徐 椰 邵成剛

（華中科技大學物理學院，基本物理量測量教育部重點實驗室，湖北 武漢 430074）

眾所周知，引力場的鐘慢效應、引力紅移效應及雙生子問題，長久以來在教學中都是難以清楚解釋的物理現象，對這些效應的認識眾說紛紜.清晰地闡明這些問題，無論是對于更深層次的學術討論還是教學本身都是非常重要的[1-3].

由狹義相對論得知在慣性系中勻速運動的鐘要比靜止在慣性系中的鐘走得慢，而非慣性系中的物理規(guī)律也可以通過一定的坐標變換，在狹義相對論的框架下得到很好的描述.但是狹義相對論卻不涉及有關引力的討論，故由引力引起的一系列效應，如引力場的鐘慢效應和引力紅移效應，都不能通過狹義相對論來解釋.然而，在量子理論出現以前，愛因斯坦在經典波動理論范疇下，巧妙地利用等效原理，將一個勻加速系統(tǒng)和一個均勻引力場等效起來，成功地推導出了引力場的鐘慢效應和引力紅移效應，進而進一步建立了描述引力現象的全新理論——廣義相對論.本文借助于等效原理重新論證了引力場的這兩個效應，并進一步給出了雙生子問題在狹義相對論下的解釋，輔助學生更深入地理解等效原理，加深對廣義相對論的認識.

1 等效原理

廣義相對論的基石是愛因斯坦等效原理：任何物理實驗——力學的、電磁的和其他的實驗都不能區(qū)分引力和慣性力的效果.

做這樣一個思想實驗，我們可以想象一個與外界完全隔絕的封閉艙，艙內的人從高處釋放一個物體并觀察到物體自由下落，他可以認為自己的密封艙是靜止的，物體的自由下落歸因于密封艙下面的一個均勻引力場（例如相對于地球向心引力場，這個足夠小的密封艙內的引力場可以看作是均勻的）；當然他也可以認為他的艙在太空中做勻加速運動，物體的自由下落歸因于加速度引起的慣性力.密封艙中的人無法通過任何物理實驗分辨出他自己是處于加速狀態(tài)，還是處于一個均勻引力場中.不受引力的加速系等效于均勻引力場中的慣性系，發(fā)生在一個勻加速系統(tǒng)中的物理過程，會毫無變化地發(fā)生在一個引力加速度等于勻加速系統(tǒng)加速度的均勻引力場中.在某個星球表面附近自由下落的足夠小的密封艙內，空間中的引力與慣性力近似完全抵消，任何力學實驗、電磁學實驗都不會受這個密封艙的運動狀態(tài)影響，自由下落的局域參考系是近似的局域慣性系，引力和慣性力在物理效果上完全沒有區(qū)別，這就是愛因斯坦等效原理.

2 引力的鐘慢效應

我們借助于一個勻加速運動的密封艙模型，從等效原理推導出引力場的時鐘變慢效應.

2.1 勻加速運動的密封艙

首先來看一個密封艙模型：足夠小的密封艙在空間某處不受引力影響，艙以均勻加速度g向上做勻加速運動，艙內A、B點間的距離為h，A、B兩處分別有兩個完全相同的鐘，兩個時鐘的計時機制和計時速率完全相同.B處有一個發(fā)射脈沖的裝置，該裝置與B鐘相對應，如每經歷Δτ時間間隔發(fā)射一次；A處有一個接受脈沖的裝置.密封艙從v＝0開始加速，不失一般性地假設在所討論的時間段內，密封艙的最終速度v＝gt?c且g＝const，進而整個過程密封艙長度h的收縮效應可忽略.整個實驗的過程如圖1所述.

