崔衛(wèi)磊(貴陽市測繪院,貴州貴陽 550002)

GPS水準(zhǔn)中三種曲面擬合模型的對比分析

崔衛(wèi)磊?
(貴陽市測繪院,貴州貴陽 550002)

摘 要:在詳細(xì)論述了GPS水準(zhǔn)中平面相關(guān)、曲面樣條、多面函數(shù)三種曲面擬合方法之上,編寫了GPS高程擬合系統(tǒng)軟件。最后利用四川省某地區(qū)的實(shí)測數(shù)據(jù),對以上幾種擬合方法進(jìn)行比較和分析,得到了一些有用的結(jié)論,對類似測量項(xiàng)目有一定的借鑒意義。

關(guān)鍵詞:GPS;水準(zhǔn);多面函數(shù);平面相關(guān);曲面樣條;對比分析

1　引 言

GPS是近些年發(fā)展起來的先進(jìn)導(dǎo)航定位技術(shù),但在使用GPS進(jìn)行控制測量時(shí)GPS的平面坐標(biāo)可以達(dá)到毫米級,而高程精度卻由于常常無法滿足施工的需要而只能采取其他方法獲取,這使得GPS測量技術(shù)的優(yōu)勢大打折扣。究其原因是GPS所測高程為以參考橢球面為基準(zhǔn)的大地高,傳統(tǒng)測量卻是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的正常高。因此尋求求解大地高于正常高之間的差異,即高程異常的方法就變得尤為重要。求解高程異常的方法有重力法、GPS水準(zhǔn)法、GPS三角高程方法、聯(lián)合平差法、轉(zhuǎn)換參數(shù)法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等方法。其中GPS水準(zhǔn)方法是普遍,也是最容易實(shí)現(xiàn)的采用的一種方法。

2　GPS水準(zhǔn)方法

GPS水準(zhǔn)方法是眼下正常高的求取中最常用的一種方法,具體做法為:利用測區(qū)內(nèi)已知高程異常的已知點(diǎn),采用比較適宜的模型對該測區(qū)的似大地水準(zhǔn)面進(jìn)行擬合,然后求出待定點(diǎn)的高程異常值,進(jìn)而確定整個(gè)測區(qū)的正常高。它的優(yōu)點(diǎn)是算法相對來講還算簡單,不受中、長波項(xiàng)及高程系統(tǒng)差異等的影響,無須地球重力場方面的專門知識或數(shù)據(jù)。缺點(diǎn)是在山區(qū)精度會嚴(yán)重受損。

目前,比較常用的GPS水準(zhǔn)方法除了繪等直線圖法以外主要分為曲線擬合法和曲面擬合法。曲線擬合法主要有,多項(xiàng)式曲線、三次樣條曲線、阿克瑪法等方法。曲面擬合法有相關(guān)平面、斜平面、多項(xiàng)式曲面、多面函數(shù)、曲面樣條、移動(dòng)曲面等。本文將詳細(xì)論述相關(guān)平面法,多面函數(shù)法以及曲面樣條擬合法,并應(yīng)用實(shí)測數(shù)據(jù)對這三種方法進(jìn)行對比分析。

2.1平面相關(guān)擬合法

這種擬合法也稱為四參數(shù)曲面擬合法?；颈磉_(dá)式為:

f(x,y)= a0+a1x+a2y+a3xy

此方程式的關(guān)鍵就是求未知參數(shù)ai(i = 0,1,2, 3),所需公共點(diǎn)最少為4個(gè)。此方法的適用條件為:地形起伏不大的地區(qū),這些地區(qū)的似大地水準(zhǔn)面非常的緩和,大致可以用一個(gè)平面表示。

2.2曲面樣條擬合法

曲面樣條擬合法與其他擬合法相比,具有以下優(yōu)點(diǎn):就用于曲面樣條函數(shù)擬合的原始數(shù)據(jù)而言,它們不必按規(guī)則排列;采取自然邊界條件而不需邊界導(dǎo)數(shù)的信息,就可以得到任意階可微的光滑曲面:擬合后的光滑曲面通過每個(gè)已知原始數(shù)據(jù)點(diǎn);用于曲面擬合的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)≥3即可。下面介紹曲面樣條函數(shù)的原理。

曲面樣條擬合法是基于無限大平板小撓度方程的數(shù)學(xué)模型,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y存在如下樣條關(guān)系:

式中:

xi,yi為已知點(diǎn)的坐標(biāo),x、y為未知點(diǎn)的平面坐標(biāo)。式(2)中,δ為平滑因子,一般取值為1。

由式(1)可知,當(dāng)有m個(gè)已知的GPS水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)時(shí),則有m+3個(gè)未知參數(shù),即(α1,α2,α3,F1,F2,…, Fm),而方程的個(gè)數(shù)也為m+3個(gè),因此求解此方程組求出這些參數(shù)。當(dāng)GPS水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)有n個(gè)時(shí),n＞m,可按最小二乘法求解這出這m+3個(gè)未知數(shù),進(jìn)而求出所有待定點(diǎn)的高程異常值。

