唐 軍 葉世旺 黃志敏 郭治天

（中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

近年來，飛速發(fā)展的新媒體技術(shù)廣泛滲透到我們生活的方方面面，這其中就包含教育教學(xué)領(lǐng)域.今天的課堂與20年前的課堂存在巨大的差異，這種差異體現(xiàn)在多種新媒體技術(shù)的使用.課件、教學(xué)網(wǎng)站、公共電郵、多媒體影像、動(dòng)畫等新媒體技術(shù)的產(chǎn)物廣泛地出現(xiàn)在課堂以及其他學(xué)習(xí)場(chǎng)所.而更重要的是教師或?qū)W生已經(jīng)不把這些新媒體使用看成是時(shí)髦或先進(jìn)手段的使用，而只是自然而隨性的行為.比如，計(jì)算機(jī)軟件在教學(xué)中的使用已經(jīng)不局限于特定的教育軟件，各種不同類型的軟件包括圖形軟件、可視編程軟件，甚至科學(xué)計(jì)算軟件也可以在特定的需求下輔助教學(xué)過程[1-6].《普通物理學(xué)》或《大學(xué)物理》是高校各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課.物理學(xué)科包含很多抽象的概念和復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式[7]，一些形象的圖像、視頻媒體有助于學(xué)生來理解抽象的物理概念[8-10].因此，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)在物理教學(xué)中占有很重要的地位[11-13].本文結(jié)合自身在高校教學(xué)科研中的實(shí)踐，介紹了如何將一款可免費(fèi)獲取的科學(xué)計(jì)算軟件應(yīng)用于大學(xué)物理的教學(xué)中.

1 Xppauto軟件

Xppauto計(jì)算軟件是一款數(shù)值解微分方程的科學(xué)計(jì)算軟件，應(yīng)用它可以采用不同的差分方法（包括歐拉法、龍格庫塔法等）來解不同類型的非線性系統(tǒng)，包括積分方程、微分方程、延遲微分方程、隨機(jī)微分方程等[6].該軟件還能對(duì)自治系統(tǒng)進(jìn)行分岔分析、相圖分析等.與其他流行計(jì)算軟件，比如Mathmatica、Matlab相比較，該軟件具有如下特點(diǎn)：

（1）該軟件可完全免費(fèi)獲取，該軟件由匹茲堡大學(xué)數(shù)學(xué)系免費(fèi)提供.當(dāng)下，一些流行的計(jì)算軟件往往非常昂貴，與之相比Xppauto降低了從事非線性系統(tǒng)分析研究的門檻.該軟件下載網(wǎng)址為：http：／／www.math.pitt.edu／～bard／xpp／xpp.html.網(wǎng)站中包含了該軟件的英文使用手冊(cè)，以及一些示例.因?yàn)樵撥浖欠菭I(yíng)利性軟件，至今未有中文版使用手冊(cè).

（2）該軟件不需要復(fù)雜的編程.對(duì)于給定的模型，只要把相關(guān)的方程以直觀的方式寫成一個(gè)ODE格式的文件，就可以應(yīng)用該軟件進(jìn)行分析.

（3）與商業(yè)軟件相比，Xppauto并不具有友好的界面.這一點(diǎn)對(duì)于長(zhǎng)期從事非線性物理研究的科技工作者來說并不是問題.通過長(zhǎng)期的科研實(shí)踐，科研工作者已經(jīng)對(duì)該軟件非常熟悉.

（4）該軟件支持直觀的動(dòng)態(tài)改變參數(shù).在動(dòng)態(tài)改變參數(shù)后，系統(tǒng)會(huì)實(shí)時(shí)對(duì)相關(guān)圖像進(jìn)行重畫，這能從一定程度上凸顯動(dòng)畫的效果，使演示過程直觀形象.

