呂淑君

【摘 要】不等式是高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到而解決起來(lái)又比較困難的問(wèn)題之一。本文通過(guò)高等數(shù)學(xué)的一些原理和方法，給出了不等式證明的幾種比較常用的方法。

【關(guān)鍵詞】不等式，證明方法

一、利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（b）-f（a）=f（ξ）（b-a ）。

例1.證明：x>0時(shí)，有x>ln（x+1）

證明：設(shè)f（x）=ln（x+1） ，顯然函數(shù)f（x） 在區(qū)間[0，x] 上滿足拉格朗日中值定理的條件，

根據(jù)定理的條件有：

f（x）-f（0）=f（ξ）（x-0 ），

其中0<ξ

由于f（0）=0，f（x）=，

則上式即為f（x）=，

又因?yàn)?<ξ

所以就有<ln（x+1）。

注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，關(guān)鍵是根據(jù)所給不等式，選取或構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)f（x）和區(qū)間（a，b），通過(guò)ξ的范圍，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f（x）確定f（ξ）和分式的范圍，從而得證。

二、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

函數(shù)單調(diào)性的判定定理：設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么：（1）如果f?（x）>0，則f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)增加；（2）f?（x）<0，則f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)減少。

例2.證明：x>0時(shí)，1+>

證明：令f（x）=，則f?（x）==，因?yàn)閒（x）在[0，+∞）上連續(xù)，在（0，+∞）內(nèi)f?（x）>0，因此f（x）在[0，+∞）上單調(diào)增加。從而當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>f（0）。由于f（0）=0，故f（x）>f（0）=0。即>0，亦即1+>。

注：運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，關(guān)鍵在于合理地利用題設(shè)條件，構(gòu)造出相應(yīng)的輔助函數(shù)f（x），將原問(wèn)題等價(jià)代換，根據(jù)導(dǎo)數(shù)f?（x）的符號(hào)判定函數(shù)f（x）在所給區(qū)間上的單調(diào)性，從而導(dǎo)出所證不等式。

三、利用函數(shù)的凹凸性證明不等式

函數(shù)凹凸性的定義：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，若對(duì)[a，b]中任意兩點(diǎn)x1，x2，恒有f（（x1+x2）/2）≥f（x1）+f（x2）/2，則稱f（x）在[a，b]上是凸函數(shù)；若恒有f（（x1+x2）/2）≤f（x1）+f（x2）/2，則稱f（x）在[a，b]上是凹函數(shù)。

函數(shù)凹凸性的判定定理：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間（a，b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果在區(qū)間（a，b）內(nèi)，（x）>0，那么曲線y=f（x）在[a，b]內(nèi)是凹的；（2）如果在區(qū)間（a，b）內(nèi)，（x）<0，那么曲線y=f（x）在[a，b]內(nèi)是凸的。

例3.證明：a>0，b>0且a≠b，n>1時(shí)，<

證明：令f（x）=xn，x?（0，+∞），則f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，當(dāng)n>1時(shí)，對(duì)任意的x?（0，+∞），都有>0。根據(jù)函數(shù)凹凸性判定定理，f（x）在（0，+∞）內(nèi)是凹的；由函數(shù)凹凸性定義，對(duì)任意的x，y?（0，+∞），且x≠y，有<，即。

注： 利用函數(shù)的凹凸性證明不等式，首要問(wèn)題是找到輔助函數(shù)f（x），然后判定函數(shù)f（x）在指定區(qū)間上的凹凸性，最后根據(jù)凹凸性定義，導(dǎo)出所要證明的不等式。

四、小 結(jié)

用高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)來(lái)證明不等式的方法比較多，除上述為大家介紹的幾種方法之外，還有用積分中值定理、函數(shù)的極值等有關(guān)知識(shí)，以及積分不等式、柯西施瓦茨不等式等已經(jīng)知道的重要不等式來(lái)證明不等式的方法?？偠灾?yàn)椴坏仁降念}型特殊，證明方法靈活多變，想要真正掌握不等式的證明，不但要有廣泛的數(shù)學(xué)知識(shí)和一定的方法技巧，而且要在學(xué)習(xí)實(shí)踐過(guò)程中多練習(xí)，多思考，多歸納。

參考文獻(xiàn)：

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[3]《數(shù)學(xué)分析》. 第二版.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等教育出版社，1983.7.