靠近目標(biāo)的分辨能力較差。另外，MUSIC和Capon均需在角度空間進(jìn)行遍歷搜索，因而計(jì)算量均很大。為了結(jié)合二者的優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)[15]提出了一種m-Capon 算法，但其包含AOCM的高階冪運(yùn)算，計(jì)算量相比于Capon顯著增加。

由于a(θ)∈?M×1,G ∈?M×(M?K)且R∈?M×M，故MUSIC算法和Capon算法中的所有運(yùn)算都是基于復(fù)數(shù)操作完成的。眾所周知，一次復(fù)值運(yùn)算包含了4次實(shí)值運(yùn)算，因此實(shí)值運(yùn)算相比于復(fù)值運(yùn)算可節(jié)省約75%的計(jì)算量。如果能夠利用實(shí)值或半實(shí)值運(yùn)算代替Capon算法中的復(fù)值運(yùn)算，則能明顯提高算法的計(jì)算效率，這正是SRV-Capon算法的出發(fā)點(diǎn)。

因?yàn)樾盘?hào)子空間和噪聲子空間互補(bǔ)正交，所以有SsSH+GGH=IM, SHSs= IK,GHGs=IM?K以及SHG=0。由此，容易驗(yàn)證：

其中，對(duì)角矩陣BSNR定義為

其中SNRk?ξk/為第k,(k∈[1,K])個(gè)輻射源的信噪比。高信噪比(SNR?1)下，BSNR≈0，從而有

由式(7)，式(9)及式(12)可知Capon算法和MUSIC算法存在關(guān)系：

現(xiàn)在，考慮R-AOCM逆。利用Woodbury公式[16]：

可得

由式(12)和式(15)可知在高信噪比下，有

其中

式(17)表明：在高信噪比下，矩陣Re?1(R)的每一列均是矩陣GGH列的線(xiàn)性組合。注意到GGH是子空間span(G)的投影矩陣，因而必定有

注意到式(15)中R和*R順序可交換，因此，

其中，R?*?(R*)?1。

由式(12)和式(19)知在高信噪比下，亦有

式(20)表明：在高信噪比下，矩陣Re-1(R)的每一列均是矩陣G*GT所有列的線(xiàn)性組合。同樣注意到矩陣G*GT是子空間span(G*)的投影矩陣，因而必定有

據(jù)式(20)可定義如下所示的SRV-Capon空間譜：

聯(lián)立式(18)和式(21)，可得

由于a(θ)∈?M×1而Re?1(R)∈?M×M，故SRVCapon空間譜值的計(jì)算包含了復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，本文不妨將這種混合運(yùn)算稱(chēng)為半實(shí)值運(yùn)算。根據(jù)子空間正交性及式(22)不難理解：在信號(hào)波達(dá)方向θk,k∈[1,K]處有fSRV-Capon(θk)=∞。另一方面，由于Re?1(R)∈?M×M，故在波達(dá)角θ,k∈[1,K]的對(duì)

k稱(chēng)方向?θk,k∈[1,K]處亦有fSRV-Capon(θk)=∞。因此，SRV-Capon空間譜能夠在波達(dá)角θk,k∈[1,K]及其對(duì)稱(chēng)角?θk,k∈[1,K]處同時(shí)產(chǎn)生譜峰。SRVCapon的這種譜峰對(duì)稱(chēng)性使我們可將空間譜峰搜索范圍從整個(gè)空間譜壓縮至半譜范圍內(nèi)，從而提高算法的計(jì)算效率。由于SRV-Capon在左半譜或右半譜內(nèi)會(huì)分別產(chǎn)生K個(gè)空間譜峰，因此SRV-Capon同樣無(wú)需進(jìn)行信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)。

SRV-Capon空間譜的上述特性使得本文可以借助高效半實(shí)值運(yùn)算快速估計(jì)信號(hào)DOA，這就是本文提出的SRV-Capon算法，其實(shí)施步驟如表1所示。

由表1中的實(shí)施步驟可見(jiàn)：SRV-Capon算法先以fSRV-Capon(θ)譜峰對(duì)稱(chēng)性壓縮了一半的搜索范圍，接著通過(guò)半譜搜索得到可能的DOA或DOA鏡像。由于fCapon(θ)僅在真實(shí)DOA方位才會(huì)出現(xiàn)譜峰，因而SRV-Capon算法最后以Capon排除虛擬DOA，從而解決了估計(jì)模糊問(wèn)題。對(duì)于本身鏡像的輻射源，不難理解SRV-Capon算法也不存在估計(jì)模糊問(wèn)題。

