程乃偉　劉曉雙

摘 要：目前，VaR（value-at-risk）和CVaR（conditional value-at-risk）方法是各領(lǐng)域進行風險管理的主要度量工具。本文將VaR、CVaR與傳統(tǒng)方差方法進行比較，從是否符合一致性公理來體現(xiàn)VaR和CVaR方法的優(yōu)越性。并介紹了該兩種方法在保險領(lǐng)域的應(yīng)用，給出了再保險方面的基于VaR和CVaR風險度量的最優(yōu)再保險模型。

關(guān)鍵詞：風險度量；VaR；CVaR；一致性公理；最優(yōu)再保險

1.引言

投資專家學(xué)者曾提出了很多不同的風險度量模型。傳統(tǒng)的方差度量方法也曾被Markowitz提出并作為風險度量指標。由于該模型需要假設(shè)投資組合的各項資產(chǎn)的收益率的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，其實用性受到眾多的批評和質(zhì)疑。

20世紀90年代初，VaR風險度量方法一經(jīng)提出，便受到了各界的歡迎。但隨著其在金融領(lǐng)域的應(yīng)用，缺陷也逐漸暴露。尤其是在1999年Artzner等人提出了一致性風險度量公理后，VaR的缺陷更加明顯。而CVaR風險度量的提出在一定程度上解決了VaR方法遇到的問題。它比VaR方法求解效果更好，并滿足一致性公理，得到了學(xué)術(shù)界的一致認可。

2.VaR、CVaR的定義

VaR的基本含義是在某一特定的持有期內(nèi)，在給定的置信水平下，給定的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合可能遭受的最大損失值，體現(xiàn)了VaR度量模型技術(shù)的綜合性。定義為如下：

定義1在置信水平為β（0<β<1）下，一組非負的隨機變量X的VaR值定義為：

VaRβ（X）Δinf{x≥0|P（X>x）≤1-β}

對某資產(chǎn)或資產(chǎn)組合，在給定的持有期和給定的置信水平下，VaR給出了其最大可能的預(yù)期損失值。此外，由于風險的度量更多的是在對金融風險的研究時所提出的，所以學(xué)者對VaR有更為具體的定義，其中J.P.Morgan將VaR定義為：VaR是在既定資金被沖銷或重估前可能發(fā)生的市場價值最大損失的估計值；而Jorion則把VaR定義為：“給定置信區(qū)間的一個持有期內(nèi)的最壞的預(yù)期損失”。

其實，計算VaR的主要涉及兩個因素：目標時段和置信水平。目標時段是指計算的未來多長時間內(nèi)的VaR，它的確定主要取決于投資組合中資產(chǎn)的流動性，一般取為1天，1周，10天或1月；置信水平的確定主要取決于該投資組合中風險管理者的風險要求，一般取90%～99.9%。從VaR的定義中，我們不難發(fā)現(xiàn)，VaR僅僅給出了在一定的置信水平的條件下，投資收益分布的最大可接受值，但絲毫未提對于超出這個值之外的可能性，這也正是VaR模型的主要缺陷之一。

CVaR最早由Rockafellar和Uryasev 2000年引入，即條件在險價值，定義如下：

定義2 在置信水平為β（0<β<1）下，一組非負的隨機變量X的CVaR值定義為：CVaRβ（X）=E[X|X≥VaRβ（X）]這也說明，CVaR方法能彌補VaR方法尾部風險不可測的缺陷問題。

根據(jù)上述定義，可知CVaR代數(shù)式為CVaRβ（X）=11-β∫1-β0VaRs（X）ds

隨著進一步的研究，Pflug在此定義的基礎(chǔ)上通過一個最優(yōu)化問題定義CVaR為：

CVaRβ（X）=infC{C+11-βE[X-C]+}這里E[X-C]+=max{X-C，0}

在投資組合中，可用如下表達式表示：CVaRβ（X）=E[f（x，r）|f（x，r）≥VaRβ（X）]

其中，x=（x1，x2，…，xn）T：投資組合中某種資產(chǎn)占總資產(chǎn)的比率；r=（r1，r2，…，rn）T：投資組合中某種資產(chǎn)收益率的隨機向量；f（x，r）：投資組合的預(yù)期損失函數(shù)。

根據(jù)E（x+C）=E（x）+C，C為常數(shù)，可知

CVaRβ（X）=VaRβ（X）+E[f（x，r）-VaRβ（X）|f（x，r）≥VaRβ（X）]由此可以知CVaRβ（X）≥VaRβ（X）

下面是度量CVaR的另一個數(shù)學(xué)公式，該公式更為精確，也可以稱為過量損失的預(yù)期值的分布函數(shù)：Ψ（x，a）=∫f（x，r）≤ap（r）dr它是關(guān)于a的非增、右連續(xù)函數(shù)。

