徐 斌 陳 浩

（華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

分子的麥克斯韋速率分布是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)，而它除了在熱學(xué)領(lǐng)域內(nèi)有很豐富的內(nèi)涵和應(yīng)用外，在物理學(xué)的其他方面同樣有著重要的體現(xiàn)，如在激光原理與技術(shù)方面，研究粒子躍遷發(fā)光譜線的譜線增寬原因時(shí)，就要考慮到麥克斯韋速率分布對(duì)光頻率改變的多普勒效應(yīng)的影響.因此，在大學(xué)物理教學(xué)中，麥克斯韋速率分布始終是重點(diǎn).

然而，以往對(duì)麥克斯韋速率分布的教學(xué)局限于抽象的理論分析，借助軟件作出的圖像也一般是靜態(tài)的，缺乏交互性.本文呈現(xiàn)一種新的麥克斯韋速率分布的教學(xué)方法，試圖通過(guò)該方法增強(qiáng)課堂講授的效果，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.該方法主要借助Matlab軟件的圖形用戶界面（Graphical User Interface，簡(jiǎn)稱 GUI，又稱圖形用戶接口，是指采用圖形方式顯示的計(jì)算機(jī)操作用戶界面），具體實(shí)施時(shí)，以Matlab作為平臺(tái)，先通過(guò)建模，確定研究對(duì)象，再建立Matlab中的圖形用戶界面，根據(jù)不同的環(huán)境和情境條件，輸入一定的程序與指令，在計(jì)算機(jī)平臺(tái)上操作運(yùn)行，可實(shí)現(xiàn)交互式的比較分析.實(shí)現(xiàn)從原來(lái)抽象的理論分析到圖形交互的比較分析的轉(zhuǎn)化，有助于形象深入地了解麥克斯韋速率分布，提高課堂教學(xué)的效果[1].

1 運(yùn)用Matlab的GUI功能對(duì)麥克斯韋速率分布的比較分析

基于Matlab的圖形用戶界面功能分析氣體分子在正常狀態(tài)和瀉流狀態(tài)下的麥克斯韋速率分布：

1.1 比較正常狀態(tài)與瀉流狀態(tài)下，分子的麥克斯韋速率分布特點(diǎn)

瀉流是指分子通過(guò)器壁上的小孔溢出的現(xiàn)象[2]，當(dāng)分子溢出容器時(shí)，它在小孔口處的那些分子的速率分布可以通過(guò)Matlab的圖形用戶界面功能來(lái)模擬，進(jìn)而分析它的特點(diǎn).由于瀉流時(shí)氣體分子的狀態(tài)與正常的不同，相應(yīng)的速率分布函數(shù)也會(huì)不同，所以要先建立一個(gè)瀉流狀態(tài)的速率分布函數(shù)模型.由統(tǒng)計(jì)物理可知，氣體分子的碰壁數(shù)公式適用于瀉流狀態(tài)，所以我們可以先得出氣體分子的碰壁數(shù)，進(jìn)而推導(dǎo)出其碰壁的速率分布，最后得出瀉流狀態(tài)的速率分布函數(shù)模型.

1.2 建立瀉流狀態(tài)的速率分布的理論模型

正常狀態(tài)下的分子麥克斯韋速率分布函數(shù)及特點(diǎn)已被廣泛研究[3]，本文不再對(duì)其理論模型進(jìn)行推導(dǎo).下面推導(dǎo)出瀉流狀態(tài)下的速率分布模型，首先通過(guò)麥克斯韋速率分布可以導(dǎo)出，在單位時(shí)間內(nèi)碰到單位面積器壁上，速率介于v與v＋dv之間的分子數(shù)dΓ為

則單位時(shí)間內(nèi)碰到器壁單位面積上的分子數(shù)Γ為[2]

所以氣體的碰壁速率分布為

即瀉流狀態(tài)下，單位時(shí)間單位體積內(nèi)的分子速率分布函數(shù)就是g（v）.

建立了速率分布函數(shù)后，我們可導(dǎo)出瀉流狀態(tài)下的3個(gè)特征速率[3]，所要求的最概然速率可由

給出，則最概然速率為

平均速率

方均根速率

以上即為瀉流狀態(tài)下，氣體分子的速率分布以及相應(yīng)的3個(gè)特征速率.接下來(lái)，通過(guò)Matlab軟件的圖像用戶界面，討論瀉流狀態(tài)下和正常狀態(tài)下氣體分子的速率分布以及3個(gè)特征速率的情況.

