李存斌， 張建業(yè),3， 谷云東， 祁之強

(1.華北電力大學 經(jīng)濟與管理學院，北京 102206; 2.華北電力大學 數(shù)理學院，北京 102206; 3.新疆電力公司 科技信通部，新疆 烏魯木齊 830000)

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一種基于前景理論和改進TOPSIS的模糊隨機多準則決策方法及其應用

李存斌1， 張建業(yè)1,3， 谷云東2， 祁之強1

(1.華北電力大學 經(jīng)濟與管理學院，北京 102206; 2.華北電力大學 數(shù)理學院，北京 102206; 3.新疆電力公司 科技信通部，新疆 烏魯木齊 830000)

針對準則值為區(qū)間灰數(shù)直覺模糊數(shù)、準則權(quán)系數(shù)部分已知以及自然狀態(tài)出現(xiàn)概率為灰數(shù)的多準則決策問題，提出一種結(jié)合前景理論和改進TOPSIS的決策方法。該方法首先定義了灰色直覺模糊數(shù)的前景價值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)，并利用前景理論構(gòu)建出前景決策矩陣；接著從兩個方面對傳統(tǒng)TOPSIS決策方法進行改進：(1)過定義方案間綜合差異的概念，采用離差最大化思想，建立平均綜合差異最大化規(guī)劃模型，給出了一種兼顧主客觀權(quán)重信息確定準則權(quán)系數(shù)的新方法；(2)用灰關(guān)聯(lián)替換備選方案與正負理想方案的距離，據(jù)此刻畫了各方案與正負理想方案的貼近度。進而利用改進TOPSIS決策方法中的綜合貼近度對方案進行了排序。最后通過實例驗證了該方法的有效性。

多屬性決策；區(qū)間灰數(shù)直覺模糊數(shù)；前景理論；TOPSIS方法；灰關(guān)聯(lián)度

0 引言

自20世紀60年代，多準則決策問題已漸漸成為了國內(nèi)外學者研究的熱點問題之一。1981年，Hwang和Yoon[1]針對準則值和權(quán)重均為精確數(shù)值的決策問題，提出了TOPSIS決策方法。該方法基本原理是通過計算備選方案與正負理想方案的距離來排序，其中備選方案與正理想方案越近、負理想方案越遠，則方案越優(yōu)。

然而，由于外部環(huán)境的復雜性、事物本身的模糊性和人類認識的局限性，導致決策判斷和偏好往往是模糊的，所做出的決策值也很難用精確的數(shù)值來表示。因此，在1992年，Chen和Hwang[2]將Zadeh模糊集理論引入TOPSIS方法中，成功的解決了這類具有模糊性的多準則決策問題。隨后，由于Atanassov提出的區(qū)間直覺模糊集比模糊集在表達不確定性上更具有適用性。因此，在2006年，Tan和Zhang[3]提出了一種基于區(qū)間直覺模糊的多準則TOPSIS決策方法。在2011年，Tan在已定義區(qū)間直覺模糊集合算子的基礎(chǔ)上，提出了一種基于Choquet積分的區(qū)間直覺模糊多屬性TOPSIS決策方法[4]。隨后，學者們發(fā)現(xiàn)灰色系統(tǒng)理論中的灰集比區(qū)間數(shù)在刻畫準則值的不確定性上更具有優(yōu)越性和靈活性。因此，基于隸屬度和非隸屬度均為區(qū)間灰數(shù)直覺模糊集的TOPSIS決策方法漸漸引起了關(guān)注[10]。

在實際決策過程中，決策者對方案往往有主觀上的風險偏好，故將決策者的風險偏好考慮到多準則決策模型中是尤為重要的。Kahneman和Tversky于1979年提出前景理論，該理論認為人類在風險型決策中存在“高估小概率事件，低估大概率事件”的系統(tǒng)性感知偏差，并給出了對這種偏差進行刻畫的概率權(quán)重函數(shù)[5,6]。該理論貼合人類決策的實際情況，能夠解釋很多期望效用理論所不能解釋的現(xiàn)象[7]。因此，基于前景理論的決策方法成為了學者們研究的熱點之一[8,9]。但是，目前尚未發(fā)現(xiàn)利用前景理論解決區(qū)間灰數(shù)直覺模糊數(shù)多準則決策問題的。

