丁黎明,趙 冬

(淮北職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部, 安徽淮北235000)

數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推廣能力的探討

丁黎明,趙 冬

(淮北職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部, 安徽淮北235000)

介紹數(shù)學(xué)推廣的概念,分析數(shù)學(xué)推廣在概念、公式及定理中的應(yīng)用形式,結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)例,根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容從不同的角度提出數(shù)學(xué)推廣的思想方法,探討培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推廣問(wèn)題能力的途徑,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

數(shù)學(xué)推廣; 應(yīng)用類型; 思想方法; 數(shù)學(xué)創(chuàng)新

一、引言

數(shù)學(xué)推廣是指在一定范圍內(nèi)或一定層次上對(duì)數(shù)學(xué)的概念、公式、定理、法則等進(jìn)行拓展,使之在更大范圍內(nèi)或更高層次上成立,也指對(duì)條件、結(jié)論進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析后,作適當(dāng)變化,得到新的命題為真。推廣是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的基本方法,也是人們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要工具。在數(shù)學(xué)研究中,許多概念的建立都是通過(guò)推廣現(xiàn)有概念而得到的,許多重要公式、定理和法則也是通過(guò)對(duì)已知命題的推廣而被發(fā)現(xiàn)的。

對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的目的,僅要求學(xué)生掌握基本理論知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,要想讓學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中終生受益,就需要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取知識(shí)的能力,在教學(xué)中就要有意識(shí)地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的推廣能力。隨著人們對(duì)數(shù)學(xué)教育認(rèn)識(shí)的不斷深入,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和探索解決問(wèn)題的能力,在很大程度上取決于培養(yǎng)學(xué)生推廣問(wèn)題的能力。

二、在數(shù)學(xué)教學(xué)中貫穿各種應(yīng)用類型的推廣形式

數(shù)學(xué)的發(fā)展突飛猛進(jìn),數(shù)學(xué)的分支愈來(lái)愈多,數(shù)學(xué)的應(yīng)用日益廣泛,這些都是數(shù)學(xué)家們善于從生產(chǎn)實(shí)踐和數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾中不斷地提出問(wèn)題和推廣問(wèn)題,促進(jìn)數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的結(jié)果。在數(shù)學(xué)教材中有很多概念、公式和定理都涉及到推廣,并且有些推廣公式或推廣定理的使用甚至比原公式或原定理的使用更廣泛。

(一)概念的推廣

對(duì)于函數(shù)的概念,按照自變量的個(gè)數(shù),只含有一個(gè)變量的稱為一元函數(shù);含有兩個(gè)變量的稱為二元函數(shù);依次推廣到含有n個(gè)(n≥3)變量的稱為n元函數(shù)。再比如高階導(dǎo)數(shù)的概念,函數(shù)的一次求導(dǎo)稱為一階導(dǎo)數(shù);一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù);依次推廣到(n≥3)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù)。在概念中使用推廣的方法直觀、形象,便于學(xué)生理解掌握。

(二)公式的推廣

(三)定理的推廣

費(fèi)馬大定理是一個(gè)舉世聞名的例子,畢達(dá)哥拉斯方程x2+y2=z2的整數(shù)解存在,在此基礎(chǔ)上,法國(guó)的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬將畢達(dá)哥拉斯方程中的2次冪推廣到正整數(shù)n,當(dāng)n≥3時(shí),相應(yīng)的方程xn+yn=zn有沒(méi)有正整數(shù)解?以后的幾百年來(lái),吸引了許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家去研究并采用多種方法試圖去證明這個(gè)定理。

后人也有這樣的類似推廣:x3+y3+z3=u3是否有整數(shù)解?xn+yn+zn=un是否有整數(shù)解?

x4+y4+z4+u4=v4是否有整數(shù)解?xn+yn+zn+un=vn是否有整數(shù)解?

以此類推,可見(jiàn),數(shù)學(xué)家們總是不斷地提出和推廣問(wèn)題,其中也會(huì)有解決不了的問(wèn)題,從而推動(dòng)著數(shù)學(xué)的向前發(fā)展。

三、數(shù)學(xué)推廣問(wèn)題的產(chǎn)生

(一)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的產(chǎn)生

人們?cè)谏a(chǎn)和社會(huì)實(shí)踐中,經(jīng)常會(huì)面臨各種各樣的實(shí)際問(wèn)題,對(duì)于這些實(shí)際問(wèn)題中存在的數(shù)量關(guān)系和空間形式提取出來(lái),進(jìn)行深入分析研究,就會(huì)從中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,進(jìn)而推廣問(wèn)題。

(二)自然科學(xué)發(fā)展的刺激

自然科學(xué)與數(shù)學(xué)之間存在一種相互影響、彼此促進(jìn)的親密關(guān)系。一方面,數(shù)學(xué)為自然科學(xué)的發(fā)展提供定量描述、計(jì)算的工具;另一方面,自然科學(xué)則不斷地向數(shù)學(xué)提出大量富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題,由于要解決自然科學(xué)提出的大量數(shù)學(xué)問(wèn)題,進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)自身的發(fā)展。

(三)數(shù)學(xué)內(nèi)部自身的需要

數(shù)學(xué)發(fā)展有其相對(duì)的獨(dú)立性,尤其是當(dāng)一門(mén)數(shù)學(xué)分支學(xué)科形成理論體系之后,為求得自身體系的完善發(fā)展,它就開(kāi)始不斷地向自身提出各種各樣新的問(wèn)題,進(jìn)而推廣問(wèn)題,激勵(lì)著數(shù)學(xué)家們?yōu)樨S富、完善該理論體系而不斷作出創(chuàng)造。

