廖洪清 陳 豪 劉貴文 曹云玖

（上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，上海 201620）

超穩(wěn)腔在科學(xué)研究和實(shí)際工程中都有廣泛應(yīng)用，例如穩(wěn)頻激光器[1]、標(biāo)準(zhǔn)光學(xué)頻率的測量[2]、重力波檢測[3]和基本物理量的測量[4].每個(gè)腔都有相應(yīng)的共振頻率，該頻率由光程決定，腔長不變化光程也就確定了，通常光學(xué)腔的腔體是用低熱膨脹的材料制成，外界的振動(dòng)、溫度以及壓力等因素都會(huì)引起腔體的形變，使得腔鏡之間的光程發(fā)生改變，腔的共振頻率也就發(fā)生改變[5].由腔長變化與頻率變化的關(guān)系可知，式中L是腔長；ΔL是腔長變化量，ν是腔的共振中心頻率；Δν是腔長變化引起的頻率漂移，波長為1064nm的激光頻率，要使得中心頻率漂移小于10MHz，腔長變化率至少要達(dá)到10-7.球形光學(xué)腔具有高度對(duì)稱性以及方便的移動(dòng)性能，得到廣泛的應(yīng)用.通過有限元數(shù)值分析模擬的方法對(duì)光學(xué)腔進(jìn)行模擬使其光程對(duì)振動(dòng)不敏感，可以得到穩(wěn)定的頻率輸出.這樣不僅可以彌補(bǔ)振動(dòng)隔離系統(tǒng)技術(shù)上的困難，而且能夠有效地降低成本.文章采用有限元數(shù)值模擬的方法，對(duì)球形腔由于重力等因素引起的彈性形變進(jìn)行分析，優(yōu)化腔體的支撐位置，補(bǔ)償由于外界環(huán)境引起的光程差，使得光程變化達(dá)到最小.

1 有限元理論方法

當(dāng)彈性物體受到作用發(fā)生形變，物體上的任意兩點(diǎn)A（x，y，z）和B位置隨之發(fā)生改變，用A′（x′，y′，z′）和B′表示，如圖1所示.物體上任意一點(diǎn)在形變前后的形變位移可以用形變前后的坐標(biāo)相減得到.例如x與x′分別表示物體上A點(diǎn)形變前后x軸的坐標(biāo)，x軸方向上位移大小可表示為Δx＝x′-x，同理y軸方向位移大小表示為Δy＝y(tǒng)′-y，z軸方向位移大小表示為Δz＝z′-z.通過分析形變前后位移變化能夠得到物體受到作用后的形變大小.

圖1 物體彈性形變圖

光學(xué)腔體在外界作用下發(fā)生形變，可看成彈性物體處理.通常外界的作用主要是振動(dòng)的影響，在振動(dòng)影響分析中，主要分析較低頻率振動(dòng)的作用，因?yàn)楦哳l振動(dòng)可通過常見的隔振裝置來消除，而低頻振動(dòng)很困難.當(dāng)外加的振動(dòng)頻率遠(yuǎn)低于腔的共振頻率時(shí)，這個(gè)作用可以等效看成一個(gè)靜力施加在腔體上，這樣就可以把復(fù)雜的動(dòng)態(tài)分析簡化成簡單的靜態(tài)分析，振動(dòng)引起的加速度可以用作用在腔體上的重力加速度等效替代[6].為了探測球形腔形變對(duì)光程差的影響，在兩邊的腔鏡上取過腔鏡中心且互相垂直的兩條直徑，并分別在直徑上取關(guān)于中心對(duì)稱的點(diǎn)作為探測點(diǎn)，通過探測點(diǎn)之間的位移可以描述腔體的光程變化.

2 球形腔的結(jié)構(gòu)

球形腔結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，腔體半徑為10cm，通光孔半徑1.5cm，腔長19.596cm，鏡片半徑2cm.在鏡片上選取直徑線1、2和直徑線3、4，在每條線上對(duì)稱地選取5個(gè)點(diǎn)作為探測點(diǎn)，對(duì)應(yīng)探測點(diǎn)之間距離變化，即為形變前后的光程差.為了盡量減小溫度的影響，腔體通常用低膨脹材料制成.本文球形腔體采用超低膨脹玻璃材料（ule）材料，密度ρ＝2.21×103kg／m3，楊氏模量E＝6.67×1010N／m2，泊松比ν＝0.17.