2 應(yīng)用Xppauto軟件輔助物理教學(xué)

2.1 阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)

在阻尼振動(dòng)的教學(xué)中，需要認(rèn)識(shí)和理解過阻尼、欠阻尼、臨界阻尼3種不同的阻尼情況；在受迫振動(dòng)中理解其穩(wěn)定狀態(tài)和共振行為.振動(dòng)方程可以寫成[5]

其中，x為振動(dòng)位移；δ為阻尼因子；ω0為系統(tǒng)固有頻率；F0為外部周期力的幅度；ωd為驅(qū)動(dòng)頻率.這里我們令y＝dx／dt，上述方程能改寫成如下一階方程組

該方程組寫成ODE文件為

其中，第一、二行是兩個(gè)微分方程；第三行是規(guī)定各個(gè)參數(shù)的初始值；第四、五行給方程變量賦初值；第六行規(guī)定數(shù)值計(jì)算的總時(shí)間、計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)、畫圖橫縱軸的范圍，以及總數(shù)據(jù)量，第七行規(guī)定畫圖的橫縱軸.

如圖1所示，可以看出，Xppauto的主窗口是x的時(shí)間演化窗口，下面提供3個(gè)參數(shù)條用來進(jìn)行實(shí)時(shí)的參數(shù)調(diào)節(jié)，參數(shù)調(diào)節(jié)只需用鼠標(biāo)拉動(dòng)相應(yīng)狀態(tài)條即可.在圖1中，F(xiàn)0＝0表示無外部驅(qū)動(dòng)力，delta＝0表示無阻尼，此時(shí)系統(tǒng)應(yīng)該以固有頻率作諧振動(dòng).

為了演示阻尼振動(dòng)，我們?nèi)匀蛔寘?shù)條1中的驅(qū)動(dòng)力幅值等于零，然后通過拉動(dòng)參數(shù)條3改變阻尼因子.如圖2（a）所示，δ＝0.06小于系統(tǒng)固有頻率ω0＝0.8，為欠阻尼振蕩；圖2（b）中δ＝ω0為臨界阻尼；相應(yīng)的圖2（c）為過阻尼情況.更重要是的，我們可以通過拉動(dòng)參數(shù)條3連續(xù)改變阻尼，來演示從欠阻尼到過阻尼的連續(xù)變化過程.因?yàn)閄ppauto中參數(shù)發(fā)生變化后，系統(tǒng)會(huì)實(shí)時(shí)重畫振動(dòng)圖.

進(jìn)一步為了演示受迫振動(dòng)以及共振，我們通過參數(shù)條1將F0設(shè)置為1，并將δ設(shè)置為欠阻尼情況.通過數(shù)條2的拉動(dòng)改變策動(dòng)力頻率ωd.從圖3（a）到（c）讓?duì)豥逐漸增加，可以看出當(dāng)ωd接近ω0時(shí)振幅達(dá)到了最大，這是典型的振幅共振行為.

2.2 相互垂直諧振動(dòng)合成

兩個(gè)相互垂直諧振動(dòng)合成后，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形成李薩如圖形.兩振動(dòng)的方程寫成[5]

圖1 Xppauto的窗口示意圖

圖2 不同阻尼的演示

圖3 受迫振動(dòng)及共振的演示

其中，A1，ω1，φ1，A2，ω2，φ2分別是兩諧振動(dòng)的振幅、頻率、初相.相應(yīng)的ODE文件為

因?yàn)閄ppauto是解微分方程的，所以O(shè)DE文件中必須要有微分方程，而本應(yīng)用沒有微分方程，所以在程序第一行定義了一個(gè)虛擬方程.李薩如圖形的形成主要是ω1、ω2成一個(gè)整數(shù)倍關(guān)系.這里設(shè)定ω2＝1，通過改變?chǔ)?形成不同的李薩如圖形.如圖4所示，是不同倍頻的李薩如圖形.同樣，在拉動(dòng)參數(shù)條改變參數(shù)ω1的過程中能看到李薩如圖形的實(shí)時(shí)變換.