則對于任意置信度的β∈（0，1），VaRβ（X）=min{a∈R：Ψ（x，a）≥β}

于是：CVaRβ（X）=11-β∫f（x，r）≥VaRβ（X）f（x，r）p（r）dr

3.VaR、CVaR及方差模型的優(yōu)缺點比較

根據(jù)方差模型、VaR模型以及CVaR模型的定義可證明得出，傳統(tǒng)方差方法完全不滿足一致性公理，這說明某種程度上來說，利用方差方法來度量風險在是極不可靠的。而VaR方法雖然滿足一致性公理的正其次性、單調(diào)性以及平移不變性，但是其不滿足次可加性。這說明VaR方法與投資上要求的分散化可以降低風險的性質(zhì)不符。并且由于VaR不滿足次可加性，易證其不滿足凸性，表示作為投資組合的函數(shù)存在多個局部極值，無法通過優(yōu)化技術(shù)來有效的尋找基于VaR風險度量的最優(yōu)投資組合。

CVaR方法完全符合一致性公理，該方法具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，滿足次可加性，即該方法符合投資上要求的分化可降低風險的性質(zhì)。而且CVaR模型是凸性的，可以求得全局最優(yōu)解，這意味著不論投資者的回報是否為正態(tài)分布，它的優(yōu)化問題計算簡單，能夠便于處理大樣本事件，并且存在有效的最優(yōu)解。這滿足了風險度量方法的直觀且易操作的有效性，很好的達到了應(yīng)用到風險管理的實踐中的要求。

4.VaR和CVaR的最優(yōu)再保險模型

改革開放以來，我國經(jīng)濟飛速發(fā)展，保險業(yè)自入市之后保費與日俱增。能夠合理而有效地運用巨額保險資金，找出科學(xué)的風險度量方法管理并控制保險資金投資的風險已成為當前的首要任務(wù)。在再保險的模型的研究中，可以應(yīng)用VaR和CVaR風險度量方法，從而得出優(yōu)化的再保險模型。

如果X表示由保險公司承擔的最初的損失（即在沒有再保險）。假設(shè)X是一個非負的隨機變量的累積分布函數(shù)FX（x）=P（X≤x）和E[X]<∞。最優(yōu)再保險問題涉及到在X=f（X）+Rf（X）時，X在f（X）和Rf（X）中的最優(yōu)分割。該f（X），滿足0≤f（X）≤X的虧損部分被分出給再保險公司，而Rf（x）是保險公司（保人）所自留的剩余損失。因此，f（x）被稱為分出損失函數(shù)，而Rf（x）表示作為自留損失函數(shù)。

根據(jù)再保險安排，保險公司的風險敞口不再由X所引起。事實上，保險公司總風險敞口是自留損失和再保險保費的總和。使用Tf（X）代表保險公司的再保險的存在時的總風險，有：TfX=RfX+∏fX。

一個合理的標準，確定最優(yōu)分出損失函數(shù)可以表示為一個適當選擇的風險最小化測量Tf（X）。

基于這兩個風險度量方法的定義，以風險度量為基礎(chǔ)的最優(yōu)再保險模型如下 VaR-優(yōu)化：VaRβTf*X=minf∈CVaRβTfX

CVaR-優(yōu)化： CVaRβTf*X=minf∈CCVaRβTfX

這里C是可容許的分出損失函數(shù)的集合，f*∈C是生成的最優(yōu)分出損失函數(shù)。

從上述兩種基于風險度量的最優(yōu)再保險模型的進一步分析，可以求出最優(yōu)的分出損失函數(shù)，從而選擇一個風險最小的測量Tf（X）。

根據(jù)上述最優(yōu)再保險模型，求出的最優(yōu)分出損失函數(shù)的結(jié)論為：

對于VaR-最優(yōu)再保險模型有（i）在分出損失函數(shù)為增凸函數(shù)時，賠付率超賠再保險是最優(yōu)的；（ii）當分出及自留的損失函數(shù)的限制放寬，為增函數(shù)時，有上限的賠付率超賠再保險是最優(yōu)的；（iii）在一般的遞增和左連續(xù)的自留損失函數(shù)下，截斷的賠付率超賠再保險是最優(yōu)的。然而，CVaR-最優(yōu)再保險模型，賠付率超賠再保險總是最優(yōu)的。

5.結(jié)論

目前，對于風險度量方法來說，VaR和CVaR方法在各個性質(zhì)上均優(yōu)于傳統(tǒng)方差方法，已成為各個領(lǐng)域中非常流行的度量風險的方法。在數(shù)學(xué)意義上，CVaR體現(xiàn)的是一個條件期望，是大于VaR的極端損失的平均值，即當損失超過VaR值時，可能遭受的平均潛在損失的大小，體現(xiàn)了更好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，更直觀的對潛在的風險價值做出了估計。（作者單位：沈陽航空航天大學(xué)安全工程學(xué)院）

參考文獻：

[1] 李大鵬，古艷玲.風險度量研究綜述.上海：上海期貨交易所，2002

[2] Yichun Chi and Ken Shen Tan.Optimal Reinsurance under VaR and CVaR Risk Measures：A Simplied Approach，2010

[3] 田新民，黃海平.基于條件VaR（CVaR）的投資組合優(yōu)化模型及比較研究.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2004，34（7）：39-49