1.3 編寫(xiě)相應(yīng)程序

由于要進(jìn)行正常狀態(tài)和瀉流狀態(tài)的速率分布比較，所以在GUI上要建立兩套坐標(biāo)體系.在設(shè)置好相應(yīng)的GUI后，保存運(yùn)行即可進(jìn)入編程狀態(tài).由于有兩套坐標(biāo)體系，所以分別包含有1個(gè)坐標(biāo)軸、“確定”按鈕，2個(gè)輸入文本框，3個(gè)輸出文本框，最后通過(guò)一個(gè)主函數(shù)運(yùn)行此程序[1].

因?yàn)闅怏w分子瀉流狀態(tài)下的速率分布函數(shù)可由麥克斯韋速率分布函數(shù)導(dǎo)出，所以編寫(xiě)程序時(shí)，在相應(yīng)的主函數(shù)的地方輸入麥克斯韋速率分布函數(shù)的相應(yīng)程序[4]：

得出主函數(shù)后，由于建立了兩組坐標(biāo)體系，所以此處設(shè)定了兩個(gè)“確定”按鈕.輸入回調(diào)函數(shù)時(shí)，先在第一個(gè)“確定”按鈕處輸入繪制正常麥克斯韋速率分布函數(shù)曲線的的回調(diào)函數(shù)程序1：

回調(diào)函數(shù)程序1輸入完畢后，輸入回調(diào)函數(shù)程序2：

回調(diào)函數(shù)程序2能描繪瀉流狀態(tài)下，分子速率分布函數(shù)曲線，并計(jì)算3個(gè)特征速率.輸入完畢后，即可點(diǎn)擊運(yùn)行程序.程序運(yùn)行后可以得到，正常狀態(tài)麥克斯韋速率分布圖和瀉流狀態(tài)速率分布圖.

1.4 運(yùn)行程序并分析

編程完成后，輸入一定的參數(shù)（T和mu），就可繪制出正常狀態(tài)和瀉流狀態(tài)的分子速率分布圖像.

（1）比較對(duì)于某種氣體，在某容器內(nèi)溫度一定時(shí)，正常狀態(tài)的麥克斯韋速率分布和瀉流狀態(tài)的速率分布.選取CO2為研究對(duì)象，其摩爾質(zhì)量為44kg／mol，溫度T＝300K，設(shè)定GUI，在左右兩組參數(shù)輸入框內(nèi)分別輸入以上參數(shù)，再分別單擊確定運(yùn)行，最后的運(yùn)行結(jié)果如圖1.

圖1 運(yùn)行結(jié)果

比較兩種情況下的速率分布可知：第一，瀉流狀態(tài)下的氣體分子速率分布和正常狀態(tài)的麥克斯韋速率分布曲線的概率密度的取值和分子的速率分布的寬度都是基本一致.第二，瀉流狀態(tài)下的分子的最概然速率與正常情況下的方均根速率相同，這顯然是由于方均根速率是跟平均動(dòng)能聯(lián)系一起的，瀉流狀態(tài)下具有平均動(dòng)能的分子最有可能穿出容器.第三，在瀉流狀態(tài)下的3個(gè)特征速率都比正常狀態(tài)的要大，這是顯然的，因?yàn)楸厝皇撬俾矢蟮臍怏w分子更容易從小孔飛出，所以，總體來(lái)說(shuō)，瀉流狀態(tài)下的氣體分子速率都會(huì)比正常狀態(tài)下的大.我們通過(guò)修改回調(diào)程序的部分，使得兩幅曲線畫(huà)到同一坐標(biāo)上，見(jiàn)圖2.

圖2 同一坐標(biāo)上的兩幅曲線

把正常狀態(tài)和瀉流狀態(tài)的兩條曲線畫(huà)到同一坐標(biāo)系中，可以更清晰直接地辨別出它們二者之間的異同，更利于分析研究.如圖3，對(duì)比分析兩條曲線可知，曲線頂峰偏左的是正常狀態(tài)下的麥克斯韋速率分布曲線，而曲線頂峰偏右的是瀉流狀態(tài)下的分子速率分布曲線.瀉流狀態(tài)的分布曲線大致可看作是正常狀態(tài)的分布曲線向右平移得到，但兩者有差別，例如，最概然速率不同，瀉流狀態(tài)的明顯要比正常狀態(tài)的大，但對(duì)應(yīng)的概率密度就稍小一點(diǎn)，而瀉流狀態(tài)下的速率分布寬度又要比正常的速率分布的寬度稍大，這都是歸一化條件要求的.同時(shí)也看到，瀉流狀態(tài)的分子對(duì)應(yīng)速率為零的概率基本為零，這是因?yàn)橐┏銎鞅诘姆肿铀俾什豢赡転榱愕木壒?