圖4 不同倍頻的李薩如圖形

2.3 單縫衍射和光柵衍射

光的夫瑯禾費(fèi)衍射教學(xué)是大學(xué)物理中的難點(diǎn)，同時(shí)也是重點(diǎn)內(nèi)容.在討論光強(qiáng)分布時(shí)過于抽象，如果能輔以動(dòng)態(tài)可變的圖形曲線，有助于學(xué)生形象認(rèn)識(shí)單縫衍射、光柵衍射圖樣的影響因素以及它們之間的關(guān)系.理論上，光柵衍射的光強(qiáng)分布應(yīng)滿足[5]

其中，上式中

上式中，θ為衍射角，a為縫寬，d為光柵常數(shù)，λ為入射波長(zhǎng)，N為縫數(shù).ODE文件為

我們借用時(shí)間變量t作為衍射角θ，而為了反映衍射角在零值附近的對(duì)稱性，令θ＝t-0.5，因此，所演示的θ介于-0.5和0.5之間.另外這里之所以選擇dt為小數(shù)點(diǎn)后面多位，是為了避開計(jì)算到t＝0時(shí)使得I發(fā)散.

首先，演示單縫衍射，我們必須將縫數(shù)固定在1.如圖5，通過參數(shù)條1將縫數(shù)固定設(shè)為1，然后通過參數(shù)條2來改變縫寬a，比較圖5中的子圖會(huì)發(fā)現(xiàn)，條紋寬度會(huì)隨著縫寬的增加而減小.

圖5 單縫衍射光強(qiáng)分布

圖6 雙縫干涉光強(qiáng)分布

然后我們要演示雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，縫數(shù)N必須為2，此時(shí)將單縫的寬度設(shè)置的足夠小（a＝0.004），以減小單縫衍射對(duì)雙縫干涉的調(diào)制作用.如圖5所示，通過拉動(dòng)參數(shù)條3改變縫間距演示條紋間距隨著縫間距的增加而減小.

最后，我們來演示光柵衍射.可以通過3個(gè)參數(shù)條來改變縫數(shù)N，縫寬a，以及縫間距d，以此來反映這些參數(shù)對(duì)于光柵衍射的影響.作為示例，我們?cè)趫D6中演示了對(duì)于給定的a和d，縫數(shù)N對(duì)于光柵衍射的影響.從中可以明顯看出光柵衍射中單縫衍射對(duì)多縫干涉的調(diào)制作用，以及隨著N的增加主極大之間的次級(jí)大數(shù)目的變化，如圖7所示.

圖7 不同縫數(shù)N的光柵衍射的光強(qiáng)分布

3 結(jié)語

作者結(jié)合自身從事大學(xué)物理教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，介紹了如何應(yīng)用一款免費(fèi)計(jì)算軟件Xppauto輔助教學(xué)，并介紹了幾個(gè)教學(xué)示例.高校教師除了教學(xué)外，往往都有繁重的科研任務(wù)，將自己在科研中長(zhǎng)期使用并且非常熟悉的軟件或方法用于教學(xué)是一種省時(shí)省力的好嘗試.Xppauto雖然只是一款免費(fèi)的軟件，它卻在演示圖形變化方面具有優(yōu)勢(shì).主要體現(xiàn)在它不僅編程簡(jiǎn)單，而且可以鼠標(biāo)拉動(dòng)來調(diào)節(jié)多個(gè)參數(shù)，參數(shù)值調(diào)整后能進(jìn)行實(shí)時(shí)重畫.這些優(yōu)勢(shì)使得它在刻畫某一因素對(duì)系統(tǒng)影響時(shí)具有非常直觀的特點(diǎn).對(duì)于高校教師來說，將科研和教學(xué)工作整合起來是必要的，本文的工作是從一個(gè)側(cè)面的經(jīng)驗(yàn).

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