浦天舒

（東華大學(xué)理學(xué)院，上海 201620）

弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)是一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置比較簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)性物理實(shí)驗(yàn).然而，由于弦的振動(dòng)是由作為振源的音叉或簧片的振動(dòng)驅(qū)動(dòng)的，所以實(shí)驗(yàn)中弦線的振動(dòng)并非兩端固定的弦的自由振動(dòng).對(duì)于兩端固定的弦的自由振動(dòng)形成的駐波，其波腹處振幅的大小是弦的初始橫向位移的兩倍，但對(duì)于一端接有振源（例如音叉）、另一端固定的弦的振動(dòng)形成的駐波，其波腹處的振幅顯然不等于振源振幅的兩倍.這難免會(huì)引起學(xué)生的困惑.事實(shí)上，若不存在阻力，此時(shí)的振幅將是無(wú)窮大，實(shí)驗(yàn)中的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)實(shí)際上是存在阻力時(shí)的結(jié)果.因此，對(duì)于一端接有振源的弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的研究必須考慮阻力的影響.

我們現(xiàn)在遇到的實(shí)際上是所謂“沒(méi)有初始條件的問(wèn)題”[1]：即一根長(zhǎng)為l，線密度為ρ的弦，其一端x＝0固定，另一端x＝l處接有振源，作振幅為u0、角頻率為ω的簡(jiǎn)諧振動(dòng)u0sinωt，在經(jīng)歷了一個(gè)很短的時(shí)間以后，初始條件所引起的自由振蕩衰減到可以認(rèn)為已經(jīng)消失，這時(shí)弦的振動(dòng)完全是由振源的振動(dòng)引起的穩(wěn)恒振蕩，如圖1所示.注意此時(shí)音叉的振幅u0比駐波波腹的幅度小得多，可看作波節(jié)[2].

圖1 接振源的弦上的駐波

由于弦線實(shí)際上是在阻尼介質(zhì)（空氣）中振動(dòng)，設(shè)u為弦振動(dòng)時(shí)的橫向位移，阻力可看成與橫向速度?u／?t成正比，所以可設(shè)弦的單位長(zhǎng)度所受的阻力F＝-R?u／?t，其中的比例常數(shù)R叫做阻力系數(shù).于是，若振動(dòng)時(shí)弦線上的張力為T(mén)，當(dāng)振幅不太大時(shí)，由牛頓第二定律可以得到弦在阻尼介質(zhì)中的振動(dòng)方程為

邊界條件是

為了計(jì)算方便，在上述邊界條件中u0sinωt即Imu0eiωt寫(xiě)成了u0eiωt，這就必須約定，在算出的最后結(jié)果中也應(yīng)取它的虛部.

因?yàn)橄业恼駝?dòng)在時(shí)間上是簡(jiǎn)諧的，所以對(duì)方程（1）分離變量后可以得到如下通解

式中，A、B是兩個(gè)積分常數(shù)，等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)表示自波源x＝l向固定端x＝0傳播的入射波，第二項(xiàng)表示由固定端反射回來(lái)向波源方向傳播的反射波，k為分離變量時(shí)所引入的常數(shù)，滿(mǎn)足

它為一復(fù)數(shù)，可設(shè)

表明現(xiàn)在波在空間上是衰減的.將式（5）代入式（4），可以解出R

所以，若測(cè)出了上式右邊各個(gè)量，便能算出阻力系數(shù)R.為此，須使弦的振動(dòng)處于駐波狀態(tài).

把式（2）的邊界條件代入式（3）得到

因此有B＝-A，以及A（eαleiβl-e-αle-iβl）＝u0，此式成立的條件是其虛部為零，所以有

當(dāng)然理論上也存在使式A（eαleiβl-e-αle-iβl）＝u0的實(shí)部為零的狀態(tài)，則2，…），以及然而這是x＝l處于波腹的狀態(tài).亦即在理論上如果振源音叉的振幅足夠大，也可使x＝l處為波腹.但對(duì)于通常的實(shí)驗(yàn)裝置而言，音叉的振幅很小，所以只討論式（8）所表示的駐波（當(dāng)存在阻力時(shí)實(shí)際上是行駐波）狀態(tài).現(xiàn)在式（3）可寫(xiě)成

其振幅為

波腹或波節(jié)的位置可以通過(guò)令U（x）對(duì)x的導(dǎo)數(shù)U′（x）＝0求得.因

所以U′（x）＝0，亦即

式（8）提示我們?cè)诩凂v波狀態(tài)時(shí)波腹位于x＝l／2n，…，（2n-1）l／2n等n個(gè)點(diǎn)處，波節(jié)位于x＝0，l／n，…，（n-1）l／n，l等n＋1個(gè)點(diǎn)處，由式（13）可知波腹和波節(jié)將分別向波源方向和固定端方向偏離一個(gè)小量.因此可設(shè)距離固定端的第n個(gè)波腹（或距離振源的第一個(gè)波腹）位于