圖2 球形腔的結(jié)構(gòu)示意圖

3 數(shù)值模擬分析

對(duì)于球形腔，有多種支撐方式，此處采用水平支撐方式，即在腔體下方開一凹槽，以此作為支撐面.兩凹槽處于同一水平位置，關(guān)于xOy面對(duì)稱，通過調(diào)節(jié)凹槽的位置來彌補(bǔ)振動(dòng)造成的光程變化.取凹槽寬1cm，水平方向上凹槽內(nèi)側(cè)距球心為z，如圖3（a）所示，圖3（b）為z＝2cm的腔體在豎直向下的方向加上大小為9.8m／s2的加速度下的變形圖.

凹槽寬度不變，取1cm，改變凹槽位置z，經(jīng)過有限元模擬計(jì)算，光程變化量與支撐位置有關(guān).當(dāng)腔體受到外界環(huán)境影響時(shí)，探測點(diǎn)會(huì)發(fā)生相應(yīng)的位移，導(dǎo)致光程L也發(fā)生變化，ΔL＝z1-z2（z1為z軸正半軸處鏡面中心處z坐標(biāo)，z2為z軸負(fù)半軸處鏡面中心處z坐標(biāo)）.通過模擬不同支撐位置處探測點(diǎn)的位移，得到相應(yīng)的ΔL，如圖4所示.從圖4看出，隨z的變化，ΔL也發(fā)生相應(yīng)變化.由此可見，通過改變腔的支撐位置，能夠改變球形腔對(duì)振動(dòng)敏感的敏感度.對(duì)于本文所采用的球形腔來說，在z＝7cm左右時(shí)光程變化達(dá)到最小，即此時(shí)該腔體對(duì)振動(dòng)的敏感度最低.

圖3 球形腔支撐方式

圖4 不同支撐位置處光程變化

為了研究其形變規(guī)律，取z＝6cm、z＝7cm、z＝8cm時(shí)的模擬結(jié)果作探測點(diǎn)位移圖，如圖5所示.其中（a）圖為水平x軸方向探測點(diǎn)位移圖，（b）圖為豎直y軸方向探測點(diǎn)位移圖.

圖5 探測點(diǎn)位移圖

由圖5可以看到，兩腔鏡水平方向（x軸）與豎直方向（y軸）的平行度隨支撐位置z變化而變化.圖5（a）反映了支撐位置變化，x軸方向上對(duì)應(yīng)探測點(diǎn)位移隨支撐位置變化關(guān)系，可以看到，當(dāng)z增大時(shí)，水平x軸方向各對(duì)應(yīng)探測點(diǎn)位移改變.因?yàn)閤軸方向腔體結(jié)構(gòu)和所受y方向上施加的作用是關(guān)于y軸兩邊對(duì)稱的，所以腔鏡x軸方向上兩邊關(guān)于y軸對(duì)稱的各組探測點(diǎn)的形變量是相等的，所以兩腔鏡在x軸方向平行度基本沒有變化，但是腔鏡中心點(diǎn)光程會(huì)隨位置變化，在支撐位置z＝7cm時(shí)光程變化量最小，支撐位置增大和減小光程變化量都增加.圖5（b）反映了隨著支撐位置變化，腔鏡y軸方向上對(duì)應(yīng)探測點(diǎn)位移隨支撐位置變化關(guān)系，當(dāng)z＝6cm時(shí)，兩腔鏡在豎直方向呈現(xiàn)上凹下凸形狀，當(dāng)z＝8cm時(shí)，豎直方向兩腔鏡呈現(xiàn)下凹上凸形狀，當(dāng)z＝7cm時(shí)，兩鏡在豎直方向基本保持平行.因此，考慮兩腔鏡之間光程改變以及平行度的變化，當(dāng)z＝7cm時(shí)，其光程變化量最小且平行度良好，所以z＝7cm為該種腔體的實(shí)際最優(yōu)支撐位置.在z＝7cm時(shí)，單位加速度下光程變化量為ΔL＝14.527×10-8m，腔長變化率ΔL／L為7.413×10-7.

4 結(jié)語

本文利用有限元的方法，對(duì)水平支撐球形腔進(jìn)行了模擬研究，對(duì)該水平支撐方式的支撐位置進(jìn)行優(yōu)化選取，可以使得球形腔在外界振動(dòng)下兩端腔鏡保持平行且光程變化趨于最小，使得球形腔的光程對(duì)振動(dòng)不敏感.該方法可用于高穩(wěn)腔的設(shè)計(jì)，以此減小環(huán)境振動(dòng)變化對(duì)腔體的影響.

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