潘 敏，葛 靜，張群英＊

（1．揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇 揚州225002；2．泰州職業(yè)技術學院基礎科學部，江蘇 泰州225300）

近年來，不同功能反應的捕食模型引起了廣泛關注［1－2］．考慮到生物種群的遷移現(xiàn)象，很多學者致力于研究帶有擴散項的捕食－被捕食模型［3－4］，其中對Beddington－DeAngelis（BD）型捕食－被捕食擴散模型的研究已有較多理論結果［5－7］．本文將討論一類具階段結構和時滯的BD 型捕食－被捕食反應擴散系統(tǒng)的子系統(tǒng)平衡解的全局穩(wěn)定性，并對其進行數(shù)值模擬，驗證相關結論．

1 模型及相關引理

本文主要研究如下具階段結構的BD 型捕食－被捕食反應擴散系統(tǒng)：

其中u1，u2分別表示被捕食者為幼年種群和成年種群的種群密度，u3表示捕食者的種群密度；正常數(shù)Di（i＝1，2，3）表示第i個種群的擴散系數(shù)；b表示成年被捕食者的出生率；d1表示幼年捕食者的死亡率；Ω 為Rn中具有光滑邊界的有界區(qū)域；η 表示邊界?Ω 上的單位外法向量；齊次Neumann邊界條件?ui／?η＝0表示上述系統(tǒng)在邊界上沒有種群遷移；初值函數(shù)φi（x，t）在ˉΩ×（－τ，0］上非負且H?lder連續(xù)，并在?Ω 上滿足相應的相容性條件?φi／?η＝0（i＝1，2，3）；τ表示幼年被捕食者成熟所經過的時間；e－d1τ表示每一個幼年捕食者在成熟之前的存活率；mu2u3／（1＋k1u2＋k2u3）為BD 響應函數(shù)，式中k1為捕食率，k2為捕食者之間的相互影響率；n為捕食者攝取食物轉化為能量的轉化率；d 為捕食者的死亡率；以上這些參數(shù)均為正常數(shù)．為方便討論，令r＝be－d1τ，K＝be－d1τ／a，α＝m，β＝ned1τ．因幼年種群的密度取決于成年種群的密度，故考慮該系統(tǒng)的子系統(tǒng)

顯然，該子系統(tǒng)（1）有平凡解E0＝（0，0）；半平凡解E1＝（K，0）；且當（αβe－d1τK）（1＋k1K）－1＞d 時，子系統(tǒng)（1）有正平衡解E2＝（u2＊，u3＊），其中式中為證明子系統(tǒng)（1）半平凡解E1＝（K，0）和正平衡解E2＝（u2＊，u3＊）的全局穩(wěn)定性，下面先給出4個引理．

引理1 若u∈C（ˉΩ×［0，＋∞））∩C2（Ω×（0，＋∞））是標量問題

的一個非負非平凡解，其中A1≥0，A2，B，τ＞0，則i）當B±A1＞0，且t→＋∞時，u→（B±A1）／A2在上一致成立；ii）當B±A1≤0且t→＋∞時，u→0在ˉΩ 上一致成立．

引理2設v∈C（ˉΩ×［0，＋∞））∩C2（Ω×（0，＋∞））是標量問題

的一個非負非平凡解，其中所有參數(shù)均為正值，i）若（αβe－d1τ－dk1）M－d＞0，則當t→＋∞時，v→［（αβe－d1τ－dk1）M－d］／k2d 在上一致成立；ii）若（αβe－d1τ－dk1）M－d≤0，則當t→＋∞時，v→0在上一致成立．

