王海燕

（遼寧省海城市海城高級中學(xué)）

不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)，也是歷屆高考中的熱點(diǎn)問題。新課程標(biāo)準(zhǔn)把不等式設(shè)置為專題選講內(nèi)容，對本專題的設(shè)計特別強(qiáng)調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，注重讓大多數(shù)學(xué)生通過不等式的幾何背景理解數(shù)學(xué)思想、認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)了不等式的幾何直觀，而淡化了證明不等式中比較復(fù)雜或過于技巧化的方法。

每一個幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^圖形的直觀性作出形象的描述，代數(shù)公式的幾何直觀，給原本抽象的代數(shù)式賦予更本質(zhì)、更易于理解和記憶的意義，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中最重要也是最基本的思想方法之一——數(shù)形結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。美國數(shù)學(xué)家斯蒂思曾說：如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。法國數(shù)學(xué)家G.紹蓋曾說：一堆沒有實驗和直觀所支持的定義，不能開發(fā)智力，而只能關(guān)閉思路。直觀是創(chuàng)造活動和幾何學(xué)之間的連桿，思維想象則是另一重要連桿?？梢妿缀沃庇^在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中的廣泛應(yīng)用和重要作用。

不等式的幾何直觀為解題提供思路和方法，幫助學(xué)生深刻理解、記憶代數(shù)公式的有效途徑，是證明不等式的簡捷方法。

一、絕對值不等式：

圖1

二、“濃度”不等式：

圖2

三、均值不等式

圖3

圖4

圖5

四、調(diào)和不等式

即調(diào)和中項≤幾何中項≤算數(shù)中項≤均方根

圖6

圖7

五、柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2

圖8

通過以上一些重要不等式的幾何直觀，我們一定驚嘆于數(shù)與形結(jié)合的美感。這些重要的代數(shù)公式，都是通過一些淺顯的幾何事實得到的。這種數(shù)與形的轉(zhuǎn)化思想是值得我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視和學(xué)習(xí)的。幾何直觀體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的一方面，而數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的過程都不能只側(cè)重某一方面，要培養(yǎng)學(xué)生嘗試且熟練將數(shù)與形結(jié)合起來，既要會“以形助數(shù)”，又要會“以數(shù)解形”。

在實際教學(xué)過程中，教師在講授以上代數(shù)公式時，可以通過這些代數(shù)公式的幾何直觀來創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生從直觀幾何圖形中發(fā)現(xiàn)相等或不等關(guān)系，進(jìn)而得到代數(shù)等式或不等式，使學(xué)生通過幾何直觀對代數(shù)公式有初步認(rèn)識，然后再進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理證明加深認(rèn)識，促進(jìn)學(xué)生抽象思維的進(jìn)一步發(fā)展，同時培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)密性。直觀與邏輯對我們來說缺一不可，但從發(fā)現(xiàn)真理培養(yǎng)意識與思維能力的角度看，直觀是第一位的。所以在講授這些代數(shù)公式的過程中，它們的幾何意義必不可少。

總之，幾何直觀可以以形象思維來彌補(bǔ)抽象思維的欠缺，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)能力，進(jìn)而促進(jìn)抽象思維的發(fā)展，最終達(dá)到理性思維的鍛煉和發(fā)展。幾何直觀會給學(xué)生解題帶來方便，可以培養(yǎng)學(xué)生自信心，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。可見幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中是非常重要的，在教學(xué)過程中教師要時刻有意地滲透這種思想，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升。

［1］E.貝肯巴赫，R.貝爾曼.不等式入門［M］.北京大學(xué)出版社，1985.

［2］方初寶，陳兆禮，李葉明.數(shù)學(xué)猜想法淺談［M］.科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社重慶分社，1988.

［3］余紅兵，嚴(yán)鎮(zhèn)軍.構(gòu)造法解題［M］.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1992.

［4］張奠宙，張廣祥.中學(xué)代數(shù)研究［M］.高等教育出版社，2006.