因此，本文將前景理論融入到區(qū)間灰數(shù)直覺模糊數(shù)的TOPSIS決策方法中，這充分考慮了決策者主觀風險態(tài)度和外界環(huán)境的不確定性對準則值的影響。在此基礎(chǔ)上，并從兩個方面對傳統(tǒng)的TOPSIS決策方法進行了改進。第一，通過定義方案之間的綜合差異、增加決策者主觀權(quán)重約束，以總平均綜合差異最大化為目標，構(gòu)建了一種兼顧主客觀權(quán)重信息的優(yōu)化模型來確定各準則權(quán)重。第二，用灰關(guān)聯(lián)系數(shù)替換備選方案與正負理想方案的距離，據(jù)此刻畫了各方案與正負理想方案的貼近度。進而，利用改進TOPSIS決策方法中的綜合貼近度對方案進行了排序、擇優(yōu)。最后通過實例分析驗證了本方法的合理性。

1 區(qū)間灰數(shù)直覺模糊數(shù)及前景理論

1.1 區(qū)間灰數(shù)直覺模數(shù)

區(qū)間灰數(shù)直覺模糊集是保留了區(qū)間灰數(shù)在刻畫不確定現(xiàn)象的靈活性和直覺模糊集在描述客觀世界非此非彼特性方面的精確性，它進一步增強了對不確定信息的表達能力，其定義如下。

對于區(qū)間灰數(shù)直覺模糊數(shù)距離運算和比較大小的規(guī)則分別采用如下的定義。

(1)

(2)

(3)

1.2 前景理論

當人們面對風險型決策時，決策結(jié)果往往是偏離“理性”的。Kahneman教授通過大量實驗證實了決策者有限理性的決策結(jié)果往往與完全理性的期望效用理論相悖論，并在此基礎(chǔ)上提出了新的模型框架——前景理論，其理論的核心概念為前景價值，它是由“價值函數(shù)”和“權(quán)重函數(shù)”共同來決定的[5]，即

(4)

其中，π(p)為權(quán)重函數(shù)，它代表考慮了風險的概率權(quán)重[13]；υ(x)是價值函數(shù)，它代表決策者通過主觀感受形成的價值[6]，其具體形式分別為：

(5)

其中,Δxi=xi-x0，x0為相應參考點，Δxi代表決策準則值相對于參考點的差值；pi為決策評價值xi發(fā)生的概率，參數(shù)γ、δ為風險態(tài)度系數(shù)，主要控制權(quán)重函數(shù)曲線的曲率；參數(shù)α、β為風險態(tài)度系數(shù)，它表示價值函數(shù)收益和損失區(qū)域的凹凸程度，系數(shù)λ為損失厭惡系數(shù)，它表示損失區(qū)域比收益區(qū)域更陡的特征。

上述公式中均是針對實數(shù)進行的運算操作，而本文中由于區(qū)間灰數(shù)直覺模糊數(shù)直接做減法運算會存在信息失真的現(xiàn)象，針對此現(xiàn)象本文給出如下操作定義。

(6)

2 改進的TOPSIS決策方法

傳統(tǒng)TOPSIS方法是Chen和Hwang[2]提出的一種多準則決策方法，該方法首先求解各方案與正負理想方案的距離，并通過距離加權(quán)求和開放的運算定義為貼近度，通過的大小對方案進行排序。該方法已在經(jīng)濟管理[14]、能源[15]等領(lǐng)域得到了一系列成功的應用。但也存在兩方面的不足：第一，準則權(quán)系數(shù)需要事先確定，主觀性較強。這不僅限制了方法的應用范圍，也存在合理確定權(quán)重的難題；第二，使用距離來計算貼近度的過程中，決策者僅能得出各方案與正負理想方案之間的差距，無法直觀的看出其相關(guān)性，且當某個方案的準則值與正負理想方案的相應準則值差距過大時，就會導致其它準則對方案排序失效的現(xiàn)象。