引理3設w∈C（ˉΩ×［0，＋∞））∩C2（Ω×（0，＋∞））是標量問題

的一個非負非平凡解，其中所有參數(shù)均為正值，且r＞αu0（1＋k2u0）－1，則當t→＋∞時，w→w＊在ˉΩ上一致成立，這里

引理4子系統(tǒng)（1）的平衡解均一致有界．

證明 易證子系統(tǒng)（1）在初始條件非負的情況下其解一定為正．由子系統(tǒng)（1）的第1個方程有

考慮方程組

由比較原理知w2（x，t）≥u2（x，t）＞0，（x，t）∈ˉΩ×［0，＋∞）．再根據文獻［8］中定理2得w2（x，t）有界，從而u2（x，t）一致有界，即存在M＞K，T1＞0，使得u2（x，t）＜M，（x，t）∈ˉΩ×［T1，＋∞）．將u2（x，t）＜M代入子系統(tǒng)（1）的第2個方程，有由引理2和比較原理知，若N＝［（αβe－d1τ－dk1）M－d］k2－1d－1＞0，則對任意小ε＞0，存在T2＞T1，使得u3＜N＋ε，（x，t）∈Ω×［T2，＋∞），即u3（x，t）一致有界，證畢．

2 全局穩(wěn)定性

首先，討論子系統(tǒng)（1）半平凡解E1＝（K，0）的全局穩(wěn)定性．

定理1當αβe－d1τK／（1＋k1K）≤d 時，limt→＋∞（u2（x，t），u3（x，t））＝（K，0）．

證明 先討論當αβe－d1τK／（1＋k1K）＜d 時半平凡解的穩(wěn)定性．顯然，存在充分小的ε＞0，使得αβe－d1τ（K＋ε）／［1＋k1（K＋ε）］＜d 成立．由引理1 及方程（2）知limt→＋∞w2（x，t）＝K，則對任意ε，存在Tε＞0，使得w2（x，t）＜K＋ε．再由比較原理知u2（x，t）≤w2（x，t）＜K＋ε，（x，t）∈ˉΩ×［Tε，＋∞）．將上式代入子系統(tǒng)（1）的第2個方程，得

由引理2和比較原理知limt→＋∞u3（x，t）＝0，因此，對任意0＜δ＜r，存在Tδ＞0，使得αu3／（1＋k1u2＋k2u3）＜δ成立，其中（x，t）∈ˉΩ×［Tδ，＋∞）．于是由子系統(tǒng)（1）的第1個方程，有ru2（x，t－τ）－δu3－ru22／K＜u2t－D2Δu2＜ru2（x，t－τ）－ru22／K．再由引理1和比較原理，得limt→＋∞u2（x，t）＝K．

其次，當αβe－d1τK／（1＋k1K）＝d 時，類似于文獻［9］中定理3．1的情形二，可證得limt→＋∞（u2（x，t），u3（x，t））＝（K，0）．定理得證．

然后，利用上下解［10］及迭代方法證明正平衡解E2＝（u＊2，u＊3）的全局穩(wěn)定性．

定理2若子系統(tǒng)（1）滿足條件

則正平衡解E2全局吸引．

證明 考慮子系統(tǒng)（1）的第1 個方程，根據比較原理和引理1，并注意到條件αβe－d1τK／（1＋k1K）＞d，知對任意小的ε＞0，存在T1＞0，使得再將其代入子系統(tǒng)（1）的第2個方程，有u3t－D3Δu3≤［αβe－d1τˉu21／（1＋k1ˉu21＋k2u3）－d］u3，（x，t）∈Ω×［T1，＋∞）．令引理2中的M＝ˉu21，可得limt→＋∞v（x，t）＝［（αβe－d1τ－dk1）ˉu21－d］k－12 d－1＞0．由比較原理知，u3（x，t）≤v（x，t），（x，t）∈Ω×［T1，＋∞），即對任意小的ε＞0，存在T2＞T1，使得

將式（4）代入子系統(tǒng)（1）的第1個方程，得

由引理3和比較原理知對任意小的ε＞0，存在T3＞T2，使得

同理可得，對任意小的ε＞0，存在T4＞T3，使得

由條件（3），引理3及比較原理知對任意小的ε＞0，存在T5＞T4，使得

同理可得，對任意小的ε＞0，存在T6＞T5，使得

又因

注1若將條件（3）中的r，K，α，β還原為子系統(tǒng)（1）的系數(shù)，則得等價條件

由此可見，時滯τ越大，條件（12）越不易滿足，故引入階段結構和時滯對生態(tài)系統(tǒng)的持續(xù)生存將帶來負面影響；而式（12）與擴散系數(shù)無關，即引入擴散項未對種群的持續(xù)生存和滅絕產生明顯影響．

