☉福建省古田縣第一中學(xué) 蘭詩全

合理猜想從何獲得

☉福建省古田縣第一中學(xué) 蘭詩全

猜想是一種合情推理，是帶有一定直覺的高級認(rèn)識過程．牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)．”美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞言：“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中猜想是合理的，值得尊敬的，是負(fù)責(zé)的態(tài)度，請?jiān)试S我在此向教授所有班級的數(shù)學(xué)教師呼吁：讓我們教猜想吧！”因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視這種猜想的非邏輯方法．事實(shí)上，猜想是解很多數(shù)學(xué)題的思維起點(diǎn)，通過猜想獲得解題的機(jī)智與靈感，通過猜想去捕捉解題的思路與方法，猜想是一種重要的數(shù)學(xué)方法．那么，合理猜想從何獲得？本文結(jié)合例子加以分類探析．

一、從特殊中獲得猜想

一般中有特殊，特殊中又反映一般．在許多數(shù)學(xué)問題的解決中，若直接想一般規(guī)律，往往很困難．如果能以退為進(jìn)，從特殊出發(fā)，理清思路，再從中獲猜想，經(jīng)常能“柳暗花明”．

例1定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意x、）；②當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0．

（1）判斷f（x）的奇偶性與單調(diào)性；

分析：（1）奇函數(shù)，單調(diào)遞減函數(shù)（易得，解略）．

以下重點(diǎn)分析（2）.直接證之，難以入手．細(xì)想一下，左邊有n項(xiàng)，右邊只有一項(xiàng)，左邊無法直接求和，玄機(jī)在哪里？同學(xué)們陷入緊張的思考之中，不時(shí)地交流，討論也熱烈，漾起思維之舟，浪花朵朵.許多同學(xué)認(rèn)為，應(yīng)該可考慮消項(xiàng)，但要消就要裂項(xiàng)，如何裂項(xiàng)？若直接從入手，方向不明，思維量大，操作不易.怎么辦？先解剖一只麻雀.從特殊開始，由特例解開.右邊只有一項(xiàng)由此自然想到中產(chǎn)生，聯(lián)系已知，順理猜測：應(yīng)有f中A是多少？解方程

以上從特殊入手，合理猜想，找到了解題突破口，值得一贊.

二、從類比中獲得猜想

康德語：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn).”這就是說，選出一個(gè)類似的、較易的問題，去解決它，改造它的解法，以便它可以用作一個(gè)模式，從而可以類比猜想，并對所獲得的猜想進(jìn)行加工、完善、論證，常能使問題圓滿解決.

例2已知f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且f（x+2）·［1-f（x）］=1+f（x），f（3）=2，求f（2007）的值.

分析：此題若直接求解，思路不清，難度大.從f（3）=2求f（2007）的值，跳躍度大，不可強(qiáng)攻，只能智取.同學(xué)們的思維閘門又被打開，智慧之泉汩汩流淌.先將條件化，有同學(xué)從式子結(jié)構(gòu)特征大膽類比聯(lián)想公式，再將tanx作為f（x）的特例，則在類比中可獲猜想：f（x）是周期函數(shù).因?yàn)閠anx的周期為，故可進(jìn)一步猜想f（x）的周期是4×2=8.有了以上類比中獲得的猜想，以下證明只是例行的步驟了.

本題思路的突破，還是“從類比中獲得猜想”立下了“汗馬功勞”.真是“一橋飛架南北，天塹變通途”.

三、從對稱中獲得猜想

許多數(shù)學(xué)問題中常常帶有對稱性的特點(diǎn)，或圖形，或結(jié)構(gòu)，或數(shù)字.有時(shí)，只要注意到條件或結(jié)論的對稱性，就不難猜想到正確的結(jié)論.此種方法需要整體的觀察，大膽的推斷，合理的猜想，巧妙的湊配.

例3非負(fù)實(shí)數(shù)a1、a2、…、an滿足a1+a2+…+an=1，求u=的最小值.

令2-ak=xk（k=1、2、3、…、n），則2-xk=ak（k=1、2、…、

n），且x1+x2+…+xn=2n-1.