圖1 密封艙勻加速運動，A鐘與B鐘速率相同

圖1中，從左到右依次為（a）、（c）、（b）、（d）4個時間點，按照事件發(fā)生順序排列，（a）、（b）和（c）、（d）分別為兩個脈沖的傳播過程：

（a）t＝0時刻，B朝 A發(fā)射出脈沖1，B的鐘表上顯示“0”，B鐘開始計時；

（b）t＝t1時刻，A接受到這個脈沖，A的鐘表上顯示“t1”，作為對鐘過程可將A鐘的顯示調為“0”；

（c）t＝Δτ時刻，B又朝A發(fā)射脈沖2，B的鐘表上顯示的時間就是“Δτ”，為B經歷的固有時，和B鐘上顯示的一致；

（d）t＝t1＋Δτ測時刻，A接收到B發(fā)射的第二個脈沖信號.距離A上次接收到脈沖信號的時間間隔為Δτ測，注意這里的Δτ測是A觀測到的時間差，就是以A鐘為標準記錄的時間差，注意A鐘和B鐘完全一致；圖2簡潔地表示了以上4個事件發(fā)生的先后順序，在慣性系中看來，Δτ測≠Δτ.

下面計算A觀測到的時間差Δτ測和B鐘的時間差Δτ的關系：根據A、B的運動規(guī)律，在慣性系中看來，以剛開始加速B的位置為坐標原點，A、B的位置可以表示為

（a）、（b）過程：

圖2 脈沖1與脈沖2的世界線

（c）、（d）過程：

由式（1）～式（3），忽略時間差平方的二階小量可得

可以看出，Δτ測＞Δτ，當B發(fā)射兩個脈沖信號的時間間隔為Δτ（B鐘讀出）時，A接收到兩個脈沖信號之間的時間間隔為Δτ測，A認為這個時間間隔變大了，圖3清晰地表示出整個事件發(fā)生的流程（圖中A和B接收到的脈沖用記數“1”“2”“3”來表示）.

圖3 勻加速系中，A鐘與B鐘的比對

可以看出，對A來說，本該在記數“2”時就接收到脈沖2的，卻在其記數了“2”后某個時間才接收到脈沖信號，A等了Δτ測的時間才接收到脈沖信號，在A看來是B發(fā)射的脈沖2走過的距離比脈沖1大（因為此時A認為自己所處的密封艙在做勻加速運動），所以A等了Δτ測的時間才接收到信號.

現在可以得出結論，在這樣一個勻加速系統(tǒng)中，A觀測到B發(fā)射兩個脈沖的時間間隔要比B自己觀測到的這個時間間隔要大，由于不是A鐘和B鐘的影響造成的這種觀測的不一致，故A給出的結論是脈沖2比脈沖1走過的距離長，導致Δτ測＞Δτ.

2.2 均勻引力場

同樣可以讓2.1節(jié)中的系統(tǒng)靜止于一個均勻的引力場中，如圖4所示.不失一般性地使密封艙的尺度足夠小以使艙中的引力場相對于某個星球的向心引力場是均勻的.在這個密封艙中同樣由B發(fā)射脈沖給A，整個物理過程同前面完全一致，只是這是發(fā)生在一個均勻引力場中.

根據第1節(jié)給出的愛因斯坦等效原理，不受引力作用的加速系等效于均勻引力場中的慣性系，密封艙中的人無法通過任何物理實驗分辨出自己是處于加速狀態(tài)，還是處于一個均勻引力場中.那么密封艙中的A、B兩人完全不能發(fā)覺2.2節(jié)和2.1節(jié)中的系統(tǒng)有任何差別，他們還是同2.1節(jié)中一樣兩次發(fā)射、接受脈沖，他們同樣會記錄發(fā)射或接受的時間并測到與上面完全相同的時間間隔.為了與上述2.1節(jié)情況區(qū)別，我們用ΔτA和ΔτB來表示均勻引力場中密封艙內A、B觀測到的兩次脈沖之間的時間間隔，也就是他們各自的固有時.根據2.1節(jié)中（5）式我們可以得到

同樣有ΔτA＞ΔτB，只是此時的結果是在一個均勻引力場中得到的.那么此時A該如何來解釋這個測量結果呢？系統(tǒng)沒有加速運動，脈沖2和脈沖1走過的距離完全相同，那么2.1節(jié)中的解釋當然不可行，對A來說，他靜止于均勻引力場中，然后觀測到兩次脈沖之間的時間間隔大于B觀測到的結果，可以給出以下兩種可能的解釋：

