柯常青 丁益民

（湖北大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062）

1 問(wèn)題的提出

解薛定諤方程能很容易地得出這樣一個(gè)結(jié)論：當(dāng)粒子透過(guò)勢(shì)壘時(shí)，其透射系數(shù)與勢(shì)壘寬度、粒子能量E和勢(shì)壘高度U存在著一定的比例關(guān)系.若粒子能量與勢(shì)壘高度保持恒定，粒子穿過(guò)勢(shì)壘時(shí)對(duì)同樣寬度的勢(shì)壘進(jìn)行兩種透射方式：直接透射和n重依次透射（即讓粒子直接透射寬度為n＊a的勢(shì)壘和讓粒子依次透射n個(gè)寬度均為a的勢(shì)壘）.那么在這兩種方式下透射系數(shù)有怎樣的差別呢？

2 問(wèn)題的分析

對(duì)于以上兩種方式下勢(shì)壘貫穿透射系數(shù)的研究用常規(guī)的解析方法比較復(fù)雜，且隨著透射重?cái)?shù)n的增加計(jì)算的復(fù)雜程度會(huì)很明顯地加大，這就使得到的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)明顯的偏差，不方便對(duì)最后結(jié)果的比較，為此我們采用Matlab來(lái)模擬.

從Matlab模擬出的透射圖形中可以通過(guò)直觀地對(duì)比得出單重勢(shì)壘貫穿和多重勢(shì)壘貫穿的規(guī)律.

由勢(shì)壘透射系數(shù)D的公式[1]：

可知：（1）當(dāng)E＞U時(shí)，若滿足k2a＝nπ，則D＝1，此時(shí)入射波完全透射，稱為共振透射.（2）透射波的振幅在勢(shì)壘中的衰減并不是線性的，即透射波振幅隨勢(shì)壘寬度的增大呈非線性關(guān)系，由此容易看出直接透射和n重透射的透射系數(shù)一般情況下并不相同，用數(shù)學(xué)解析的方法很難比較兩種透射方式的透射系數(shù)，而用 Matlab則很容易解決.

3 原理與實(shí)現(xiàn)

我們知道，在研究勢(shì)壘貫穿透射系數(shù)時(shí)，粒子能量與勢(shì)壘高度的關(guān)系可分為以下兩種情況：

（1）粒子能量高于勢(shì)壘高度

先設(shè)定入射波函數(shù)的振幅為1，此時(shí)的透射系數(shù)等于透射波振幅｜C｜2.反射波振幅為A，透射波振幅為C，則A和C滿足以下關(guān)系式

通過(guò)鍵盤輸入，在程序中可設(shè)定為m＝5.因?yàn)橄旅鎸?duì)于m值的應(yīng)用都體現(xiàn)在k值上，而k又是與x（x為水平坐標(biāo)）以積的形式出現(xiàn)，若假定粒子為電子，且其能量以eV形式表述，則k值約為10的9次冪，而在程序中的x是以nm為單位的，剛好產(chǎn)生一個(gè)10的-9次冪.ka量綱之積在轉(zhuǎn)化為國(guó)際單位制時(shí)前面系數(shù)剛好為1.

（2）粒子能量低于勢(shì)壘高度

反射波的振幅C滿足以下方程

由透射振幅易知：透射系數(shù)隨勢(shì)壘的加寬或加高而急劇減小.

4 程序設(shè)計(jì)

（1）設(shè)置手動(dòng)輸入量：

e＝input（'請(qǐng)輸入粒子能量（E／U0）＝'）；

a＝input（'單個(gè)勢(shì)壘寬度（＊10^-9）＝'）；

n＝input（'勢(shì)壘的重?cái)?shù)n＝'）；

（2）當(dāng)粒子能量等于勢(shì)壘高度時(shí)，則利用語(yǔ)句if e＝1e＝1-eps；

將其轉(zhuǎn)化為粒子能量低于勢(shì)壘高度的情況進(jìn)行計(jì)算.

（3）利用式（1），式（2），式（3）運(yùn)算得出經(jīng)過(guò)寬度為n＊a的單個(gè)勢(shì)壘時(shí)的透射波振幅C1和n個(gè)寬度為a的勢(shì)壘時(shí)的透射波振幅C2.

5 模擬結(jié)果

1）粒子能量大于勢(shì)壘高度的情況

（1）由透射系數(shù)的表達(dá)式很容易看出：若k2a＝nπ時(shí)則會(huì)出現(xiàn)透射系數(shù)為1的情況，即共振透射.運(yùn)算 Matlab程序：輸入e＝E／U＝2，a＝π／5，n＝10時(shí)，C1＝C2＝1，即兩種情況都出現(xiàn)了共振透射現(xiàn)象.

（2）當(dāng)k2＊n＊a滿足共振透射條件而k2a不滿足時(shí)，輸入e＝2，a＝π／50，n＝10時(shí)，C1＝1，C2＝0.9424.輸出如圖1所示.

圖1 輸出圖像

此時(shí)可看出其透射系數(shù)就存在著明顯的差別：n＊a勢(shì)壘仍為共振透射，而n重a勢(shì)壘并不完全透射.

（3）隨機(jī)輸入兩組數(shù)據(jù)e＝3，a＝0.1，n＝20；e＝1.5，a＝1，n＝25時(shí)；得出透射波振幅分別為C1＝0.9798，C2＝0.840 03和C1＝0.972 96，C2＝0.549 22.

對(duì)于上述粒子能量大于勢(shì)壘高度的3種情況的結(jié)果：在E／U＞1的情況下，寬度為n＊a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)一般較n重寬度為a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)大.

2）粒子能量小于勢(shì)壘高度的情況

運(yùn)算 Matlab程序，輸入e＝0.5，a＝0.1，n＝10時(shí)，得到C1＝0.058 237，C2＝0.542 05.

輸入e＝0.5，a＝0.5，n＝10時(shí)，得到C1＝4.2045e-8，C2＝1.161 52e-5.

輸入e＝0.1，a＝0.1，n＝10時(shí)，得到C1＝0.010 451，C2＝0.076 23.

對(duì)于上述粒子能量小于勢(shì)壘高度的幾種情況的結(jié)果：在E／U＜1的情況下，寬度為n＊a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)一般較n重寬度為a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)小（此時(shí)透射系數(shù)隨勢(shì)壘的加寬或加高而急劇減?。?

6 結(jié)語(yǔ)

一般情況下，寬度為n＊a的勢(shì)壘貫穿透射系數(shù)與n重寬度為a的勢(shì)壘貫穿透射系數(shù)不同：在E／U＞1的情況下，寬度為n＊a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)較n重寬度為a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)大（當(dāng)兩者都滿足共振透射條件時(shí)相等）；在E／U＜1的情況下，寬度為n＊a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)較n重寬度為a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)小.

[1]周世勛.量子力學(xué)教程[M].2版.2012：36-38.

[2]周群益，候兆陽(yáng)，劉讓蘇.Matlab可視化大學(xué)物理學(xué)[M].2011：501-506.