☉浙江省紹興市高級中學 阮偉強

“二用”一道課本例題的心路歷程

☉浙江省紹興市高級中學 阮偉強

一、問題的提出

古希臘哲學家赫拉克里特曾說過：“人不可能兩次踏進同一條河流.”借用此名言，我們是否可以這樣說：“一個數學教師不可能兩次用相同的方式教同一個例題，因為學生在變，教師的教學理念在變.”就此，筆者在“二用”一道課本例題時，有著深刻的體會與感受，期間，更由于章建躍教授的“意外”參與，收獲了“別樣”的精彩.故將“二用”一道課本例題的心路歷程記載下來，和大家分享.因行文所需，先將課本例題及第（1）問的解答摘錄如下.

題目（人教A版《選修2-1》第109頁例4）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.

（1）求證：PA∥平面EDB；

（2）求證：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小.

解析：如圖2所示，建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設DC=1.

圖1

圖2

（1）連接AC，AC交BD于點G，連接EG.依題意得A（1，0，0），P（0，0，1），因為底面ABCD是正方形，所以點G是此正方形的中心，故點G的坐標為，即PA∥EG.而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，因此PA∥平面EDB.

二、“一用”

“一用”的時間是2009年的11月，對象是使用人教A版教材的第一屆學生（高二年級）.參考《選修2-1教師教學用書》的建議，采用一個課時來完成例題的教學.

1.課堂簡錄

當筆者按課本證法講解第（1）問時，學生中發(fā)出了一陣嬉笑聲，追問何故？竟異口同聲說：“多此一舉！”理由是：既然在平面EDB內作出了直線EG，且在△PAC中，由中位線性質易得PA∥EG，直接可推證出線面平行.這里，光用向量的坐標運算證線線（PA與EG）平行，體現不出坐標法證線面平行的優(yōu)勢和魅力.面對學生的質疑，筆者心中一陣竊喜，在充分肯定學生想法的同時，要求學生說說自己的證法.馬上，有學生給出了下列“向量味”十足的兩個證法：一是證P→A與平面EDB的法向量垂直；二是證P→A與平面EDB共面.

證法1：設平面EDB的一個法向量為n=（x，y，z），由z=0，x+y=0.令z=1得y=-1，x= 1，故n=（1，-1，1）.因為PA?平面EDB，因此PA∥平面EDB.

接下來，當完成第（2）、（3）問的解答后，學生也提出了一個想法：從兩問的解答來看，第（2）問的設置是為第（3）問服務的，呈現出了所求二面角的一個平面角，這樣，求二面角的大小就直接轉化為求的夾角.事實上，沒有第（2）問的鋪墊，也就是不作出二面角的平面角，可利用法向量直接求二面角的大小.

解析：設平面PBC的一個法向量為n1=（x，y，z），由n1·可得x=0，-y+z=0.令z=1得y=1，則n1=（0，1，1）.同理可得平面PDB的一個法向量為n2=（-1，1，0）.因為cos＜n1，所以二面角C-PB-D的大小為60°.同時，有學生看出了直線AC、DE分別是平面PDB、PBC的垂線，從而問題可化歸為求的夾角.

2.課后反思

面對學生對例題第（1）問解法的質疑和解法的再探究，筆者覺得有必要對教材關于例題解法及問題的設置提出下列修改建議：

①第（1）問適宜直接呈現上述證法1，為學生提供利用向量，特別是借助平面的法向量，證諸如線面平行、面面平行（包括垂直）的范例，以彌補教材（第104頁）雖給出了用法向量判定線面位置關系的結論，而無相應配套例題的缺陷，從而確保教材的可讀性和工具的示范作用.同時，適宜用旁白的形式給出思考題：你還有其他用向量證線面平行的方法嗎？你能用綜合法證明嗎？

②當完成第（3）問的解答后，適宜用旁白形式給出思考題：如果不作出二面角的平面角，你能用向量的方法求二面角的大小嗎？試說明用向量法求空間角大小的最大優(yōu)勢在哪里？

基于這樣的修改后，學生也許能較清晰地回答課本第110頁提出的思考題：解決立體幾何中的問題，可用三種方法：綜合法、向量法、坐標法.你能說出它們各自的特點嗎？也更符合課標的要求：能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量法在研究幾何問題中的作用.

3.專家回應

在2010年的2月，筆者利用寒假，將上述課堂簡錄及反思整理成文，以《一道課本例題解法的質疑與探究》為題，投寄給《中小學數學》（高中）雜志社.不久，文章在當年的第6期上發(fā)表.感到特別欣慰的是，雜志主編章建躍教授還就文中的“反思”，專門撰寫了《必須關注教學內容的變革》一文（編后漫筆）.該文中指出：“人教A版給出的解法并不是地道的向量法，有‘為向量而向量’的嫌疑.難怪學生會有‘多此一舉’的質疑.阮老師的教學處理有機智，在學生有質疑時，讓他們自己給出‘向量味’十足的證法.只是，在他的教材修改建議中，又提議用旁白等形式提醒學生用綜合法證明.這種表現很有代表性.事實上，很多老師由于對立體幾何課程改革的敏感性不夠，導致對向量法態(tài)度上的舉棋不定，有的甚至認為中學應取消向量法.當然，這種狀況‘教材和教參的編寫者要負相當大的責任’.”并進而指出：“立體幾何課程改革中，應強調解析方法……從幾何學的發(fā)展角度看，研究方法的進步是標志……另外，高中以學習向量幾何為主已是世界潮流……”最后，指出：“綜上，高中幾何應以向量幾何為主，綜合法應在初中平面幾何中得到更好的訓練.目前的問題是大家對向量法的優(yōu)美和力量注意不夠，需要我們加強研究，改變習慣思維和做法，使向量幾何真正融入高中數學，成為主角.”