3 數(shù)值模擬

利用Matlab軟件對所得結果進行數(shù)值模擬．先考慮半平凡解E1，選取初始函數(shù)u2（x，t）＝0．367 9＋0．05cos 2x，u3（x，t）＝0．5＋0．1cos 2x，參數(shù)D2＝2，D3＝1，a＝1，b＝1，d1＝1，τ＝1，m＝1，n＝0．5，k1＝0．6，k2＝1，d＝2．此時子系統(tǒng)（1）有唯一的半平凡解E1（0．367 9，0）．可繪制出子系統(tǒng)（1）的模擬曲面，見圖1．由圖1可觀察到，當t→＋∞時，u2（x，t）→0．367 9，u3（x，t）→0，這與定理1的理論結果一致．

圖1 半平凡解E1 的全局穩(wěn)定性Fig．1 Global stability of boundary equilibriumE1

再考慮正平衡解E2，選取初始函數(shù)u2（x，t）＝0．333 2＋0．05cos 2x，u3（x，t）＝0．136＋0．1cos 2x，參數(shù)D2＝0．04，D3＝1，a＝1，b＝1，d1＝1，τ＝1，m＝1，n＝2，k1＝0．6，k2＝20，d＝0．17．此時子系統(tǒng)（1）有唯一的正平衡解E2（0．333 2，0．136）．可繪制出子系統(tǒng)（1）的模擬曲面，見圖2．由圖2可觀察到，當t→＋∞時，u2（x，t）→0．333 2，u3（x，t）→0．136，這與定理2的理論結果一致．

圖2 正平衡解E2 的全局穩(wěn)定性Fig．2 Global stability of positive equilibriumE2

［1］ CANTREll R S，COSNER C．On the dynamics of predator－prey models with the Beddington－DeAngelis functional response［J］．J Math Anal Appl，2001，257（1）：206－222．

［2］ QIU Hong，LIU Meng，WANG Ke，et al．Dynamics of a stochastic predator－prey system with Beddington－DeAngelis functional response［J］．Appl Math Comput，2012，219（4）：2303－2312．

［3］ 鄭雪，王婷，楊靜，等．一類兩種群強耦合互惠模型的共存解［J］．揚州大學學報（自然科學版），2013，16（3）：10－13．

［4］ 王婷，林支桂．縮小區(qū)域上一類捕獲模型解的漸近性［J］．揚州大學學報（自然科學版），2014，17（1）：9－11，20．

［5］ ZHENG Xiuliang，MENG Xiaolu，GAO Yaping，et al．Study on a non－autonomous predator－prey dispersion－delay model with Beddington－DeAngelis functional response［J］．J Biomath，2014，29（2）：231－247．

［6］ DONG Ranran，ZHANG Daoxiang，YIN Hongyun．Periodic solutions for a ratio－dependent three－species predator－prey diffusion system with the Beddington－DeAngelis functional response［J］．J Biomath，2012，27（2）：213－223．

［7］ YAN Xiangping，ZHANG Cunhua．Stability and turing instability in a diffusive predator－prey system with Beddington－DeAngelis functional response［J］．Nonlinear Anal：Real World Appl，2014，20：1－13．

［8］ LIU Shengqiang，CHEN Lansun，LUO Guilie，et al．Asymptotic behaviors of competitive Lotka－Volterra system with stage structure［J］．J Math Anal Appl，2002，271（1）：124－138．

［9］ LIU Shengqiang，ZHANG Jianhua．Coexistence and stability of predator－prey model with Beddington－DeAngelis functional response and stage structure［J］．J Math Anal Appl，2008，342（1）：446－460．

［10］ PAO C V．Convergence of solutions of reaction－diffusion systems with time delays［J］．Nonlinear Anal，2002，48（3）：349－362．