史祥蓉

（海軍工程大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系，湖北 武漢 430033）

1 對(duì)火箭運(yùn)動(dòng)微分方程容易引起誤解的講法

大學(xué)物理教材[1，2]在推導(dǎo)火箭運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)有如下描述：把箭體和燃?xì)饨M成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，選地面為參考系，以火箭前進(jìn)的方向?yàn)檎较?，如圖1所示.設(shè)t時(shí)刻火箭的質(zhì)量為M，速度為v，在t到t＋dt時(shí)間內(nèi)，有質(zhì)量為dm的燃料變?yōu)闅怏w，并以恒定速率u相對(duì)箭體向后噴出，而火箭質(zhì)量減為M-dm，速度增為v＋dv.注意：此時(shí)噴出的氣體相對(duì)地面的速度為v＋dv＋u，

因此在時(shí)刻t和t＋dt系統(tǒng)的總動(dòng)量分別為

動(dòng)量增量為

所以，系統(tǒng)所受的合外力為

此為火箭運(yùn)動(dòng)微分方程.

圖1 火箭運(yùn)動(dòng)示意圖

若直接對(duì)式（1）微分有

顯然，式（5）與式（4）存在矛盾.因此，這種講法常常會(huì)給學(xué)生帶來(lái)混亂.學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常有一些認(rèn)真思考的學(xué)生會(huì)提出這樣的問(wèn)題.

2 利用質(zhì)量流動(dòng)問(wèn)題的講法

在理論力學(xué)教程[3]中對(duì)質(zhì)量流動(dòng)問(wèn)題的講法如下：設(shè)一物體在t時(shí)刻的質(zhì)量為m，速度為v，同時(shí)一微小質(zhì)量Δm以速度v′運(yùn)動(dòng)，并在t＋Δt時(shí)間與m相合并，合并以后的共同速度是v＋Δv.如果作用在m及Δm上的合外力為F，則由動(dòng)量定理得

略去式（6）中的二階微量ΔmΔv，除以Δt，并使Δt→0，得質(zhì)量流動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程

其中，m代表質(zhì)量流動(dòng)問(wèn)題中t時(shí)刻的主體質(zhì)量，v代表問(wèn)題中t時(shí)刻主體的速度，v′代表微質(zhì)量Δm與m合并前或自m分出后一剎那相對(duì)于地的速度為質(zhì)量的時(shí)間變化率（可正可負(fù)），而F則為作用在系統(tǒng)上的合外力.

而v′＝v時(shí)，式（7）簡(jiǎn)化為

式（9）與質(zhì)量為定值的運(yùn)動(dòng)方程形式上沒(méi)有什么區(qū)別，但實(shí)質(zhì)上并不相同，這里m一般是時(shí)間t的函數(shù).

如圖2所示，可以利用質(zhì)量流動(dòng)問(wèn)題講解火箭微分方程.設(shè)t時(shí)刻火箭主體的質(zhì)量為M，速度為v，同時(shí)有質(zhì)量為dm＝-dM的燃料氣體以相對(duì)箭體的恒定速度u噴出.則根據(jù)質(zhì)量流動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程式（7）可得

圖2 質(zhì)量流問(wèn)題

整理，可得

式（11）與式（4）完全相同，且避免了式（5）的矛盾問(wèn)題.

3 一般動(dòng)量表達(dá)式的講法

雖然利用質(zhì)量流動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程可以避免式（1）或式（5）與式（4）的矛盾，但應(yīng)該如何解釋這一矛盾？

根據(jù)質(zhì)量流動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程式（7）可知：只有當(dāng)v′＝0，即微質(zhì)量與主體質(zhì)量合并前或分出后一剎那相對(duì)于地的速度為零時(shí)，式（8）才成立.一般火箭運(yùn)動(dòng)不符合該條件，所以在處理火箭問(wèn)題時(shí)，式（1）的P（t）＝Mv中，由于M是火箭“主體”的質(zhì)量，且是時(shí)間的函數(shù)，因此不可直接利用F＝但動(dòng)量定律是物理學(xué)中普遍成立的規(guī)律，在此應(yīng)如何解釋呢？

比較式（1）、式（2）與式（6）可以發(fā)現(xiàn)，式（1）只是火箭“系統(tǒng)”動(dòng)量在t時(shí)刻的特殊表達(dá)形式，并不能用于表達(dá)火箭“系統(tǒng)”在t＋dt時(shí)刻的動(dòng)量，因此其對(duì)時(shí)間的微分不可能滿足“系統(tǒng)”的動(dòng)量定律.實(shí)際上，在t時(shí)刻火箭“系統(tǒng)”動(dòng)量的一般表達(dá)形式為

式中，第1項(xiàng)Mv為火箭的動(dòng)量，第2項(xiàng)PΔ（t）＝mΔ（t）vΔ（t）為噴出氣體的動(dòng)量.

在t時(shí)刻，燃料尚未噴出，mΔ（t）＝0，vΔ（t）＝v，有

所以，式（12）可以表達(dá)為式（1）的特殊形式；而在t＋dt時(shí)刻，噴出的氣體mΔ（t＋dt）＝dm，vΔ（t＋dt）＝v＋dv＋u，因此，

此時(shí)，由式（12）和式（14）可得式（2）.

因此，在式（5）的動(dòng)量定律中應(yīng)該采用式（12）的火箭“系統(tǒng)”動(dòng)量一般表達(dá)形式，而不能采用式（1）的特殊形式.雖然在t時(shí)刻，PΔ（t）＝0，式（1）與式（12）完全相同，但由式（13）和式（14）可知其導(dǎo)數(shù)并不為零

對(duì)火箭“系統(tǒng)”動(dòng)量的一般表達(dá)式（12）應(yīng)用動(dòng)量定律，有

可見(jiàn)，由式（12）獲得的式（16）與式（4）完全相同.這種講法不僅避免了式（5）的矛盾問(wèn)題，而且很好地解釋了式（5）與式（4）矛盾的原因.

注意：由式（13）和式（14）可以看出，由于速度vΔ（t）不是連續(xù)函數(shù)，不存在因此，不能采用的方式計(jì)算，而需要采用式（15）方式計(jì)算.

[1]康穎.大學(xué)物理[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2]馬文蔚.物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1978.

[3]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，1986.