表1 SRV-Capon算法

4 計(jì)算量分析

設(shè)Q為[?π/2,π/2]角度范圍的搜索點(diǎn)數(shù)，表2給出了經(jīng)典MUSIC算法、Capon算法、m-Capon算法[15]以及本文提出的SRV-Capon算法的計(jì)算量對(duì)比情況。其中，算法計(jì)算量均以算法所包含的實(shí)數(shù)乘法次數(shù)表示。單元4×O(M2K)給出了計(jì)算復(fù)矩陣R的逆或EVD所包含的實(shí)數(shù)乘法次數(shù)[16]。SRVCapon算法由于需同時(shí)求解R及Re(R)的逆，故其包含5×O(M2K)的計(jì)算量單元。

表2 不同算法的計(jì)算量(實(shí)數(shù)乘法次數(shù))對(duì)比

通?？臻g譜搜索點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)大于陣元數(shù)，即Q?M[5,14]。由表2不但看出：本文提出的SRV-Capon算法引入了半實(shí)值運(yùn)算，同時(shí)只需對(duì)[?π/2,0]或[0,π/2]的空間譜范圍進(jìn)行搜索，其相比于經(jīng)典Capon算法約降低了75%的計(jì)算量。

5 仿真試驗(yàn)

為了說(shuō)明本文所提算法的有效性和可行性，以計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證SRV-Capon 的功能和性能并與Capon及MUSIC作對(duì)比分析。其中，角度估計(jì)最小均方誤差(Root Mean Square Error, RMSE)中，引入了非限制克拉-美羅下界(Unconditional Cram?r-Rao Lower Bound, CRLB)[17]。選取各向半波長(zhǎng)均勻線(xiàn)陣，各試驗(yàn)結(jié)果均為500次蒙特卡羅的統(tǒng)計(jì)平均。對(duì)于信號(hào)入射角θ估計(jì)值θ?的RMSE定義為

仿真1 MUSIC, Capon及SRV-Capon空間譜對(duì)比

為了驗(yàn)證SRV-Capon算法基本功能的正確性，圖1給出了經(jīng)典MUSIC, Capon以及SRV-Capon的空間譜對(duì)比情況。試驗(yàn)選取位于θ1=?20°及θ2= 40°的兩個(gè)非相干信號(hào)源，陣列及仿真參數(shù)如圖標(biāo)所示。

由圖1可見(jiàn)：經(jīng)典MUSIC和Capon僅在真實(shí)信號(hào)入射方向(?20°和40°)處產(chǎn)生了對(duì)應(yīng)譜峰，但SRV-Capon不但在?20°和40°而且在它們的鏡像對(duì)稱(chēng)方向(20°及?40°)同時(shí)產(chǎn)生了譜峰。因此，只需搜索SRV-Capon的左(或右)半譜即可快速定位譜峰位置，然后經(jīng)過(guò)相關(guān)“表1 SRV-Capon算法步驟3”相關(guān)峰值檢驗(yàn)處理即可最終得到真實(shí)波達(dá)角估計(jì)。

仿真2 算法在高SNR和大快拍數(shù)下的性能對(duì)比

考察3種算法在高SNR和大快拍數(shù)下的性能，如圖2和圖3所示。其中，DOA為θ1=30°及θ2= 50°。

由圖2和圖3可見(jiàn)：在高信噪比和大快拍數(shù)下，本文提出的SRV-Capon算法估計(jì)性能略差于經(jīng)典Capon算法，但相差不大。隨著信噪比和快拍數(shù)增大，3種算法的RMSE均急劇下降并趨向于CRLB。另一方面，由圖3可見(jiàn)：在快拍數(shù)較小時(shí)，SRVCapon表現(xiàn)出了略?xún)?yōu)于經(jīng)典Capon算法的估計(jì)性能。

仿真3 算法在低SNR和小快拍數(shù)下的性能對(duì)比

為了進(jìn)一步確認(rèn)圖3反映出的SRV-Capon在小快拍數(shù)下估計(jì)性能優(yōu)于經(jīng)典Capon的現(xiàn)象，選取低SNR和小快拍數(shù)環(huán)境考察3種算法的性能，結(jié)果如圖4～圖6所示。實(shí)驗(yàn)選取的信號(hào)DOA為θ1=30°及θ2=50°。