（1）A認為自己的鐘和B鐘都沒有問題，還是完全相同的兩個鐘，由于系統(tǒng)處在引力場中，故脈沖會受到引力的影響，使得脈沖2較脈沖1花費更多的時間傳播到A，導致ΔτA＞ΔτB；

（2）A認為自己的鐘沒有問題，而B發(fā)射脈沖是根據B鐘上面的一個單位時間來發(fā)射的，但是A確實觀測到B發(fā)射兩次脈沖之間的時間間隔小于自己接受到的兩次脈沖之間的時間間隔，那么A只能認為B鐘變慢了．

對于解釋（1），A自己便可反駁這樣的解釋，因為如果是引力影響了光脈沖的傳播，那么這個作為背景的引力對任何脈沖的影響在任何時候都是相同的，不會因為脈沖1和脈沖2發(fā)射時間的不同而不同，那么脈沖1與脈沖2將完全沒有差別，也就不可能會有ΔτA＞ΔτB了，所以解釋（1）是無效的解釋．

對于解釋（2），即A認為B鐘變慢了，這是唯一可能的解釋．那么是什么原因導致B鐘變慢了呢？自然地，我們可以認為是引力導致了B鐘變慢，因為區(qū)別于2．1節(jié)，這里唯一的影響因素就是引力．至此可以得出結論：引力場使時鐘變慢．

由2．1節(jié)、2．2節(jié)便清晰地從等效原理推導出了引力的鐘慢效應．

3 引力紅移

實質上，引力紅移效應同引力鐘慢效應一樣，都可以由等效原理推導出來．這里可以直接從引力使A觀測到B鐘變慢出發(fā)，上述2．2節(jié)中的所有裝置也是處于在一個均勻引力場中，只是這里讓B發(fā)射穩(wěn)定的光波信號給A，這里不失一般性地設B鐘發(fā)射振蕩周期為ΔτB的光波信號；根據2節(jié)中的結論，這樣的一段光信號被A接受，A需要在A認為的ΔτA的時間段內才能接受完這個信號，A測到的這個信號的周期變?yōu)棣う覣，用ν測B和νB分別表示A和B觀測到的這個光信號的頻率，根據ΔτA和ΔτB的關系式（6）可得

也就是說，B發(fā)射頻率為νB的光信號，A接收到這個信號并測量發(fā)現其值變?yōu)棣蜏yB，有ν測B＜νB，產生了“紅移”．與前面的討論一致，A只能夠給出引力使B鐘走得慢的結論，而A觀測到的這個“紅移”來源于自己的時鐘比B快，故也可以說這個紅移現象也是由引力場引起的，由于引力的原因使得A觀測到的光頻變小，發(fā)生引力紅移現象．

愛因斯坦給出的引力紅移公式可進一步寫為

其中，Δφ＝φB-φA，為B到A的引力勢差，由A、B間距離h較小近似可得（A離引力源較遠，故φA＞φB）：

引力紅移公式由引力鐘慢效應推出，故引力紅移和引力的鐘慢效應的本質相同，都通過等效原理推出．

當然，量子理論建立起來以后，也可以利用光的粒子性解釋引力紅移現象，將光波看作一顆顆具有等效質量m＝hω／c2的光子，光子從B運動到A的過程中克服引力做功，能量減小，頻率減小，也可得出與式（7）一致的結論，但這樣的解釋無法與鐘慢效應建立聯系．

4 雙生子問題

雙生子問題，指的是這樣一種現象：兩個年齡相同的人A和B，A留在地球上，B乘坐高速運動的飛船到達另一個星球，然后又飛回來，發(fā)現留在地球上的A比自己老（這當然是一個事實）；但是根據運動的相對性，當地球上的A看到B在運動的時候，在B看來，A也是運動的，如果B認為是A乘坐“地球”飛離自己然后又飛回來，按照上面的討論，那么B就會認為A比自己年輕．同樣的分析方法卻得到了不同的結果，這便是雙生子問題．對于雙生子問題，如果在狹義相對論的范圍內討論，需要忽略飛行者反向運動中的減速、加速過程，在B參考系中要用到兩個慣性系，通過慣性系之間的坐標變換得到飛行者反向運動時的時間突變．盡管這提供了一個雙生子問題的狹義相對論解釋，但中間的時間突變過程難以用清晰的物理圖像來解釋．下面我們將B參考系中的這個時間突變過程對應到減速、加速過程，利用等效原理及2節(jié)中的結論，在廣義相對論的框架下解釋這個問題.