對于式(1)的求解,最少要知道3個(gè)已知點(diǎn)。

2.3多面函數(shù)法

在用平面擬合法對測區(qū)進(jìn)行擬合時(shí),測區(qū)地形不能有太大的起伏,而且測區(qū)面積不能太大。如果想要得到精度較高的結(jié)果,除上述條件以外,還要求公共點(diǎn)分布均勻。一旦測區(qū)比增大,如果僅僅采用平面擬合法,效果就很不好。如果拿二次曲面和平面擬合法進(jìn)行比較的話,二次曲面所得結(jié)果要比平面擬合法精度要高,但它也存在弊端。二次曲面為單峰曲面,無法描述整個(gè)測區(qū)。如果此時(shí)用多于兩次的曲面擬合法進(jìn)行擬合,則一方面需要更多的公共點(diǎn),另一方面,曲面也容易發(fā)生抖動(dòng),其結(jié)果精度也不是很高。特別是當(dāng)遇到帶狀分布,且跨區(qū)較長時(shí),如果單純地用一個(gè)面來表示,效果就很不好。此時(shí),就可以考慮另外一種擬合方法,多面函數(shù)法。

1971年,美國的Hardy教授提出了多面函數(shù)擬合法。1976年,多面函數(shù)擬合法在測量領(lǐng)域開始逐步推廣,多面函數(shù)最初的提出,是為了解決由數(shù)據(jù)點(diǎn)組成的數(shù)學(xué)曲面這方面的難題。它的基本思想為“任何一個(gè)圓滑的數(shù)學(xué)表面總是可以用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和,以任意的精度逼近”。具體步驟為,將每一個(gè)未知點(diǎn),與全部的已知點(diǎn)分別建立函數(shù)關(guān)系,最終處理和疊加多面函數(shù)的值,將未知點(diǎn)給求出來。

設(shè)待定參數(shù)為βj;平面坐標(biāo)的核函數(shù)設(shè)為F(x,y, xj,yj);多面函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式如下:

常用的F(x,y,xj,yj)的函數(shù)式為:

上式中,δ2通常被稱為光滑因子,它的取值為任意常數(shù);k的取值有多種,通常k為±1/2。當(dāng)k為1/2時(shí)為正雙曲面函數(shù),k=-1/2時(shí)為倒雙曲面函數(shù)。

設(shè)有n個(gè)已知點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n),選其中m (m≤n)個(gè)點(diǎn)(xj,yj)(j=1,2,…,m)為核函數(shù)的核心,并令Qij=F(xi,yi,xj,yj),則式(3)轉(zhuǎn)變?yōu)?

由此可列誤差方程式:

表示成向量的形式:

在最小二乘法的原則下,可求得:

從而求出多面函數(shù)的方程式。

多面函數(shù)法進(jìn)行曲面擬合時(shí),以下幾個(gè)問題是難點(diǎn):

(1)選用什么樣的核函數(shù)。它是非常重要的,直接關(guān)系著最終結(jié)果的好和壞。通常情況下,都是取正雙曲面函數(shù),函數(shù)式如下:

F(x,y,xj,yj)= [(x-xj)2+(y-yj)2+δ2]1/2

(2)光滑因子的確定也是一個(gè)難點(diǎn),它沒有理論指導(dǎo),只能不斷進(jìn)行嘗試和改進(jìn)。而由文獻(xiàn)[4][8],光滑因子可以做如下嘗試:

設(shè)x、y為已知點(diǎn)坐標(biāo),xi、yi為未知點(diǎn)的坐標(biāo),則任意兩者之間的距離為:

dij=[(x-xi)2+(y-yi)2]

設(shè)已知點(diǎn)數(shù)據(jù)集為A,未知點(diǎn)的集合為B,兩者之間距離的平方的集合為dij(A,B),則取δ=max{dij(A, B)}或更大時(shí),一般都能夠取得比較好的精度。

(3)如何選擇核心點(diǎn)。多面函數(shù)的核心點(diǎn)有一定的要求,必須要高程異常顯著,如測區(qū)的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn),或者是坡度變化處。

多而函數(shù)擬合法理論是非常嚴(yán)密的,但是具體實(shí)踐起來卻有一定的難度。

3　三種曲面擬合模型的對比分析

為了對GPS水準(zhǔn)中三種曲面擬合模型進(jìn)行分析,本文利用VB,并結(jié)合Matrix VB控件編制了GPS高程擬合系統(tǒng)軟件。本軟件主要的模塊分為讀入起算點(diǎn)、讀入待擬合點(diǎn)、選擇檢核點(diǎn)、計(jì)算四部分。計(jì)算后文件小,操作方便。其中讀入起算點(diǎn)是將所有已知點(diǎn)都要輸入,而讀入待擬合點(diǎn)是將需要進(jìn)行擬合的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行輸入。選擇檢核點(diǎn),是對擬合點(diǎn)和檢核點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分的階段。如圖1、圖2所示:

圖1　高程擬合系統(tǒng)主界面

圖2　高程擬合計(jì)算結(jié)果圖

3.1數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)來源于四川省成都市下轄某地區(qū)控制網(wǎng)數(shù)據(jù)的一部分。該地區(qū)為成都市東部主城區(qū),交通便利。所選的整個(gè)測區(qū)呈面狀分布,暫將該地區(qū)命名為A測區(qū),測區(qū)長約25 km,寬約8 km,總面積有160.4 km2,海拔在500 m左右,地勢起伏不大,高差在50 m左右。整個(gè)測區(qū)共布設(shè)D級GPS控制點(diǎn)30個(gè),并且全部用三等水準(zhǔn)進(jìn)行聯(lián)測。每點(diǎn)的間距在6 km左右。

3.2方案1對比分析

方案1:以整個(gè)A測區(qū)為研究對象均勻選取12個(gè)控制點(diǎn)參加擬合,剩下的18個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn),分布圖如圖3所示,擬合點(diǎn)之間的點(diǎn)位間距平均在6 km左右。分別采用平面相關(guān)擬合法、多面函數(shù)法、曲面樣條擬合法對測區(qū)控制點(diǎn)進(jìn)行擬合。

圖3　方案1擬合點(diǎn)分布圖

經(jīng)過擬合,18個(gè)檢核點(diǎn)采用三種擬合方法所得的擬合結(jié)果的殘差圖如圖4所示,各個(gè)檢核點(diǎn)的殘差結(jié)果如表1所示。

圖4　方案1檢核點(diǎn)殘差圖(單位/ m)

方案1檢核點(diǎn)殘差表 表1

由表1及圖4可以看出:多面函數(shù)擬合法和曲面樣條擬合法擬合精度比較高,平面相關(guān)擬合法精度比較低,三者中多面函數(shù)的精度最高。說明在地勢比較起伏不大的地區(qū), 160 km2以下的區(qū)域,只要控制點(diǎn)分布均勻合理,多面函數(shù)和曲面樣條都可以滿足精度要求,但平面相關(guān)擬合法在面積比較大的情況之下,所受影響比較大。

但是平面相關(guān)擬合法相比另外兩種擬合方法來說,建模比較簡單,程序更容易實(shí)現(xiàn)。因此做出以下探討?？s小測區(qū)的范圍,分別采用多面函數(shù)和平面相關(guān)進(jìn)行擬合。

3.3方案2對比分析

方案2:從整個(gè)測區(qū)中選出一部分,命名為B測區(qū),總體面積約有80 km2,所選測區(qū)總共30個(gè)點(diǎn),選擇7個(gè)進(jìn)行擬合,其余23個(gè)進(jìn)行檢測,分布圖如圖5,采用平面相關(guān)法和多面函數(shù)法進(jìn)行擬合。擬合結(jié)果的殘差圖如圖6所示,各檢核點(diǎn)的殘差如表2所示。

由表2及圖6可以看出:隨著面積的減小(實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)由160 km2變?yōu)?0 km2,密度保持基本不變),平面相關(guān)擬合的精度有了很大提高(大部分小于0.4 cm),跟多面函數(shù)擬合出來的結(jié)果相差不是特別的大。因此可以說在精度要求不太高的測繪項(xiàng)目之中,在與實(shí)驗(yàn)地形條件類似的情況下,這種擬合方式可以應(yīng)用。

圖5　方案2擬合點(diǎn)分布圖

方案2檢測點(diǎn)殘差表 表2

圖6　方案2檢測點(diǎn)殘差圖(單位/ m)

4　結(jié) 論

在測區(qū)起伏不大,且面積較小時(shí),多面函數(shù)、平面相關(guān)法都能夠達(dá)到比較好的擬合結(jié)果。但是隨著測區(qū)面積的增大,平面相關(guān)擬合法效果要遠(yuǎn)低于多面函數(shù)和曲面樣條擬合法,甚至達(dá)不到精度要求。對三種曲面擬合方法來講,面積是一個(gè)比較重要的因素。但是面積對平面相關(guān)擬合法的影響要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對多面函數(shù)和曲面樣條擬合法的影響。

進(jìn)行高程擬合時(shí),如果能夠選用合適的擬合模型,就能夠達(dá)到滿足施工需求的精度。但是這種高程點(diǎn)能夠用于一般的施工控制測量,但是不能用于高等級的控制點(diǎn)。另外,在高程擬合的時(shí)候,為了便于發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,可以將擬合數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)互相檢查。

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Comparison and Analysis on Three Kinds of Curved Surface Fitting Model of GPS Leveling

Cui Weilei
(Guiyang Surveying and Mapping Institute,Guiyang 550002,China)

Abstract:This paper discussed in detail three kinds of surface fitting method,that was plane related,surface spline, polyhedral function of GPS leveling,And then edited the software of GPS elevation fitting system.Finally,it used the actual data of a region of Sichuan Province by close comparison and analytic study obtaining some useful conclusions,what had some reference significance to similar measurement project.

Key words:GPS;leveling;plane related;surface spline;polyhedral function;comparative analysis

文章編號:1672-8262(2015)01-85-04中圖分類號:P228

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

收稿日期:?2014—10—12

作者簡介:崔衛(wèi)磊(1985—),男,碩士,主要從事測繪技術(shù)工作。