柯常青 丁益民
(湖北大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)
解薛定諤方程能很容易地得出這樣一個(gè)結(jié)論:當(dāng)粒子透過勢(shì)壘時(shí),其透射系數(shù)與勢(shì)壘寬度、粒子能量E和勢(shì)壘高度U存在著一定的比例關(guān)系.若粒子能量與勢(shì)壘高度保持恒定,粒子穿過勢(shì)壘時(shí)對(duì)同樣寬度的勢(shì)壘進(jìn)行兩種透射方式:直接透射和n重依次透射(即讓粒子直接透射寬度為n*a的勢(shì)壘和讓粒子依次透射n個(gè)寬度均為a的勢(shì)壘).那么在這兩種方式下透射系數(shù)有怎樣的差別呢?
對(duì)于以上兩種方式下勢(shì)壘貫穿透射系數(shù)的研究用常規(guī)的解析方法比較復(fù)雜,且隨著透射重?cái)?shù)n的增加計(jì)算的復(fù)雜程度會(huì)很明顯地加大,這就使得到的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)明顯的偏差,不方便對(duì)最后結(jié)果的比較,為此我們采用Matlab來(lái)模擬.
從Matlab模擬出的透射圖形中可以通過直觀地對(duì)比得出單重勢(shì)壘貫穿和多重勢(shì)壘貫穿的規(guī)律.
由勢(shì)壘透射系數(shù)D的公式[1]:
可知:(1)當(dāng)E>U時(shí),若滿足k2a=nπ,則D=1,此時(shí)入射波完全透射,稱為共振透射.(2)透射波的振幅在勢(shì)壘中的衰減并不是線性的,即透射波振幅隨勢(shì)壘寬度的增大呈非線性關(guān)系,由此容易看出直接透射和n重透射的透射系數(shù)一般情況下并不相同,用數(shù)學(xué)解析的方法很難比較兩種透射方式的透射系數(shù),而用 Matlab則很容易解決.
我們知道,在研究勢(shì)壘貫穿透射系數(shù)時(shí),粒子能量與勢(shì)壘高度的關(guān)系可分為以下兩種情況:
(1)粒子能量高于勢(shì)壘高度
先設(shè)定入射波函數(shù)的振幅為1,此時(shí)的透射系數(shù)等于透射波振幅|C|2.反射波振幅為A,透射波振幅為C,則A和C滿足以下關(guān)系式
通過鍵盤輸入,在程序中可設(shè)定為m=5.因?yàn)橄旅鎸?duì)于m值的應(yīng)用都體現(xiàn)在k值上,而k又是與x(x為水平坐標(biāo))以積的形式出現(xiàn),若假定粒子為電子,且其能量以eV形式表述,則k值約為10的9次冪,而在程序中的x是以nm為單位的,剛好產(chǎn)生一個(gè)10的-9次冪.ka量綱之積在轉(zhuǎn)化為國(guó)際單位制時(shí)前面系數(shù)剛好為1.
(2)粒子能量低于勢(shì)壘高度
反射波的振幅C滿足以下方程
由透射振幅易知:透射系數(shù)隨勢(shì)壘的加寬或加高而急劇減小.
(1)設(shè)置手動(dòng)輸入量:
e=input('請(qǐng)輸入粒子能量(E/U0)=');
a=input('單個(gè)勢(shì)壘寬度(*10^-9)=');
n=input('勢(shì)壘的重?cái)?shù)n=');
(2)當(dāng)粒子能量等于勢(shì)壘高度時(shí),則利用語(yǔ)句if e=1e=1-eps;
將其轉(zhuǎn)化為粒子能量低于勢(shì)壘高度的情況進(jìn)行計(jì)算.
(3)利用式(1),式(2),式(3)運(yùn)算得出經(jīng)過寬度為n*a的單個(gè)勢(shì)壘時(shí)的透射波振幅C1和n個(gè)寬度為a的勢(shì)壘時(shí)的透射波振幅C2.
1)粒子能量大于勢(shì)壘高度的情況
(1)由透射系數(shù)的表達(dá)式很容易看出:若k2a=nπ時(shí)則會(huì)出現(xiàn)透射系數(shù)為1的情況,即共振透射.運(yùn)算 Matlab程序:輸入e=E/U=2,a=π/5,n=10時(shí),C1=C2=1,即兩種情況都出現(xiàn)了共振透射現(xiàn)象.
(2)當(dāng)k2*n*a滿足共振透射條件而k2a不滿足時(shí),輸入e=2,a=π/50,n=10時(shí),C1=1,C2=0.9424.輸出如圖1所示.
圖1 輸出圖像
此時(shí)可看出其透射系數(shù)就存在著明顯的差別:n*a勢(shì)壘仍為共振透射,而n重a勢(shì)壘并不完全透射.
(3)隨機(jī)輸入兩組數(shù)據(jù)e=3,a=0.1,n=20;e=1.5,a=1,n=25時(shí);得出透射波振幅分別為C1=0.9798,C2=0.840 03和C1=0.972 96,C2=0.549 22.
對(duì)于上述粒子能量大于勢(shì)壘高度的3種情況的結(jié)果:在E/U>1的情況下,寬度為n*a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)一般較n重寬度為a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)大.
2)粒子能量小于勢(shì)壘高度的情況
運(yùn)算 Matlab程序,輸入e=0.5,a=0.1,n=10時(shí),得到C1=0.058 237,C2=0.542 05.
輸入e=0.5,a=0.5,n=10時(shí),得到C1=4.2045e-8,C2=1.161 52e-5.
輸入e=0.1,a=0.1,n=10時(shí),得到C1=0.010 451,C2=0.076 23.
對(duì)于上述粒子能量小于勢(shì)壘高度的幾種情況的結(jié)果:在E/U<1的情況下,寬度為n*a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)一般較n重寬度為a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)?。ù藭r(shí)透射系數(shù)隨勢(shì)壘的加寬或加高而急劇減小).
一般情況下,寬度為n*a的勢(shì)壘貫穿透射系數(shù)與n重寬度為a的勢(shì)壘貫穿透射系數(shù)不同:在E/U>1的情況下,寬度為n*a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)較n重寬度為a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)大(當(dāng)兩者都滿足共振透射條件時(shí)相等);在E/U<1的情況下,寬度為n*a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)較n重寬度為a的勢(shì)壘的貫穿系數(shù)小.
[1]周世勛.量子力學(xué)教程[M].2版.2012:36-38.
[2]周群益,候兆陽(yáng),劉讓蘇.Matlab可視化大學(xué)物理學(xué)[M].2011:501-506.