三、“二用”

讀罷章教授的“編后漫筆”，筆者有醍醐灌頂之感.為此，在2012年11月，當面對施用人教A版教材的第二屆學生時，就課本例題的教學做了全新的設計.總體思路是：分兩個課時來完成例題的教學，第一課時側重于原問題的探究與適度的改變、拓展；第二課時突出例題的變式探究（基于圖形的變化）.而所有問題的解決，則立足坐標法，結合向量運算來完成.

1.第一課時的設計

首先，將例題的題干“剪輯”為：如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點.

然后，設置下列4個問題：

（1）求證：PA∥平面EDB；

（2）求證：PB⊥DE；

（3）求直線PB與平面EDB所成角的余弦值；

（4）求二面角C-PB-D的大小.

意圖：通過圖形的“簡化”，設置更利于用向量法來解決的空間問題，從而讓學生充分感受向量法的優(yōu)美與力量.

教學流程（簡述）：第（1）問采用“一用”中的兩個證法.第（2）問除了利用坐標法來證明P→B·D→E=0外，有學生提出：不建坐標系，直接利用向量運算來證也十分簡潔.

圖3

解法2：如圖4，分別過C、D作CF、DG垂直PB于F、G.設點F的坐標為（x，y，z），由得（x，y，z-1）= λ（1，1，-1），即x=λ，y=λ，z=1-λ.

圖4

完成上述兩個解法后，教師要求比較各自的特點，學生認為：解法1較之解法2運算更簡潔些，但解法2中兩向量的夾角必為二面角的大小，而解法1有一個缺憾，就是兩法向量的夾角與二面角的大小是相等或互補的關系，需做進一步的判斷，才能得到正確的答案.接著，教師問學生：當較難作出空間所成角時，用坐標法再結合向量運算來解決，怎么樣？學生回答：威力無窮！（教材的旁注）

最后，筆者向學生布置了一個“開放性”的課外作業(yè)：要求從例題出發(fā)，提出至少4個有關空間位置關系判斷，或求空間角大小的問題，并給出相應的證明過程及答案.

2.第二課時的設計

從例題出發(fā)展開“變式”教學，充分發(fā)揮例題潛在的價值與功能.限于篇幅，下面只給出變式問題，具體的解答過程不再給出.

變式1：如圖5，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=a（a＞0）.

（1）求直線PA與平面PBC的夾角的取值范圍；

（2）當a為何值時，二面角A-PB-C的大小為120°；（3）設二面角C-PA-D的大小為θ，直線BP與平面ABCD所成的角為φ，若cosθ=sinφ，求a的值.

意圖：通過側棱PD的長可變，讓學生體會坐標法處理動態(tài)幾何問題的優(yōu)勢，掌握含“參數”的向量運算下，解決空間問題的規(guī)律和注意點.

圖5

變式2：如圖6，在四棱錐PABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的菱形，且∠ADC=60°.

（1）求證：AC⊥平面PBD；

（2）若PD=DA，求PA與BD所成角的余弦值；

（3）當平面PAB與平面PCB垂直時，求PD的長.

意圖：將底面正方形變?yōu)榱庑?，旨在增加建系的難度，讓學生積累靈活建系的經驗與對策，提高不規(guī)則坐標系下，處理幾何問題的能力.

變式3：如圖7，在四棱錐P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD菱形，BD= 2，PD=2，E是PB上的一點，PE=2EB.

圖6

（1）求證：PB⊥平面ACE；

圖7

（2）設二面角D-PA-B為直角，求PC與平面PAB所成角的大小.

意圖：通過底面菱形的一條對角線AC長可變，進一步強化靈活建系的能力，提高處理動態(tài)幾何問題的能力，尤其是含“參數”的運算能力.

課外作業(yè)：從變式2、3出發(fā)，提出值得研究的問題，并給出答案.

四、結束語

“二用”一個課本例題，筆者認識到：從學生的學習需求出發(fā)，加上專家的引領，才能更好地去理解教材，并較好地把握“用教材教”的“度”.總之，鉆研教材，就是要先“入”教材，再“出”教材.沒有對教材的“深入”，也就沒有對教材的“淺出”，更沒有對教材的“超越”.因此，我們有理由相信：隨著自我學習與研究的不斷深入，對課改理念的理解與領悟會更加到位、精確與清晰，屆時，“三用”例題時，定會呈現出又一番亮麗的景色！

1.章建躍.必須關注教學內容的變革［J］.中小學數學（高中），2010（6）.

2.阮偉強.一道課本例題解法的質疑與探究［J］.中小學數學（高中），2010（6）.

3.高敏，王安成.試論數學教師的創(chuàng)造力［J］.中學數學（上），2013（5）.

4.林生，邱美艷.善為道者微妙玄通——以《數學歸納法》為例［J］.中學數學（上），2014（1）.FH