4.1 A參考系

在A參考系中，A停留在地球上，A看見B沿某方向以一個極大的加速度加速離開自己，飛行了h后又飛回來，不失一般性地假設B的加速過程相對于整個長途旅行來說極短.B的速度本來是v（t），是時間t的函數，但是這里可以將其看作常速度v直接計算B的時間膨脹，這個假設對后面的討論沒有影響.用圖5中的世界線來描述整個過程.

圖5 A參考系

A參考系中，PRSQ是A的世界線，PMQ線是B的世界線.停留在地球上的A看B以速度v離開又回來，A、B的固有時分別表示為τA和τB，我們可以得到

可以看出最后兩人再次相遇時，B所經歷的時間小于A所經歷的時間，B比A年輕.

這里需要著重指出，對于A參考系而言，這是一個慣性系.當飛船飛到最遠端處開始減速并最后轉向時（圖5中的M點），這一段過程在慣性系中的坐標時為Δt，而時鐘B的輸出量是作為觀測量的固有時 ΔτB，兩者的關系為當Δt趨于零時，ΔτB也可以忽略.這也是狹義相對論中的加速時鐘原理ACP（accelerated-clock principle）[4]，即慣性系中運動時鐘的輸出與其加速度無關，只依賴于其運動速度.因此，在A參考系中，A自己并沒有經歷加速與減速過程，也不需考慮飛船的加速度及其涉及的等效引力場問題.但對于參考系B而言，B自己是經歷了加速與減速過程的，這是一個非慣性系問題，下面我們對此詳細分析.

4.2 B參考系

首先，在B參考系中給出狹義相對論范疇內的討論[5].可以直接利用圖5來說明B參考系下每個階段A、B固有時的關系.這里需要區(qū)分B參考系下A飛離B和飛向B的兩個慣性系，考慮同時的相對性.如圖5所示，輔助線MR表示在A飛離B時的慣性系下M與R同時，MS表示在A飛向B時的慣性系下M與S同時，而A反向時從第一個慣性系變換到第二個慣性系有一個時間突變，即為圖中的RS階段，這個階段A的固有時為而對應B世界線上M點處B的固有時ΔτB→0.表1中給出狹義相對論下B參考系中各個階段A、B固有時的關系，可以得到與4.1節(jié)中式（10）一致的結論.

表1 B參考系中各階段固有時關系

下面我們在B參考系中將上述狹義相對論下的討論對應到廣義相對論下的討論.圖6的世界線描述廣義相對論范疇下的整個過程.圖中的P、Q、R、S分別與圖5中P、Q、R、S各點對應，輔助線MR、NS表示M與R同時、N與S同時（坐標時同時），A的反向階段RS對應B的MN階段.實際情況中，B在MN階段內減速、加速；狹義相對論下，RS為A的時間突變階段，MN段B的減速、加速過程被忽略進而坍縮為圖5中的M點，但仍有ΔτB→0；廣義相對論下，MN段B認為自已處于均勻引力場中，而A在該引力場中與B相距h的地方經歷RS段.這里我們仍用τA、τB表示A、B的固有時.

圖6 B參考系

①階段，B的世界線為PM段，對應A的世界線為PR段.B與A在同一個時空點P，A以極大的加速度加速到速度v離開B（與4.1節(jié)中一致v近似為常數），加速過程極短可看作發(fā)生在時空點P（相當于上文2節(jié)中的h＝0），故這個階段A、B的固有時完全沒有差別；加速完成后A進入勻速運動階段，這個階段B的固有時是A的固有時是

②階段，B的世界線為MN段，對應A的世界線為RS段.實際情況中，B在MN階段內以一個極大的加速度a先減速再加速，由等效原理可知，B也可以認為自己突然處于一個很強的均勻引力場中，而A在這個引力場的高勢能處.MN段B的固有時記為ΔτB，由前面的假設可知，相對于τB來說ΔτB→0.根據2節(jié)中的討論，A在該引力場中與B相距h，引力勢φB＜φA，故RS階段A的固有時為：由于h極大這個時間不能忽略.