式中δxloopn為距離固定端的第n個(gè)波腹位置與純駐波時(shí)波腹位置的偏離量，把它代入式（13）則有

由于αδxloopn、δxloopn都是小量，可利用展開(kāi)式以及sin把它們代入式（15）可解出

于是距離固定端第n個(gè)波腹的振幅為

由于αδxloopn、δxloopn很小，故上式可近似為

類(lèi)似地，可設(shè)距離固定端的第n個(gè)波節(jié)位置與純駐波時(shí)波節(jié)位置的偏離量為δxnoden（固定端為第1個(gè)波節(jié)點(diǎn)），因δxnoden是向固定端的偏離量，故可設(shè)第n個(gè)波節(jié)點(diǎn)的位置為

另外，由式（13）可知現(xiàn)在x＝l并非真正的波節(jié)點(diǎn)，而是在略小于x＝l處（第n＋1個(gè)波節(jié)點(diǎn)）.將式（19）代入式（13）可解出

因此距離固定端第n個(gè)波節(jié)的振幅可近似為

可見(jiàn)由于存在阻力，波腹的振幅不再是無(wú)窮大，而波節(jié)處的振幅也不是零.令

可把方程（22）寫(xiě)成如下w的多項(xiàng)式形式：

這樣便可通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出Uloopn和Unoden亦即r，由方程（23）解出w，則

因ω＝2πf（f為振源振動(dòng)頻率），再把式（8）和式（24）代入式（6），則得到

注意式（6）中的T、α、β并不是互相獨(dú)立的，α、β實(shí)際上都與T有關(guān)，所以w也與T有關(guān).

例如，當(dāng)振源頻率f＝119Hz，l＝1.300m，在n＝2的情況下，測(cè)得張力T＝2.1733N（砝碼加吊鉤的重量），2Uloopn＝10.0mm，2Unoden＝1.0mm，即r＝10，把它代入多項(xiàng)式方程（23），用 Matlab中的roots語(yǔ)句[3]很容易解出w的一個(gè)根是w＝1.106 251 870 629 305，將以上數(shù)值代入式（25），得到R≈0.0044kg·s-1·m-1.若r的測(cè)量不確定度（近似標(biāo)準(zhǔn)差）取σr≈1，則由式（23）可算得w的標(biāo)準(zhǔn)差σw≈0.01，可見(jiàn)R的測(cè)量精度受σw的影響最大，故σR≈Rσw／（wlnw）≈0.0005kg·s-1·m-1.因此可把R的測(cè)量結(jié)果寫(xiě)為

而由式（24）可算出n＝2時(shí)的α≈0.155m-1，代入式（16）和式（20），可算得自x＝0點(diǎn)算起的第n（＝2）個(gè)波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)（也是從振源算起的第一個(gè)波腹點(diǎn)和第二個(gè)波節(jié)點(diǎn)）相對(duì)于純駐波狀態(tài)時(shí)的偏離量約為

其中，δxloopn是往波源方向的偏離量，δxnoden是向固定端方向的偏離量.可見(jiàn)偏離量很小，同時(shí)也證明了振源處的確可看作波節(jié).

需要指出的是：雖然在計(jì)算R的式（6）或式（25）中并未出現(xiàn)弦的線密度ρ，但若R在一定范圍內(nèi)是一個(gè)常數(shù)，則α事實(shí)上與ρ有關(guān)，即所測(cè)α的數(shù)值實(shí)際上跟所選的弦線有關(guān).另外，張力T的測(cè)量也存在一定的系統(tǒng)誤差，這是因?yàn)樵趫D1的實(shí)驗(yàn)裝置中，當(dāng)弦線拉緊時(shí)滑輪的軸承總是存在一定的靜摩擦力，導(dǎo)致測(cè)得的T會(huì)略為偏小.例如，在n＝2的情況下實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，增減5g左右砝碼時(shí)駐波狀態(tài)并無(wú)明顯變化，這顯然是滑輪軸承存在靜摩擦力的影響所致.

考慮了阻力的作用之后，一方面在理論上避免了無(wú)窮大振幅的出現(xiàn)，另一方面在實(shí)驗(yàn)上又能夠測(cè)出阻力系數(shù)的數(shù)值，既拓展了實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，又從這一看似簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)中看到了理論的指導(dǎo)作用.

[1]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].2版.北京：人民教育出版社，1978：228.

[2]復(fù)旦大學(xué)，上海師范大學(xué)物理系編.物理學(xué)：力學(xué)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1978：394.

[3]李胡錫，姜紅.Matlab循序漸進(jìn)[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，1997：122.

[4]林建偉.弦振動(dòng)駐波分析[J].物理與工程，1995，5（2）：10-14.