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        跡逼近C*-代數(shù)的可除和比較性質(zhì)

        2015-07-10 14:15:19方燕
        關(guān)鍵詞:子代數(shù)海事代數(shù)

        方燕

        (上海海事大學(xué) 文理學(xué)院, 上海 201306)

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        跡逼近C*-代數(shù)的可除和比較性質(zhì)

        方燕

        (上海海事大學(xué) 文理學(xué)院, 上海 201306)

        考慮一類(lèi)有單位元的C*-代數(shù)(記為Ω)具有某種性質(zhì)時(shí),Ω中C*-代數(shù)跡逼近后得到的一類(lèi)C*-代數(shù)(記為T(mén)AΩ)是否也具有這種性質(zhì).得出結(jié)論:若對(duì)?B∈Ω,B的投影半群V(B)具有m-n幾乎可除性質(zhì),則對(duì)?A∈TAΩ,A的投影半群V(A)具有m+1-n幾乎可除性質(zhì);若對(duì)?B∈Ω,B具有強(qiáng)的跡m-投影比較性質(zhì),則對(duì)?A∈TAΩ,A具有強(qiáng)的跡m-投影比較性質(zhì).

        C*-代數(shù); 跡逼近;K-半群

        0 引 言

        用K-群作為不變量對(duì)順從的C*-代數(shù)進(jìn)行分類(lèi),最先是由ELLIOTT[1]提出的.之后發(fā)現(xiàn)許多類(lèi)C*-代數(shù)都可以用K-群進(jìn)行分類(lèi).[2-4]研究者們逐漸發(fā)現(xiàn)跡態(tài)空間及其與K-群的配對(duì)也是C*-代數(shù)的分類(lèi)必要不變量.比較重要的一類(lèi)C*-代數(shù)是單的維數(shù)緩慢增長(zhǎng)的AH-代數(shù)[5-6],可以用跡態(tài)空間與K-群的配對(duì)分類(lèi),通常稱(chēng)此不變量為ELLIOTT不變量.LIN[7]給出單的維數(shù)緩慢增長(zhǎng)的AH-代數(shù)的公理化定義,稱(chēng)之為跡逼近區(qū)間C*-代數(shù).受此啟發(fā),ELLIOTT等考慮一般的跡逼近C*-代數(shù)的概念.一個(gè)有單位元的C*-代數(shù)A∈TAΩ,是指對(duì)?ε>0,任意的有限子集F?A,任意的非零正元b,存在一個(gè)非零投影p∈A和C*-子代數(shù)B?A,使得1B=p和B∈Ω,且有:(1)對(duì)?x∈F,‖xp-px‖<ε; (2)對(duì)?x∈F,pxp∈εB;(3)[1-p]≤[b].

        考慮Ω類(lèi)中C*-代數(shù)具有某種性質(zhì),TAΩ類(lèi)中的C*-代數(shù)是否也具有這種性質(zhì),是一個(gè)重要且有意義的事情.事實(shí)上ELLIOTT等[8],F(xiàn)AN[9]和范慶齋等[10]都證明Ω類(lèi)中C*-代數(shù)的許多分類(lèi)性質(zhì)可以遺傳到TAΩ類(lèi)中,且用它來(lái)證明C*-代數(shù)的分類(lèi)定理.

        本文證明: 如果Ω是一類(lèi)C*-代數(shù)并且對(duì)?B∈Ω,B的投影半群V(B)具有m-n幾乎可除性質(zhì),則對(duì)于任意的C*-代數(shù)A∈TAΩ,A的投影半群V(A)具有m+1-n幾乎可除性質(zhì).設(shè)Ω是一類(lèi)C*-代數(shù),且對(duì)?B∈Ω,B具有強(qiáng)的跡m-投影比較性質(zhì),則對(duì)?A∈TAΩ,A具有強(qiáng)的跡m-投影性質(zhì).

        1 預(yù)備知識(shí)

        定義1.1[8]一個(gè)有單位元的C*-代數(shù)A∈TAΩ,是指對(duì)?ε>0,任意的有限子集F?A,任意的非零正元b,存在一個(gè)非零投影p∈A和C*-子代數(shù)B?A,使得1B=p和B∈Ω,且有:

        (1)對(duì)?x∈F,‖xp-px‖<ε;

        (2)對(duì)?x∈F,pxp∈εB;

        (3)[1-p]≤[b].

        定義1.3[4,11]A是一個(gè)有單位元的C*-代數(shù),稱(chēng)A具有m-幾乎可除性質(zhì).若proj(M∞(A))表示M∞(A)中投影的全體,對(duì)?p∈proj(M∞(A)),存在q∈proj(M∞(A))滿(mǎn)足kq≤p≤(k+1)(m+1)q.

        2 主要結(jié)果

        定理2.1 設(shè)Ω是一類(lèi)C*-代數(shù),且對(duì)?B∈Ω,B的投影半群V(B)具有m-k幾乎可除性質(zhì),則對(duì)于任意的C*-代數(shù)A∈TAΩ,A的投影半群V(A)具有m+1-k幾乎可除性質(zhì).