③階段，B的世界線為NQ段，對應A的世界線為SQ段.B感受到的引力場消失后，他再次看到A以速度v返回，這個階段B的固有時同樣為A的固有時仍是而后A減速與B相遇的過程可認為發(fā)生在同一個時空點Q，與①中的討論一致，相遇的過程中A、B的固有時不會有任何差異.

表1中給出狹義相對論下每個階段A、B固有時的關系，與圖6對應.

根據上述討論分別寫出A和B的固有時

式中的τA、τB是最后A、B再次相遇時各自觀測到的時間，式（11）的第二式表示ΔτB相對于τB來說是極小量，實際上B觀測到的時間就是B的固有時：τB＝τB，引入ΔτB的原因在于對于τA，ΔτB這一項前面有這個由于h極大而不可忽略的因子，導致計算τA時必須要考慮這一項.

由

注意這里h為B感受到等效引力時所對應的AB間距離，可得

根據式（11）、式（13）可得出

正好與A參考系中得出的式（10）一致，故在B看來，A、B相遇的時候還是B比A年輕，而且年輕的程度和A參考系中一致.由圖5、圖6及表1，我們將廣義相對論下每個階段與狹義相對論下每個階段對應起來，分析兩個參考系的不對稱性，利用等效原理將B的加速度與引力場等效起來，直接計算引力場引起的鐘慢效應，得出了與A參考系一致的結論.

這里需要著重指出B參考系與A參考系的區(qū)別.對于B參考系而言，當地球或A離開到最遠端處開始減速并最后轉向時（圖6中的RS段），這一段過程對觀測者B而言是非慣性系，B自己能強烈感受到自己經歷了一個加速與減速的非失重過程.因此B可以等效認為自己與A均處于引力場中.引力場的鐘慢效應（B處于低勢能處，A處于高勢能處，B鐘比A鐘慢）導致A鐘比B鐘塊，兩者之比為當ΔτB→0時，則a→∞，但兩者乘積ΔτBa→const，因此ΔτA不能忽略，在B參考系中應該考慮飛船反向加速所對應的引力效應，這一過程對應的ΔτA＝（見表1），它起決定作用.

我們也可以給出最簡單的數學幾何解釋，利用閔可夫斯基空間中測地線的性質來理解雙生子問題[6]，四維時空中世界線的長度是絕對的，不論在哪個參考系、哪個坐標系中，對任何觀察者而言世界線的長度都不變，即守恒，既然A參考系中A的世界線是測地線，長度取極大值，那么A經歷的時間自然最長，在A、B參考系中討論得出的結果一定都是A比B老.

5 結語

我們在廣義相對論的范疇內，利用勻加速系統(tǒng)和均勻引力場的等效性，推導出了等效原理的兩個基本推論——引力場的鐘慢效應、引力紅移效應，并且用清晰的物理圖像給出雙生子問題在廣義相對論下的等價解釋.以上討論是廣義相對論的一個極好的應用，有利于學生更深刻地理解愛因斯坦等效原理和廣義相對論.

[1]James B.Hartle.Gravity：An Introduction to Einstein’s General Relativity[M].世界圖書出版公司.2008.

[2]梁燦彬，曹周鍵.從零學相對論 連載⑨[J].大學物理，2013（3）：61-65.

[3]梁燦彬，曹周鍵.從零學相對論 連載○14[J].大學物理，2013（8）：59-65.

[4]Mainwaring S R，Stedman E.Accelerated clock principles in special relativity[J].Phys.Rev.A，47，1993：3611-3619.

[5]楊志萬.閔氏幾何法解析“雙生子佯謬”及結果討論[J].大學物理，2012（9）：27-29.

[6]趙崢.相對論教學中的若干問題[J].大學物理，2011（3）：5-10.