故當(dāng)a1=a2=…=

以上整個(gè)過程，由對稱獲猜想，邏輯再引領(lǐng)，最后經(jīng)過定奪，同學(xué)們想到了柯西不等式.猜想與邏輯相“輝映”，美不勝收.

四、從方法中獲得猜想

知名的美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“一種解題方法，無論是自己獲得的，或?qū)W來聽來的，只要經(jīng)過了你自己的體驗(yàn)，那么它對你來講，就可成為一種楷模，當(dāng)你在碰到類似題目時(shí)，它就是可供你仿照的模型.”因此，可以從一般解題方法中獲得許多啟發(fā)，進(jìn)行合理猜想.當(dāng)然，這種猜想的關(guān)鍵是細(xì)心觀察，運(yùn)用過去所學(xué)的知識與方法，將生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題.

例4設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足log2（3x-y）+log2（3x+y）=0，求|4x-y|的最小值.

分析：同學(xué)們冥思苦想，解題突破口在哪里？還是從等價(jià)變形開始，在“且行且思”中，聯(lián)系所求，經(jīng)過一番探索，終于在解題方法上適時(shí)作出了合理猜想.

由（2）和（3）得3x＞|y|≥0，則x＞0.

|4x-y|=|x+（3x-y）|=x+（3x-y）=4x-y.

由（1）知3x-y與3x+y的積為定值1，聯(lián)想利用均值不等式求最值的方法，兩正數(shù)的積為定值，和有最小值的原理，合理猜想能否對所求問題進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化再利用均值不等式？以上要求|4x-y|的最小值，只需求4x-y的最小值，如何求呢？關(guān)鍵是4x-y能否轉(zhuǎn)化為3x-y與3x+y的和，從而想到可以用待定糸數(shù)法求.

令4x-y=a（3x-y）+b（3x+y），即4x-y=（3a+3b）x+（-a+

回想整個(gè)解題過程，不時(shí)地探索，不斷地轉(zhuǎn)化，終于從利用均值不等式求最值的方法中獲得大膽的猜想，一步步走向成功.這個(gè)過程雖“艱辛”，但“講道理”，很值得“想通悟透”.

五、從補(bǔ)美中獲得猜想

對稱是一種美，簡單是一種美，和諧是一種美，奇異更是一種美.對數(shù)學(xué)美的追求意識越強(qiáng)，就越能把握與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的和諧美妙關(guān)系，也就越容易產(chǎn)生數(shù)學(xué)歸納、類比、聯(lián)想、猜想等方法.這不僅可以有效解決數(shù)學(xué)問題，而且可以大大提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，開啟數(shù)學(xué)思維，形成良性循環(huán)，達(dá)到“一石多鳥”的效果.

例5已知a、b、c∈（0，+∞），求證：a3+b3+c3≥3abc.

分析：本題當(dāng)然可以用“作差比較法”等，但也不是一蹴而就.想想是否有更佳方法？經(jīng)過一陣討論交流，有同學(xué)果斷猜想可補(bǔ)上一項(xiàng)使其勻稱和諧，可否再應(yīng)用均值不等式等方法證之？但不知補(bǔ)上什么，于是先引進(jìn)參數(shù)t∈（0，+∞），則

取t=abc，得a3+b3+c3+abc≥4abc，即a3+b3+c3≥3abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”.

以上引進(jìn)“t=abc”就是補(bǔ)美所致，是合理猜想的結(jié)果.真是以美啟真，以美啟智，簡捷明了，妙不可言.

總之，猜想在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有著廣泛的應(yīng)用，合理的猜想有利于激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，開啟智慧大門，激活創(chuàng)新思維.以上談了幾點(diǎn)合理猜想的獲得途徑，只是拋磚引玉，請讀者多學(xué)習(xí)猜想，多研究猜想，讓數(shù)學(xué)充滿猜想，讓課堂無限猜想.

1.唐紹友.解題教學(xué)中啟動學(xué)生思維起點(diǎn)的策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2008（6）.

2.吳文堯.例說多元函數(shù)最值的求法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2006（7）.

3.蘭詩全.數(shù)學(xué)模式識別與轉(zhuǎn)化策略［J］.數(shù)學(xué)通訊（教師版），2012（7）.