（2）比較相同條件下，氣體在容器內(nèi)的正常麥克斯韋速率分布與瀉流時(shí)的速率分布.如選取相同溫度，比較不同氣體分子的情況（見(jiàn)圖3），或選定某種氣體分子，比較不同溫度的情況（見(jiàn)圖4）：

圖3 不同氣體的麥克斯韋速率分布曲線

圖3顯示的是CO2、O2、N2的麥克斯韋速率分布圖像，比較兩種情況容易發(fā)現(xiàn)，在溫度相同（都設(shè)定在常溫狀態(tài)下）時(shí)，隨著摩爾質(zhì)量的增加，概率密度明顯增大，而相應(yīng)的最概然速率、平均速率、方均根速率都分別增加.

圖4描述的是O2在不同溫度下的速率分布情況.如果修改部分回調(diào)程序，可把兩種情況下的分布曲線置于同一個(gè)坐標(biāo)軸下（見(jiàn)圖5），此時(shí)又可以明顯地比較分析出正常狀態(tài)和瀉流狀態(tài)下的氣體麥克斯韋速率分布與溫度之間的關(guān)系.從以上的結(jié)果我們可以進(jìn)一步比較分析出，在不同情況下的氣體分子的速率分布的特點(diǎn).從圖3我們可以直觀地看到，在溫度相同時(shí)，摩爾質(zhì)量越大的氣體分子其速率分布越集中，氣體分子速率的取值范圍較小，其最概然速率也相應(yīng)的偏小.用經(jīng)典力學(xué)的思維，或許可以理解為質(zhì)量越大的分子越難“驅(qū)動(dòng)”，所以速率分布集中，而且相對(duì)較??；而質(zhì)量越小的分子越“散漫”，速率分布較廣，而且相對(duì)較大.當(dāng)然，這里的分析應(yīng)用于瀉流狀態(tài)下也是相同的.而從圖4可以直觀地看到，對(duì)于同一種氣體分子（摩爾質(zhì)量相同），溫度越高氣體分子的速率分布就越分散，速率的取值范圍也較寬廣，其最概然速率相應(yīng)的偏大.根據(jù)熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)理論，定性來(lái)看，溫度越高說(shuō)明分子的熱運(yùn)動(dòng)越劇烈，則速率較大的氣體分子會(huì)較多，那么相應(yīng)的3種特征速率當(dāng)然都會(huì)偏大.這里，把不同情況下的速率分布及變化特點(diǎn)都通過(guò)圖像動(dòng)態(tài)直觀地呈現(xiàn)，顯然，這些特點(diǎn)在麥克斯韋速率分布表達(dá)函數(shù)中是難以直接看到的，而且我們也給出了對(duì)應(yīng)兩個(gè)參數(shù)（溫度和摩爾質(zhì)量）的3種特征速率，顯示了Matlab軟件中應(yīng)用GUI功能研究問(wèn)題的交互性與清晰性[5].

圖4 不同溫度下的氣體分子麥克斯韋速率分布曲線

2 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)借助Matlab軟件的圖形用戶界面來(lái)動(dòng)態(tài)描繪氣體分子的速率分布曲線，利用其高度交互和形象化的特點(diǎn)，有助于課堂上對(duì)氣體分子的麥克斯韋速率分布進(jìn)行深入的分析和研究，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高教、學(xué)的效果.本文僅利用GUI功能對(duì)麥克斯韋速率分布的部分特征進(jìn)行了比較分析，此外，還可以進(jìn)行更多的拓展分析，比如，通過(guò)修改本文程序中的一些參數(shù)（如x軸的速率取值范圍），研究低溫或高溫下，氣體分子的麥克斯韋速率分布.也可以通過(guò)改寫(xiě)分布函數(shù)，探究其他類型的速率分布問(wèn)題，如在重力場(chǎng)中的氣體密度隨高度的分布問(wèn)題等.

Matlab軟件的GUI功能以及對(duì)應(yīng)的程序?yàn)閷W(xué)習(xí)麥克斯韋速率分布及其拓展分析提供了一個(gè)方便使用的平臺(tái)，有助于把抽象問(wèn)題具體化和形象化，更重要的是實(shí)現(xiàn)了課堂教學(xué)的高度交互性.雖然本文只是利用該平臺(tái)的一個(gè)例子，但能開(kāi)闊我們?cè)诮y(tǒng)計(jì)物理教學(xué)中的思路，進(jìn)一步拓展到其他的有關(guān)分布教學(xué)中，如玻耳茲曼分布、費(fèi)米分布、玻色分布等.

[1]陳垚光，毛濤濤，王正林，等.精通 MATLAB GUI設(shè)計(jì)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2008.

[2]汪志誠(chéng).熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理[M].5版.北京：高等教育出版社，2013.

[3]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程.熱學(xué)[M].2版.北京：高等教育出版社，2005.

[4]蘇金明，王永利.MATLAB 7.0實(shí)用指南[M].北京：電子工業(yè)出版社，2004.

[5]曾立.Matlab在大學(xué)《熱學(xué)》課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，27（3）：104-110.