        (1)‖pr-rp‖<ε;

        (2)rpr∈εB.

        由(1)和(2)存在投影p1∈B和p2∈(1-r)A·(1-r)滿(mǎn)足‖p-p1-p2‖<ε,得[p]=[p1]+[p2].因?yàn)閜1∈B且B∈Ω,所以存在q1∈B滿(mǎn)足kq1≤p1≤(k+1)(m+1)q1.對(duì)于p2∈(1-r)A(1-r),因?yàn)?1-r)A(1-r)∈TAΩ,所以存在投影s和一個(gè)C*-子代數(shù)C滿(mǎn)足C∈Ω,1C=S,使得

        (1)‖p2s-sp2‖<ε;

        (2)sp2s∈εC;

        (3)[1-r-s]≤2[q1].

        由(1)和(2)存在投影p3∈C和p4∈(1-r-s)A(1-r-s)滿(mǎn)足‖p2-p3-p4‖<ε,得[p2]=[p3]+[p4].因?yàn)閜3∈C且C∈Ω,所以存在q3∈C滿(mǎn)足kq3≤p3≤(k+1)(m+1)q3.因?yàn)閇p4]≤[1-r-s]≤[q1],所以

        [q]=[q1]+[q2]=[q1]+[q3]+[q4]

        [p]=[p1]+[p2]=[p1]+[p3]+[p4]

        k[p]=k([p1]+[p2])=k([p1]+[p3]+[p4])≤[q1]+[q3]+k[q4]≤[q1]+[q3]+ [1-r-s]≤[q1]+[q3]+[q1]≤(k+1)· (m+1)[p1]+(k+1)(m+1)[p3]+[q1]

        證明下面定理的方法和技巧來(lái)自文獻(xiàn)[8]中的定理3.7.2.

        定理2.2 設(shè)Ω是一類(lèi)C*-代數(shù),且對(duì)?B∈Ω,B具有強(qiáng)的跡m-投影比較性質(zhì),則對(duì)?A∈TAΩ,A具有強(qiáng)的跡m-投影性質(zhì).

        (1)對(duì)?x∈F,‖rnx-xrn‖<ε;

        (2)rnxrn∈Bn;

        (3)[1-rn]≤[e].

        ‖p-p′-p″‖∈εn

        [1]ELLIOTT G A. On the classification of the inductive limits of sequences of semisimple finite dimensional algebras[J]. J Algeb, 1976, 38: 29-44.

        [2]LIN H. The tracial topological rank ofC*-algebras[J]. Proc London Math Soc, 2001, 83: 199-234.

        [3]NIU Z. A classification of certain tracially approximately subhomogeneousC*-algebras[D]. Canada: University of Toronto, 2005.

        [4]WINTER W. Nuclear dimension and Z-stability of pureC*-algebras[J]. Invent Math, 2012, 187: 259-342.

        [5]ELLIOTT G A, GONG G. On the classification ofC*-algebras of real rank zero II[J]. Ann Math, 1996, 144: 497-610.

        [6]ELLIOTT G A. On the classification ofC*-algebras of real rank zero[J]. J Reine Angew Math, 1993, 443: 179-219.

        [7]LIN H. An introduction to the classification of amenableC*-algebras[M]. New Jersey: World Scientific, 2001.

        [8]ELLIOTT G A, NIU Z. On tracial approximation[J]. J Func Anal, 2008, 254: 396-440.

        [9]FAN Q.K0-monoid properties preserved by tracial approximation[J]. J Operator Theory, 2013, 69: 101-109.

        [10]范慶齋, 楊君. 跡逼近C*-代數(shù)的遺傳性[J]. 上海海事大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 32(2): 91-94.

        [11]BLAKADAR B.K-theory for operator algebra[M]. New York: Springer-Verlag, 1986.

        (編輯 賈裙平)

        Division and comparison properties of tracial approximationC*-algebras

        FANG Yan

        (College of Arts & Sciences, Shanghai Maritime Univ., Shanghai 201306, China)

        It is discussed that, if a class ofC*-algebras (denoted byΩ) with an identity element has a property, whether the class ofC*-algebras (denoted byTAΩ) that be tracially approximated byC*-algebras inΩhas the property. It is concluded that, if the projective semigroup ofB,V(B), has anm-nalmost divisible property for anyB∈Ω, the projective semigroup ofA,V(A), has anm+1-nalmost divisible property for anyA∈TAΩ; ifBhas a strong tracialm-comparison projection property for anyB∈Ω,Ahas also the property for anyA∈TAΩ.

        C*-algebra; tracial approximation;K-semigroup

        10.13340/j.jsmu.2015.03.017

        1672-9498(2015)03-0100-03

        2014-07-01

        2015-03-17

        上海市教育委員會(huì)科研創(chuàng)新項(xiàng)目(13YZ090)

        方燕(1961—),女,云南昆明人,副教授,碩士,研究方向?yàn)榉汉治觯?E-mail)yanfang@shmtu.edu.cn

        O177.5

        A

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