姜柏森，楊永勝，胡士強

（上海交通大學，上海 200240）

0 引言

變幾何桁架機器人是超冗余度機器人的一種，相比于同樣體積和重量的傳統(tǒng)機器人而言，變幾何桁架機器人的具有良好的優(yōu)點：靈活性、模塊化、剛度大和柔性。因為這些優(yōu)點，變幾何桁架機器人在宇宙空間，工業(yè)自動化和開發(fā)新的機器人機構方面具有廣闊的應用前景。

最近，有很多文章都對變幾何桁架機器人做出了深入的研究，例如有多篇文章介紹了基于神經(jīng)網(wǎng)絡方法的八面體變幾何桁架機器人的運動學研究[1～3]。也有一些文章基于粒子群算法對八面體變幾何桁架機器人的運動學進行了研究[4]。但是這些方法都有一些共同的缺點，就是無法用代數(shù)方法對其精確的求解，這導致了這些方法會出現(xiàn)計算速度慢，計算得不到最優(yōu)解等特點。本文基于以上方法的缺點，結合變幾何桁架機器人自身的特點提出了一種變幾何桁架機器人結構，該結構不僅能夠解決以上文章中出現(xiàn)的無法求得代數(shù)解的問題，同時使機器人運動學的運算具有很高的精度。

1 運動學模型的描述

為了解釋運動學問題，首先，我們需要介紹一下單模塊變幾何桁架機器人的結構。

正如圖1所示，一個單模塊變幾何桁架機器人是由兩個對稱的八面體桁架結構組合而成，其中兩個八面體桁架有一個共同的平面M。這個聯(lián)接平面同樣被叫做執(zhí)行平面，因為單模塊變幾何桁架機器人的三個可改變長度的控制器是這個平面的三條邊。兩個八面體桁架是關于鏈接平面M對稱的，而其中每個八面體中與平面M相對的平面我們分別定義為底面B與頂面P。為了方便下面的計算，我們用符號表達這三個控制器的長度。在實際情況下，由于考慮到機械的實際操作上的困難，執(zhí)行器平面實際上是有一定厚度的，這個厚度我們用符號來表示。這樣，其執(zhí)行器平面就分為上中下三個平面，三個可改變長度的控制器位于中間平面，其中我們用符號來表達低執(zhí)行器平面的三個節(jié)點。對于桁架結構的其他桿，我們設計時均使其為固定長度，對于桁架模型底面與頂面的桿，其長度我們用表示，而其余側平面的桿的長度，我們用來表示。

圖1 單模塊變幾何桁架機器人的物理結構

同樣的為了更為清楚的說明運動學問題，我們需要引入其他的符號。如圖2所示，我們用和來表示底面中心點坐標與頂面中心點坐標。而與則被用來表示底面與頂面的法向量。用來表示從底面中心點到頂面中心點的單位向量，同時，考慮模型的對稱性，它也是執(zhí)行平面的法向量。最后我們用r來表示從沿著向量到達中心執(zhí)行平面的長度。

圖2 運動學模型所需參數(shù)

圖3 中間參數(shù)

所以，通過上面所提到的符號和單模塊運動學機器人模型的對稱性，我們將會在接下來介紹雙八面體變幾何桁架機器人運動學問題。

2 單模塊變幾何桁架機器人運動學

單模塊變幾何桁架機器人運動學問題包括正向運動學問題和逆向運動學問題。下面我們將一一介紹。

2.1 單模塊變幾何桁架機器人的正向運動學問題

對于單模塊變幾何桁架機器人的正向運動學問題，我們需要通過三個控制器的長度 來計算出末端平面中心點的坐標點位置，所以正向運動學的輸入變量即為而輸出變量即為首先，我們應明確坐標系的定義，其坐標系定義如圖4所示。

圖4 機器人坐標系示意圖

圖5 側平面三角形幾何關系圖

對于方程(4)來說，實際上可以求得多組不同的解，但是在實際情況下，我們可以通過不同的環(huán)境與限制條件選擇一組合理的解作為最終的由于我們求得則由式(4)我們可以求得進而我們可以求得如下：

則正向運動學問題即可通過方程式(1)～式(6)最終求得。

2.2 單模塊變幾何桁架機器人的逆向運動學

對于單模塊變幾何桁架機器人的正向運動學，我們需要通過末端平面中心點的坐標點位置來計算出三個可控制器長度所以正向運動學的輸入變量即為而輸出變量即為同樣，作為中間變量二面角是必不可少的?？紤]圖2所示的幾何關系，我們可以得到和r如下所示。

其中：

式(8)同樣存在多組解，同正向運動學一樣，在實際情況下，我們可以通過不同的環(huán)境與限制條件選擇一組合理的解作為最終的求得后，通過式(2)，我們便可以求得最終即可由式(3)求得，單模塊變幾何桁架機器人的逆向運動學也隨之求解。

3 運動學仿真

為了進行機器人運動學計算，首先我們需要給定機器人固定參數(shù)，我們假則我們給定5組控制桿長度可以得到目標點位置如表1所示。

表1 正向運動學示例

表2 逆向運動學示例

由表1與表2可知，該方法精確的解決了八面體變幾何桁架機器人的運動學問題，并且其正逆向運動學能得到良好的匹配結果。

4 結論

本文在變幾何桁架概念的基礎上設計了一種對稱雙八面體變幾何桁架機器人，并利用該機器人機構解決了其他八面體變幾何桁架機器人無法使用代數(shù)運算求解運動學精確解的問題。并且，只要給出合理的初始參數(shù)，該方法基本可以消除正逆向運動學運算所帶來的誤差，使得該方法具有很好的準確性。

[1]羅佑新.八面體變幾何桁架機構綜合的神經(jīng)網(wǎng)絡超混沌牛頓迭代法研究[J].機械設計,2008,25(11).

[2]雷勇,徐禮鉅,吳江.基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡的冗余度變幾何桁架機器人位置控制[J].電工技術學報,2002,17(4):40-44.

[3]吳江,徐禮鉅,雷勇.基于神經(jīng)網(wǎng)絡的冗余度二重八面體變幾何桁架機器人運動學求解[J].四川大學學報（工程科學版）,2000,32(2):90-94.

[4]易建,車林仙,陳長憶.基于粒子群算法的八面體變幾何桁架機器人位置正解[J].機械工程師,2006,(7):34-36.