針對上述兩方面缺陷，本文對傳統(tǒng)TOPSIS方法進行了改進，提出基于綜合差異最大化的定權(quán)方法和基于灰關(guān)聯(lián)度的方案排序方法。

2.1 基于綜合差異最大化的定權(quán)方法

定義6 設(shè)γi為方案zi的評價向量，則方案zi與其它方案的平均綜合差異為：

(7)

其中，m為方案的個數(shù)，n為準則個數(shù)，d(rij,rkj)代表方案zi和zk在準則j下評價值的距離。

因各方案在決策中處于平等的地位，根據(jù)方差最大化思想和平均綜合差異的概念，結(jié)合決策者主觀權(quán)重偏好，構(gòu)建出一種總平均綜合差異之和最大化優(yōu)化模型為：

其中，G為決策者主觀偏好對權(quán)重約束的信息。

2.2 基于灰關(guān)聯(lián)度的方案排序方法

常見灰色關(guān)聯(lián)度的計算模型有鄧氏灰關(guān)聯(lián)度[18]，灰色T型關(guān)聯(lián)度[19]和C型關(guān)聯(lián)度[20]等。本文采用鄧氏灰關(guān)聯(lián)度計算方法，該方法首先求出各方案在各準則下與正負理想方案的灰關(guān)聯(lián)系數(shù)，進而通過求解灰關(guān)聯(lián)度得各方案與正負理想方案的貼近度。其中灰關(guān)聯(lián)系數(shù)相比距離可更直觀的刻畫出各方案與正負理想方案在各準則下的相關(guān)性，且分辨系數(shù)ρ可有效削弱部分準則差距過大引起方案排序失效的影響。其各方案與正理想方案的灰關(guān)聯(lián)系數(shù)ξ*和灰關(guān)聯(lián)度γ*的計算公式如下所示：

(9)

(10)

3 基于前景理論和改進TOPSIS的灰色直覺模糊隨機多準則決策方法

3.1 問題描述

3.2 決策方法

針對上述決策問題，本文給出具體的決策步驟如下：

步驟1 確定方案前景決策矩陣。

本文選擇以其他的備選方案為參考點，根據(jù)公式(5)計算各方案在各準則下的前景值為：

(11)

其中，由定義5中式(6)，可得前景價值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)分別為：

從而可得前景決策矩陣：V(?)=(V(xij(?)))m×n。

步驟2 根據(jù)前景決策矩陣確定正負理想方案。根據(jù)TOPSIS方法對正負理想方案的定義和文獻[21]中區(qū)間灰數(shù)比較大小的規(guī)則，求得正負理想方案分別為：

(12)

(13)

其中，V*(?)為正理想方案，V-(?)為負理想方案，i∈M。

步驟3 確定準則權(quán)系數(shù)。

根據(jù)定義6中總平均綜合差異最大化的思想構(gòu)建優(yōu)化模型如下：

(14)

其中，G為決策者主觀偏好對權(quán)重約束的信息。

對于上述模型(14)，可采用智能優(yōu)化算法在Matlab數(shù)學軟件上進行求解，得出最優(yōu)準則權(quán)系數(shù)向量為W=(w1,w2,……,wn)。

步驟4 確定各方案與正負理想方案的灰關(guān)聯(lián)系數(shù)和灰關(guān)聯(lián)度。

(15)

(16)

(17)

(18)

步驟5 計算各方案與正理想方案V*(?)的貼近度C*。

(19)

基于“與正理想方案貼近度越大，方案越優(yōu)”的原則，即可對整個方案集排序，得出最優(yōu)方案。

4 算例分析

某新能源公司準備從4個新能源項目方案S={S1,S2,S3,S4}中選擇出一個合適的方案進行投資。該公司選擇從項目經(jīng)濟利益(G1)、減少環(huán)境污染(G2)和提高自然資源利用率(G3)3項評價指標對各備選方案進行評估。由于受到社會政治、宏觀經(jīng)濟、環(huán)境等因素的影響，各方案的準則值存在3種不同的可能狀態(tài)：好、中等、差。決策者已主觀給出部分準則權(quán)系數(shù)的取值范圍G={ω1∈[0.2,0.6],ω2∈[0.1,0.3]} ，且評估專家組對各方案給出的評估數(shù)據(jù)如表1所示，試確定新能源服務公司項目投資的最佳方案。

