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        關(guān)于一道光學(xué)習(xí)題的分析與思考

        2015-07-02 12:39:30
        物理與工程 2015年4期
        關(guān)鍵詞:虛像法線棱鏡

        王 瑤

        (鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院,河南 鄭州 450001)

        在趙凱華和鐘錫華先生編著的《光學(xué)》教程中,幾何光學(xué)部分有這樣一道習(xí)題:

        光線射入如圖1所示的棱鏡,經(jīng)兩次折射和反射后射出.(圖中畫出了棱鏡的某一截面,簡稱為棱鏡,后文中皆用此約定——作者注.)

        (1)證明偏向角與入射方向無關(guān),恒等于2α;

        (2)在此情況下,能否產(chǎn)生色散?

        注:棱鏡內(nèi)實際光線的交點為O;

        入射光線與出射光線的延長線交點為O′;

        兩次折射法線的交點為O″.

        圖1

        1 問題解答

        (1)在此,提供與鐘錫華先生等編著的《光學(xué)·習(xí)題思考題解答》中不同的另一種較為簡便的解題方法(∠O″DO=):

        如圖1所示,易知α=π-∠1-∠2=i3+i4,故在△AOB中,∠AOB=π-2α,即∠COD=π-2α,?∠OCP+∠ODP=π.

        ∠O′CO″= ∠O′DO″

        因此,∠CO′D=π-2α,即偏向角δ≡2α,與入射角方向無關(guān),且由i′1=,可得到i1=i2.

        *在《光學(xué)·習(xí)題思考題解答》中,關(guān)于這道題目的作圖是有誤的.∠COD,∠CO′D,∠CO″D大小都為π-2α,故圖1中,O,O′及O″應(yīng)在C,D,P三點所確定的圓上.如圖1所示,若線段OC在其法線上方,則線段OD也必然在其法線上方,才能保證∠COD大小為π-2α.

        (2)由于任何波長的光線出射方向都相同,因此不能發(fā)生色散.在此,作為補充,進行另外一些分析.

        ①光線由C點垂直入射時,光束在棱鏡內(nèi)的光路關(guān)于PQ對稱.

        證明如下:

        如圖2所示,棱鏡關(guān)于PQ對稱,入射點為C,作BC⊥PC;作AD,使其與BC關(guān)于PQ對稱,連接AB,可知AB⊥PQ,現(xiàn)要證明CB-BAAD為光路,只需證明∠3=∠4.

        在四邊形CPMB中,

        在直角三角形△QEB中

        圖2

        ② 光線由C點非垂直入射(圖3)

        由入射點C依次作關(guān)于兩次反射界面的對稱點,得到其虛像C″,如圖3所示.由此可見,在棱鏡內(nèi)部的反射并不能改變兩束光線的夾角.因此,出射點D1,D2不可能重合.(圖3中法線方向均由棱鏡外指向棱鏡內(nèi).)

        圖3

        2 對該現(xiàn)象原因的分析

        如圖4所示,把棱鏡的4條邊平移到相同的起點,作出入射界面NP在兩次反射中的虛像,可得a,b,c,d,e5條線段之間的夾角都為,且線段a關(guān)于c的虛像與e平行,e關(guān)于b的虛像與d平行.故兩次反射使入射界面NP的虛像與NP有2α的夾角,并與MP平行.而兩平行的折射界面不改變光線的傳播方向,如圖5所示.因此,偏折角恒為2α.

        事實上,這也是求解此題目的另外一種方法.

        3 光線由 PN入射,先后經(jīng)QM、QN反射,并由 PM出射的條件探究

        影響因素的分析

        首先猜想幾種影響因素:

        (1)光在棱鏡中的相對折射率n[設(shè)其中最大頻率光線折射率為n1(即最大折射率),最小折射率為n2];

        (2)入射點C的位置;

        (3)入射角大小i;

        (4)棱鏡形狀(α角大?。?

        圖4

        圖5

        圖6

        如圖6所示,畫出整個棱鏡先后關(guān)于反射界面QM,QN的虛像,N關(guān)于QM的對稱點為N′,N′,P′,M關(guān)于QN的對稱點分別為N″,P″,M″.P″N″//PM.經(jīng)過虛像C″,光線依次通過QM″,QN到達PM后出射,此即為光線由PN入射,先后經(jīng)QM,QN反射,并由PM出射的充要條件.

        如圖6所示,作C″F⊥MP,設(shè)P″N″=PM=l,C″N″=l′(0≤l′≤l),光線從界面N″P″法線左側(cè)(對應(yīng)于圖1即法線上方)入射時,入射角i>0,∠FC″D>0;光線從該法線右側(cè)(對應(yīng)于圖1即法線下方)入射時,入射角i<0,∠FC″D<0.

        在 △QN″P″中,由正弦定理可得,QN″=

        在△QN″M中,由正弦定理可得,

        根據(jù)α的取值范圍劃分,可得到表1.

        表1 化簡光路圖

        續(xù)表

        根據(jù)α的取值范圍,對應(yīng)于化簡后的光路圖,容易得出表2的結(jié)果.

        至此,對于光線由該棱鏡PN入射,先后經(jīng)QM,QN反射,并由PM出射的條件已討論完畢.

        表2 出射條件

        續(xù)表

        4 分析與討論

        4.1 入射點C的位置

        由表1左側(cè)的3幅的光路圖可以得到,若0<α當(dāng)時,光線須從法線下方入射;若,當(dāng)時,光線須從法線上方入射,才能先后經(jīng)QM,QN反射,并由PM射出.

        4.2 存在盲區(qū)的α臨界值

        所謂盲區(qū),這里指α值在一定范圍內(nèi)時,入射點在入射界面PN上存在不論i為何值,在界面PM上都無任何出射光線的區(qū)域.

        4.3 出射光線展寬

        若入射光線可由MP界面完全射出,則出射光線展寬為(設(shè)D1,D2分別為最大、最小頻率光線的出射點)

        表3 盲區(qū)存在分析

        [1]趙凱華,鐘錫華.光學(xué)(上冊)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1984.

        [2]鐘錫華,駱武剛,鄧淑琴.光學(xué)習(xí)題思考題解答[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006.

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