由圖4可見(jiàn)：當(dāng)SNR＜0 dB時(shí)，SRV-Capon估計(jì)性能略差于經(jīng)典Capon，但當(dāng)SNR＞0 dB時(shí)，新算法表現(xiàn)出與經(jīng)典Capon算法幾乎一致的估計(jì)性能。由圖5可見(jiàn)：在小快拍數(shù)下，本文提出的算法確實(shí)略?xún)?yōu)于經(jīng)典Capon，這與圖2結(jié)果一致。由圖6可見(jiàn)：在小快拍L=20下，經(jīng)典Capon出現(xiàn)了偽峰，這進(jìn)一步證實(shí)了本文算法在小快拍數(shù)下相比于Capon的優(yōu)越性能。小快拍數(shù)下信號(hào)高度相關(guān)，導(dǎo)致協(xié)方差陣秩虧且其相比于協(xié)方差實(shí)部秩虧更為嚴(yán)重，這可能是SRV-Capon在小快拍下性能優(yōu)于Capon的原因所在。

仿真4 算法計(jì)算效率對(duì)比

考察3種算法在不同陣元數(shù)下完成信號(hào)DOA估計(jì)的計(jì)算效率。選取位于θ1=20°及θ2=40°的兩個(gè)輻射源，空間譜搜索間隔為0.013°。以Intel(R) Core(TM) Duo T5870處理器、2.0 GHz CPU, 1 GB內(nèi)存PC平臺(tái)運(yùn)行3種算法的Matlab程序，記錄仿真時(shí)間隨陣元數(shù)變化曲線(xiàn)，結(jié)果如圖7所示。

圖1 空間譜對(duì)比，M=10, SNR=10 dB, L=100

圖2 θ2RMSE隨高信噪比 變化情況，M=8, L=100

圖3 θ1RMSE隨大快拍變化 情況，M=8, SNR=10 dB

圖4 θ1RMSE隨低信噪比變化情況，M=10, L=50

圖5 θ2RMSE隨小快拍數(shù)變 化情況，M=10, SNR=5 dB

圖6 小快拍下5次空間譜疊加， M=18, SNR=5 dB, L=20

由圖7可見(jiàn)：本文提出的SRV-Capon算法計(jì)算效率最高，其消耗的仿真時(shí)間約為經(jīng)典Capon算法的25%。隨著陣元數(shù)增加，SRV-Capon算法相比于Capon算法計(jì)算效率越發(fā)明顯。

圖7 仿真時(shí)間與陣元數(shù)關(guān)系，SNR=5 dB, L=100

6 結(jié)束語(yǔ)

本文將實(shí)值運(yùn)算和陣列結(jié)構(gòu)的任意性折中，提出了一種基于半實(shí)值運(yùn)算的高效率SRV-Capon算法。新算法不需要預(yù)先估計(jì)信號(hào)個(gè)數(shù)，同時(shí)相比于經(jīng)典Capon算法約降低了75%的計(jì)算量，從而為實(shí)時(shí)DOA估計(jì)提供了一定的理論參考。

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閆鋒剛： 男，1982 年生，博士，講師，研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、遙感圖像處理、統(tǒng)計(jì)性能及時(shí)頻域分析等.

王 軍： 男，1976 年生，博士生，講師，研究方向?yàn)閴嚎s感知雷達(dá)信號(hào)處理、極化信號(hào)處理等.

沈 毅： 男，1965 年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橹悄軝z測(cè)與控制、數(shù)字超聲成像以及信號(hào)處理等.

金 銘： 男，1968 年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槔走_(dá)對(duì)抗、空間譜估計(jì)、極化敏感陣列信號(hào)處理等.

Efficient Direction-of-arrival Estimation Based on Semi-real-valued Capon

Yan Feng-gang①Wang Jun①Shen Yi②Jin Ming①

①(School of Information and Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology at Weihai, Weihai 264209, China)

②(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Subspace based Direction-Of-Arrival (DOA) estimators require usually the number of sources to be known in advance. If the number of sources is incorrectly estimated, the performance of those methods is able to deteriorate significantly. This paper presents a novel efficient Semi-Real-Valued Capon (SRV-Capon) algorithm for DOA estimation with unknown number of signals. Compared with state-of-the-art real-valued techniques suitable for only Centro-Symmetrical Arrays (CSAs), the proposed method can be used with arbitrary arrays. Unlike conventional Capon with heavy complex computations, SRV-Capon exploits only the real part of the array output covariance matrix, leading to a real-valued spectral search over only half of the total angular field-of-view, which hence reduces about 75% computational complexity. Theoretical analysis and simulations demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

Direction-Of-Arrival (DOA) estimation; Signal number; Semi-Real-Valued Capon (SRV-Capon); Arbitrary array configuration

TN911.7

： A

：1009-5896(2015)04-0811-06

10.11999/JEIT141034

2014-08-01收到，2015-01-20改回

山東省自然科學(xué)基金(ZR2014FQ003)和哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)?？茖W(xué)研究基金(HIT(WH)201411)資助課題

*通信作者：王軍 hitwangjun@126.com