表1 決策表

(1)根據(jù)式(6)和式(11)以其他備選方案作為參考點，可求得前景決策矩陣V(?)如表2，其中各參數(shù)取值采用Kahneman在文獻[16]中給出的參考值：α=β=0.88,λ=2,25,γ=0.61,δ=0.69。

表2 前景決策矩陣

(2)根據(jù)式(12)、(13)和區(qū)間灰數(shù)比較大小的規(guī)則，可得正負理想方案為：

V*(?)={[0.5347 ，0.6389],[-0.0834 ，-0.1727],[0.1436 ，0.5424]}

V-(?)={[-3.7131 ，-0.3394],[-1.1496 ，-0.2237],[-1.7732 ，-0.5380]}

(3)根據(jù)總平均綜合差異最大化，由式(14)構(gòu)建優(yōu)化模型，利用matlab軟件求解，得最優(yōu)準則權(quán)系數(shù)為：ω=[0.5012,0.1269,0.3719]。

在此基礎(chǔ)上，為說明采用灰關(guān)聯(lián)系數(shù)替換距離改進TOPSIS方法的合理性，本文在得到表2前景決策矩陣的基礎(chǔ)上，采用傳統(tǒng)TOPSIS方法通過距離重新計算了各方案與正負理想方案的貼近度，其中方案Si與正理想方案V*(?)的貼近度計算公式為：

權(quán)重值ω=[0.5012,0.1269,0.3719]，其詳細計算過程及結(jié)果如表3所示。

表3 通過灰關(guān)聯(lián)和距離計算貼近度的排序結(jié)果

將表3中通過灰關(guān)聯(lián)和距離計算貼近度的過程及結(jié)果對比分析，我們發(fā)現(xiàn)：

(1)在計算貼近度的過程中，利用灰關(guān)聯(lián)系數(shù)比距離可更直觀的看出各方案在各準則下與正負理想方案的相關(guān)性；(2)灰關(guān)聯(lián)系數(shù)通過將差距轉(zhuǎn)化為[0,1]之間的數(shù)來刻畫其相關(guān)性，這有效的消除了出現(xiàn)部分準則值差距過大的現(xiàn)象。而距離直接通過差距來描述其關(guān)聯(lián)性，若某個準則下的差距相對于其他準則過大時，如表3中的G1準則，則會削弱其他準則對方案排序的作用，產(chǎn)生不同的排序結(jié)果。

此外，目前針對準則值為區(qū)間灰數(shù)直覺模糊數(shù)和概率為灰數(shù)的多準則決策方法尚未報道，本文采用文獻[22]中提出的基于TOPSIS區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法的思路和文獻[23]中基于前景理論隨機直覺模糊決策方法的思路對本例進行求解，以對比說明本文方法結(jié)合的合理性和有效性。

為在同一標準下進行比較，兩種方法的準則權(quán)系數(shù)均取ω=[0.5801,0.1069,0.3130]。其中針對文獻[22]中的方法，分別計算好、中等、差三種可能狀態(tài)下各方案與正理想方案的貼近度；針對文獻[23]中的方法，在已構(gòu)建前景決策矩陣的基礎(chǔ)上，通過對各方案的準則加權(quán)集結(jié)得出最終排序結(jié)果，詳細計算過程如表4所示。

表4 文獻[22]和文獻[23]方法的排序結(jié)果

與文獻[22]和文獻[23]中方法所得結(jié)果相比，我們發(fā)現(xiàn)：

(1)本文所給決策方法能夠綜合考慮三種狀態(tài)(即好、中等、差)，得出方案S3為最優(yōu)，而文獻[22]方法只能針對不同狀態(tài)得出相應結(jié)論，且三種狀態(tài)下得出的決策結(jié)果各不相同，難以得出一個確切結(jié)論；(2)基于前景理論中決策者對損失更敏感的原則，所得前景決策矩陣中可能會出現(xiàn)部分準則值相對于其他準則過大的現(xiàn)象，如表2中的G1準則，這就會削弱其他準則對方案排序的作用。本文中決策方法的結(jié)合可有效地削弱其影響，而文獻[23]中的方法直接將前景決策值加權(quán)集結(jié)，這忽略了其上述影響，因此所得排序結(jié)果也不同。

