郭粉霞

【摘 要】“旋轉”作為圖形的三大運動之一，在初中數(shù)學第十一章圖形的運動中和平移、對稱兩種運動一起出現(xiàn)，學生在學那個章節(jié)包括老師在教那個章節(jié)時可能側重點在如何按照要求畫出相應的圖形上，或許會忽略對于三種運動的性質及其特點的學習或教學，所以會造成學生在后期學習過程中，尤其是在幾何證明時不太會巧用圖形運動的性質及特點，特別是“旋轉”運動的性質及特點來巧解相應的幾何問題。我發(fā)現(xiàn)，利用“旋轉”運動，能夠把條件集中化，使圖形中的各種關系明朗化，達到促進思維方法和解題能力的提高的目的。我總結了一下這類題目，發(fā)現(xiàn)這些題目和圖形的“旋轉”運動有些關聯(lián)，所以我對圖形的求解進行了一些研究。下面我主要通過幾道例題的求解，對兩類問題“角的求解和邊的求解”進行討論，這僅是我的心得體會，供大家參考。

【關鍵詞】“旋轉”運動；性質及特點；巧解；幾何問題

一、巧用“旋轉”的性質求角

根據(jù)旋轉的性質，我們知道對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的長度相等，對應角的大小相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變，在性質中“對應線段的長度相等，對應角的大小相等”，我們可以利用這個性質將要求的角轉換成求旋轉圖形的對應角，然而圖形在“旋轉”運動中，往往會產生特殊的圖形，我們再通過這些特殊的圖形來求對應角，進而求未知角，這樣問題就迎刃而解了。通過“旋轉”運動，可以將毫無思路的問題明朗化，有助于他們找到準確的解題思路或方向，達到事半功倍的作用。

我們一起來看這樣的一個例子：

如圖1，P為正方形ABCD內一點，且PA=1，PB=2，PC=3.求∠APB的度數(shù)。

分析：我們分析題目，發(fā)現(xiàn)題目所給的條件是邊長，而所要求的是角度，顯然，只有將這些邊長組合成特殊三角形（直角三角形或等腰三角形），通過特殊三角形的已知角來求未知角。要想構造特殊三角形，我們知道，通過“旋轉”運動可以得到，從而化未知角為已知角來解決問題。又因為所給的圖形是正方形，我們發(fā)現(xiàn)，正方形的邊長是相等的，旋轉時有一條對應邊正好與正方形的另一邊重合，形成了對應的圖形△CMB，從而可將求∠APB轉化成求對應角∠CMB。且在“旋轉”運動的過程中，構成了兩個特殊的三角形，即等腰直角△PBM、直角△PMC，正好∠CMB由∠BMP和∠PMC組成，把∠BMP和∠PMC放在△PBM和△PMC中看問題，我們的問題就可以巧妙的解決啦！具體解答過程如下：

解法一：因為四邊形ABCD為正方形，所以BA=BC，將△APB繞點B順時針方向旋轉90°，則點A與點C重合，設點P落到的位置為點M，得到△CMB，連接PM，由旋轉可知：

圖1

△APB≌△CMB.

∴∠3=∠1，∠CMB=∠APB.

MC=PA=1，MB=PB=2.

∵四邊形ABCD為正方形.

∴∠1+∠2=∠ABC=90°.

∴∠3+∠2=90°.

即△PMB為等腰直角三角形.

∴PM=，PB=2，∠BMP=45°

又在△PMC中，+=+12=8+1=9，=32=9.

∴+=，

∴∠PMC=90°.

∴∠CMB=∠PMC+∠BMP

=90°+45°=135°.

∴∠APB=135°.

答：∠APB的度數(shù)是135°。

解法二：同理，如圖2，我們將△PBC繞點B逆時針方向旋轉90°，則點C與點A重合，設點P落到的位置為點M，得到△AMB，連接PM，由旋轉可知：△BPC≌△BMA.此旋轉方法也可以解決同樣的問題。

圖2

二、巧用“旋轉”的性質求邊

（1）拓展探究：以上例題還可以進一步拓展，我們將條件和結論互換可以得到下面兩道題，將問題轉化成求邊的問題。問題如下：

問題一：如圖3，已知P為正方形ABCD內一點，PA=1，PB=2. 且∠APB=135°，求PC的長。

問題二：如圖3，已知P為正方形ABCD內一點，PB=2，PC=3. 且∠APB=135°，求PA的長。

圖3

分析：這兩道題的條件和結論之間同樣沒有明顯的內在聯(lián)系，讀完題目后，不知從哪里入手來解這樣的題。但是，如果我們記著第一題的解題方法，即巧用旋轉，將所給的條件往一起湊，湊成等腰直角三角形和直角三角形，這樣問題就迎刃而解了。（具體的解題方法是：將第二題的解題過程逆過來即可求得PC的長為3，PB的長為1。）

（2）改變條件。如果把條件稍微做些改變，對有些圖形仍然可以得到類似的結論。比如將正方形改成等邊三角形，運用同樣的方法——巧用“旋轉”運動，也可以解決問題。

請看下題：如圖4，已知P是等邊三角形ABC內一點，PA=2，PB=，PC=4

求△ABC的邊長

圖4 圖5 圖6

分析：這題咋看似乎沒有任何方向，但我們會發(fā)現(xiàn)2、、4是一組勾股數(shù)，如果能構造一個以PA、PB、PC的長度為三邊的直角三角形，那問題就可以得到解決了，這可能就是解決問題的突破口。顯然，如果我們想要出現(xiàn)相等的線段，構造出特殊的三角形，我們可以嘗試上述解題方法——巧用“旋轉”運動來解決問題。題目中已經有了等邊三角形，利用“旋轉”把或者繞著C點或B點順時針或逆時針旋轉60°，即可以得到邊重合，對應線段相等，同時還有一個新的等邊三角形出現(xiàn)，我們所希望得到的以PA、PB、PC的長度為三邊的直角三角形也隨之出現(xiàn)，如圖5、圖6所示，由此可見這種方法是多么的實用。

三、總結

其實這類題在構成上或是在解題思路上都是巧用了“旋轉”運動的性質及其特點，把未知的條件轉化成已知的特殊圖形，使條件集中化，這樣圖形中的各種關系就清晰可見了，這種方法往往會成為解題的突破口。通過“旋轉”運動的性質及其特點來幫助解題，不僅可以巧解學生眼中的難題，還可以促進思維方法和解題能力的提高，達到良好的效果。

“旋轉”的性質在幾何證明中不僅僅只有這些，它在其他方面也有比較廣泛的運用，本文只是結合教學過程中出現(xiàn)的一些問題，總結了一下自己的經驗與心得體會，目的更多的是提醒自己今后在教學中，不要僅僅把目光放在如何應付眼前的考試，只是教會學生如何畫圖是不夠的，還應該啟發(fā)學生們如何運用“旋轉”運動的知識來巧解幾何問題，熟練掌握圖形運動的性質和特點，發(fā)散學生的思維，提高他們思考問題的能力，培養(yǎng)他們對數(shù)學的興趣，為今后的學習做準備。

以上就是我對于“旋轉”在幾何問題中的作用的一些淺顯心得，望其他老師能加以指正。

參考文獻：

[1]烏依勤.《淺淡“旋轉”在幾何證明中的一些應用》.西南模范中學.