四、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推廣問(wèn)題能力的途徑

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生推廣問(wèn)題的能力是必要的,也是可行的。結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況,對(duì)概念、公式、定理和問(wèn)題應(yīng)當(dāng)從不同的角度和方向引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和適當(dāng)進(jìn)行推廣,這對(duì)激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力會(huì)有很大幫助。

(一)用推廣問(wèn)題學(xué)習(xí)新知識(shí)

兩個(gè)函數(shù)積的求導(dǎo)法則:兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)與第二個(gè)因子的乘積,加上第一個(gè)因子與第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)的乘積。

引理[1-2]:如果函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點(diǎn)x處都可導(dǎo),則函數(shù)f(x)=u(x)v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),且fˊ(x)=uˊ(x)v(x)+u(x)vˊ(x),簡(jiǎn)記為(uv)ˊ=uˊv+uvˊ。

對(duì)于積的求導(dǎo)法則也可以推廣到任意有限個(gè)函數(shù)之積的情形。例如,三個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)(uvw)ˊ=uˊvw+uvˊw+uvwˊ,四個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)(uvwh)ˊ=uˊvwh+uvˊwh+uvwˊh+ uvwhˊ,依次推廣n個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)(x1x2…xn)ˊ=x1ˊx2…xn+x1x2ˊ…xn+…x1x2xnˊ,于是可得n個(gè)函數(shù)積的求導(dǎo)法則:n個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)與其余n-1個(gè)因子的乘積,加上第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)與其余n-1個(gè)因子的乘積,依次加上第n個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)與其余n-1個(gè)因子的乘積(含n項(xiàng)乘積之和)。

(二)用推廣問(wèn)題探究數(shù)學(xué)規(guī)律

閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定存在最大值和最小值,即引理[1-2]:若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)f(x)在[a,b]一定存在最大值和最小值。

在教學(xué)中可以這樣推廣問(wèn)題,啟發(fā)學(xué)生,探究數(shù)學(xué)規(guī)律:當(dāng)函數(shù)f(x)在半開(kāi)區(qū)間[a,b)或(a,b]上連續(xù),則函數(shù)f(x)的最大值和最小值是否存在?

當(dāng)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)上連續(xù),則函數(shù)f(x)的最大值和最小值是否存在?

推廣1:若函數(shù)f(x)在半開(kāi)區(qū)間[a,b)上連續(xù),且在(a,b)內(nèi)fˊ(x)＞0(或fˊ(x)＜0),則函數(shù)f(x)在[a,b)上一定有最小值(或最大值)。

證明:由于在(a,b)內(nèi)fˊ(x)＞0,則函數(shù)f(x)在[a,b)上單調(diào)增加,不妨設(shè)f(a)=A,從而對(duì)?x∈(a,b),都有f(x)＞f(a)=A。因此,函數(shù)f(x)在[a,b)上一定有最小值。

同理可證:函數(shù)f(x)在半開(kāi)區(qū)間[a,b)上連續(xù),且在(a,b)內(nèi)fˊ(x)＜0,則函數(shù)f(x)在[a,b)上一定有最大值。

推廣2:若函數(shù)f(x)在半開(kāi)區(qū)間(a,b]上連續(xù),且在(a,b)內(nèi)fˊ(x)＞0(或fˊ(x)＜0),則函數(shù)f(x)在(a,b]上一定有最大值(或最小值)。證明:同推廣1。

(三)用推廣問(wèn)題幫助解題

五、結(jié)論

數(shù)學(xué)推廣是高校數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺少的重要內(nèi)容之一,也是高校教師綜合教學(xué)能力的體現(xiàn).在高校數(shù)學(xué)教學(xué)中,用數(shù)學(xué)推廣的思想方法啟發(fā)學(xué)生去大膽探索,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神,培養(yǎng)學(xué)生初步掌握數(shù)學(xué)推廣問(wèn)題的研究能力,是高校數(shù)學(xué)教師義不容辭的責(zé)任。

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè)):第4版[M].北京:高等教育出版社,1996.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè)):第2版[M].北京:高等教育出版社,1998.

[3] 朱彩蘭.關(guān)于開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)最值的判定[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010(5):43.

[4] 顧泠沅,朱成杰.數(shù)學(xué)思想方法[M].北京:中央廣播電視大學(xué)出版社,2004.

On Cultivation of the Generalization Ability for Students in Mathematics Teaching

DING Li-ming,ZHAO Dong
(Department of Basic Courses of Huaibei Professional&Technical College, Huaibei Anhui 235000)

This paper introduces the concept of mathematics generalization,analyzes the application of mathematics generalization in concept,formula and theorem,combined with specific examples of teaching, and then puts forward the idea of mathematics generalization from a different point of view according to the mathematical content.Finally it explores the ways of cultivating the ability for students of mathematics generalization problems,which can cultivate the innovation spirit for students.

Maths generalization; application type; thought methods; Maths innovation

G712;O13

A

1671-4733(2015)01-0084-04

10.3969/j.issn.1671-4733.2015.01.025

文獻(xiàn)類型和標(biāo)志代碼

文獻(xiàn)類型電子公告標(biāo)志代碼普通圖書(shū)會(huì)議錄匯編報(bào)紙期刊學(xué)位論文報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)專利數(shù)據(jù)庫(kù)計(jì)算機(jī)程序M C G N J D R S P DB CP EB

2015-02-26

丁黎明(1969-),女,安徽淮北人,碩士,副教授,從事高等數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作,電話:0561-3111473。