綜上所述，本文提出的方法有以下幾點優(yōu)勢：

(1)本文將前景理論融入到?jīng)Q策方法中，綜合的考慮到了外界環(huán)境的復雜性和決策者面臨收益和損失時不同的風險態(tài)度對方案決策值的影響，這樣使得該方法決策過程更符合人類本身的實際決策模式。

(2)在得到前景決策矩陣的基礎(chǔ)上，通過引入改進的TOPSIS方法，有效的削弱了由于決策者對損失更敏感原則所引起部分準則值過大、其他準則對排序失效的影響，這樣使得該方法排序結(jié)果更具有可靠性。

(3)本文通過定義平均綜合差異和增加主觀權(quán)重約束，構(gòu)建了一種兼顧主客觀權(quán)重信息的優(yōu)化模型，這給出了一種通用的準則權(quán)系數(shù)求解方法。

5 結(jié)語

本文針對準則值為區(qū)間灰數(shù)直覺模糊數(shù)和具有灰色概率的多準則決策問題，首先通過兩個方面對傳統(tǒng)TOPSIS決策方法進行了改進，但考慮到?jīng)Q策者面臨不同的狀態(tài)時會持有不同的主觀風險態(tài)度、做出不同的決策結(jié)果，因此本文在上述基礎(chǔ)上引入了前景理論，提出了一種基于前景理論和改進TOPSIS方法的灰色直覺模糊多準則決策方法。該方法考慮到了外界環(huán)境的不確定性和決策者的風險態(tài)度對實際決策的影響，這更符合實際決策的過程。在后續(xù)研究中，針對具有灰色概率和準則值為混合型的多準則決策問題可進一步考慮和研究。

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Method for Fuzzy-stochastic Multi-criteria Decision-making Based on Prospect Theory and Improved TOPSIS with its Application

LI Cun-bin1, ZHANG Jian-ye1,3, GU Yun-dong2, QI Zhi-qiang1

(1.SchoolofEconomicsandManagement,NorthChinaElectronicPowerUniversity,Beijing102206,China; 2.SchoolofMathematicsandPhysics,NorthChinaElectronicPowerUniversity,Beijing102206,China; 3.TheDepartmentofTechnologyCommunication,ElectricPowerofXinJiang,Xinjiang83000,China)

This paper investigates the grey-probability multi-criteria decision-making problem in which the criteria value is interval grey-intuitionistic fuzzy number and the weighted coefficients are partially known. A decision-making approach based on improved TOPSIS and Prospect theory is proposed. This approach is composed of two steps: the first one is defining prospect value function and probability weighting function of grey intuitionistic fuzzy numbers and constructing prospects decision matrix via prospect theory, and the second one is ordering the corresponding alternatives by applying the complex closeness degree of the improved TOPSIS method. As for the TOPSIS we improve it in two aspects: On the one hand, we first define the concept of the difference between alternatives, and consequently construct a maximum average difference program model by using the idea of maximizing deviations, and then, a calculating weight method which satisfies the manager subjective information with the algorithm of maximum deviation is proposed. On the other hand, we use the degree of grey relational instead of applying the distance of positive-negative ideal solution to measure the closeness degree of distance between alternatives and positive-negative ideal solution. Finally, an example is provided to examine the effectiveness of our method.

multi-attribute decision-making; grey intuitionistic fuzzy numbers; prospect theory; TOPSIS method; degree of grey relational

2013- 08-29

國家自然科學基金資助項目(71271083，71071054);教育部新世紀優(yōu)秀人才計劃項目(NCET-10- 0375);北京市教委共建項目，中央高校基本科研業(yè)務費專項基金重點項目(12zx08，11ZG06)和中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項基金項目資助(12MS84，13XS25)

李存斌(1959-)，男，教授，博士生導師，研究方向：信息管理與決策分析、風險管理；張建業(yè)(1972-)，男，博士研究生，研究方向：信息管理與決策分析。

C934

A

1007-3221(2015)02- 0092- 09