李恩佳

摘要：本文主要基于道梅爾—貝杰龍（Bergeron）算法的相關(guān)理論和數(shù)學(xué)模型，以理想的無損耗單導(dǎo)線線路為研究對象，利用相關(guān)集中參數(shù)元件的數(shù)學(xué)模型，將線路中的電感、電容變?yōu)橹话娮杓半娏髟吹牡戎惦娐罚罱K將分布參數(shù)線路和集中參數(shù)元件轉(zhuǎn)化為貝杰龍（Bergeron）等值電路。

關(guān)鍵詞：貝杰龍算法；雷電入侵波；變電站

一、前言

變電站是電力系統(tǒng)的核心部分，在電力系統(tǒng)中扮演著重要的角色，一旦發(fā)生雷電事故，輕則會使變電站中的重要設(shè)備受損，重則會造成大面積的停電事故。因此，變電站對防雷保護(hù)的要求必須十分可靠。本文主要研究雷擊輸電線路后產(chǎn)生的雷電波侵入變電站，對于雷擊輸電線路產(chǎn)生的雷電入侵波，通常的解決辦法是在電氣設(shè)備旁安裝閥型避雷器。但是，在實(shí)際工程中不可能實(shí)現(xiàn)在每個(gè)電氣設(shè)備旁都設(shè)置一組避雷器。那么，本文主要使用貝杰龍（Bergeron）算法，建立電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和等值電路，計(jì)算出網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓，從而能計(jì)算出在重要的節(jié)點(diǎn)處使用保護(hù)設(shè)備。

二、波過程概述

（一）、無損耗單導(dǎo)線線路中的波過程

實(shí)際的輸電線路采用三相交流或雙極直流輸電，導(dǎo)線和絕緣中分別存在電阻和電導(dǎo)，在電磁波傳播過程中還會產(chǎn)生能量損耗。所以，所謂的均勻無損單導(dǎo)線路實(shí)際上是不存在的。但為了更清晰的分析波過程的物理本質(zhì)和基本規(guī)律，暫時(shí)忽略線路電阻和電導(dǎo)損耗，假設(shè)線路各處參數(shù)均勻，便于理論上的分析研究。

1、電壓波和電流波的傳播

首先分析電壓波和電流波是怎樣在線路上傳播的。圖1為一條無限長的均勻無損的單導(dǎo)線，設(shè)在t=0時(shí)合閘于直流電壓源E，單位長度線路的電感、電容分別為L0、C0。

圖1波在均勻無損單導(dǎo)線上的傳播

隨著線路電容的充放電，將有電流流過導(dǎo)線的電感，即在導(dǎo)線周圍空間建立起磁場。因此，和電壓波相適應(yīng)，還有一電流波以同樣的速度沿x方向流動。

2、電壓波和電流波的數(shù)量關(guān)系

設(shè)向x方向傳播的電壓波和電流波，在開關(guān)合閘后t=時(shí)刻到達(dá)x=點(diǎn)。長度為的導(dǎo)線上的電容C0充電到u=E，獲得電荷C0u。這些電荷又是在時(shí)間內(nèi)，通過電流波i輸送過來的，因此：

C0u =i （2.1）

另一方面，這段導(dǎo)線上的總電感為L0，在同一時(shí)間內(nèi)，電流波i在導(dǎo)線周圍建立起磁鏈L0i，導(dǎo)線上的感應(yīng)電勢為：

由式（2.1）和（2.2），得到電壓波和電流波的關(guān)系為：

上式對于均勻無損線上的任一點(diǎn)都適用，它值是一個(gè)實(shí)數(shù)，具有電阻的量綱，稱為波阻抗，用Z表示：

其中： L0 =H/m，C0 = F/m。

（二）、波動方程

設(shè)單根均勻無損長線的參數(shù)L0、C0都是不變的常量。令x為線路首端到線路上某一點(diǎn)的距離，可以把長線看作是由許多無限小長度dx的線路單元電路串聯(lián)而成，每一線路單元具有電感L0dx和電容C0dx，如圖2所示。

圖2單根無損長線的單元等值電路

由圖2線路單元電路的回路電壓關(guān)系和節(jié)點(diǎn)電流關(guān)系可以

建立以下一階偏微分方程組：

由方程（2.6）對x再求導(dǎo)數(shù)，由方程（2.7）對t在求導(dǎo)數(shù)，然后消去i；并用類似的方法消去u；可以得以下二階偏微分方程：

這就是單根均勻無損長線的波動方程，屬于兩個(gè)自變量x和t的二階偏微分方程。

三、貝杰龍（Bergeron）算法分析變電所波過程

（一）、集中參數(shù)元件的Bergeron等值模型

利用梯形積分法可推導(dǎo)電感L 和電容C 的Bergeron 模型。電感L 的電壓、電流關(guān)系式是：

對上述兩邊在上積分， 并整理后得到：

（3.2）

將式（3.2）中的積分用梯形積分近似代替（用分別代表、t 時(shí)刻），即：

（3.3）

把式（3.2）中i 的下標(biāo)統(tǒng)一成k、k . 1 得：

= （3.4）

式（3.4）又可寫成： （3.5）

上式中：

同理可得到電容的Bergeron 模型：

（3.6）

式中

所以L 、C 都可以表示成一個(gè)電阻的等值電路。利用這個(gè)模型，可以避免求解L 、C 的微積分方程，使計(jì)算L 、C 能象計(jì)算電阻一樣簡單

（二）、無損耗傳輸線的Bergeron模型

如圖3的傳輸線km ，長為I，其電壓和電流分別為、、和。利用電力系統(tǒng)過電壓中傳輸線的行波理論，可得到無損耗傳輸線的Bergeron模型，結(jié)果如下：

（3.7）

圖3單根傳輸線的Bergeron 等值模型

（三）、Bergeron 算法的應(yīng)用

假設(shè)這里的網(wǎng)絡(luò)只包含電源e（s）、電感L 、電容C、電阻R 和傳輸長線，那么，Bergeron 法求解電路網(wǎng)絡(luò)的步驟如下：

1、用電路理論中的觀察法寫出網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)電壓方程組：

（3.8）

式中Y 為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，U（t）為需要求解的節(jié)點(diǎn)電壓， 為節(jié)點(diǎn)的實(shí)際電流源I（

2、用來回迭代法得到I（

對于電感： 其中為t時(shí)刻電感的等值計(jì)算電流源值，為時(shí)刻流過電感的電流， 為時(shí)刻此電感兩端的電壓，Bergeron 法的主要思想在于利用時(shí)刻t以前的已知量求得t時(shí)刻的未知量。

對于電容： 其中為t時(shí)刻電容的等值計(jì)算電流源值， 為 時(shí)刻流過電容的電流，為時(shí)刻此電容兩端的電壓。對于傳輸線， 根據(jù)上述模型， 有：

（3.9）

（3.10）

將式（3.10） 中的t代入式（3.9）得到

（3.11）、即為式

（3.8）中所需的I（

至此， 電感、電容和傳輸線的Bergeron 計(jì)算方法已經(jīng)順利地應(yīng)用于含電感、電容和傳輸線的電流網(wǎng)絡(luò)中，計(jì)算精度可以通過改變來調(diào)節(jié)，視實(shí)際要求而定。

四、小結(jié)

（一）、在電力系統(tǒng)的仿真計(jì)算中，電感、電容和傳輸線都可用Bergeron 等效模型來表示；

（二）、對迭代公式稍加變形，使電感、電容的計(jì)算更簡單；

（三）、計(jì)算精度可以根據(jù)實(shí)際要求，調(diào)節(jié)大小來達(dá)到。

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