☉杭州外國語學(xué)校 錢衛(wèi)江

問題引領(lǐng)：追求自然生成的概念教學(xué)
——以函數(shù)的單調(diào)性的教學(xué)為例

☉杭州外國語學(xué)校 錢衛(wèi)江

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問題的前提.課堂教學(xué)中，教師應(yīng)精心設(shè)置教學(xué)過程，以問題驅(qū)動學(xué)生參與概念的形成過程，追求自然生成的概念教學(xué).但當前仍然存在著重解題技巧，輕概念生成，忽視對概念本質(zhì)理解的課堂教學(xué)，因而難以有真正意義上的概念建構(gòu).如何確立概念教學(xué)的核心地位，提高課堂教學(xué)的有效性呢？下面以人教A版數(shù)學(xué)“函數(shù)的單調(diào)性”概念的教學(xué)為例，談?wù)劰P者在教學(xué)實踐中的幾點體會.

一、教學(xué)分析

在研究函數(shù)的性質(zhì)時，單調(diào)性是一個重要內(nèi)容.在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時，已經(jīng)重點研究了一些函數(shù)的增減性，只是當時的研究較為粗略，未明確給出有關(guān)函數(shù)增減性的定義，對于函數(shù)增減性的判斷也主要根據(jù)觀察圖像得出，而本小節(jié)內(nèi)容，正是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和提高：給出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的定義，明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個區(qū)間來說的，還說明判斷函數(shù)的增減性既有從圖像上進行觀察的較為粗略的方法，又有根據(jù)定義進行證明的較為嚴格的方法，最好根據(jù)圖像觀察得出猜想，用推理證明猜想的正確性，這樣就將以上兩種方法統(tǒng)一起來了.

由于函數(shù)圖像是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，因此，在本節(jié)教學(xué)時可以充分使用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景，以利于學(xué)生作函數(shù)圖像，有更多的時間用于思考、探究函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì).還要特別重視讓學(xué)生經(jīng)歷這些概念的形成過程，以便加深對單調(diào)性的理解.

二、教學(xué)目標

（1）函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖識教的過程，在這個過程中，讓學(xué)生通過自主探究活動，體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程的真諦，學(xué)會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

（2）理解并掌握函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提高應(yīng)用知識解決問題的能力.

（3）能夠用函數(shù)的性質(zhì)解決日常生活中的簡單的實際問題，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的必要性與重要性，增強學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的緊迫感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性.

三、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

例1圖1是上海今年1月某天的氣溫變化圖.觀察這張氣溫變化圖，提出問題：

圖1

（1）如何描述氣溫θ隨時間t的變化情況？

（2）在區(qū)間［4，14］上，θ隨t的增大而增大這一特征，要是用數(shù)學(xué)符號來刻畫，該如何表述呢？

（3）能不能說，取t1=5，t2=6，t3=8，t4=10，得到相對應(yīng)的θ1，θ2，θ3，θ4的值，有θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在［4，14］上，θ隨t的增大而增大？

（4）能不能說，取該子區(qū)間內(nèi)所有的輸入值t1，t2，t3，…，tn，得到相對應(yīng)的θ1，θ2，θ3，…，θn的值，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn，所以在區(qū)間［4，14］上，θ隨t的增大而增大？

設(shè)計意圖：本例中，搭設(shè)探究問題的臺階，讓學(xué)生自己悟出“函數(shù)單調(diào)性”.通過實際生活中的例子讓學(xué)生對圖像的上升和下降有一個初步感性認識，教師借助有效提問，引出圖像升降變化的話題，引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，為構(gòu)建“函數(shù)的單調(diào)性”概念做了鋪墊.另外，通過典型、豐富的實際背景的引入，引導(dǎo)學(xué)生開展分析、比較、綜合的活動，并概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性，是獲得概念的常用并且是行之有效的方法.

2.交流互動，形成概念

圖2

引導(dǎo)學(xué)生畫出各函數(shù)的圖像（如圖2）并進行分類描述圖像是上升的、下降的（增函數(shù)、減函數(shù)），同時明確函數(shù)的圖像變化（單調(diào)性）是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)，同時提出問題：

（1）如何用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)圖像的上升呢？（學(xué)生交流討論、嘗試提煉）

初步交流結(jié)果：已知函數(shù)f（x），如果對于任意的x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）成立，我們就說，函數(shù)f（x）是增函數(shù).

（2）對于函數(shù)f（x）=x2，易知此函數(shù)圖像在（0，+∞）上呈上升趨勢，如何用數(shù)學(xué)語言描述？

生1：在y軸右邊，圖像呈上升趨勢；在y軸左邊，圖像呈下降趨勢.對于任意的正數(shù)x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）成立；對于任意的負數(shù)x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）成立.

師：很好！對于任意的x1，x2∈（0，+∞），當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）成立，我們就說，函數(shù)f（x）=x2在（0，+∞）上是增函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性概念是函數(shù)的一個局部性質(zhì)，所以在取點的時候，一定要點明所在的區(qū)間.

總結(jié)概念：一般地，函數(shù)f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，那么就說函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)（圖3）.

通過設(shè)計恰當?shù)膯栴}串，使學(xué)生在問題解決的過程中不斷完善概念，只有當學(xué)生有了實踐的體驗，概念中一些抽象的關(guān)鍵詞才能深刻地印在學(xué)生的腦海中.

（3）類比單調(diào)增函數(shù)概念，你能給出單調(diào)減函數(shù)的概念嗎？

（4）你能找出圖1中的單調(diào)區(qū)間嗎？

（5）能說出已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？請同學(xué)們舉例說明.

圖3

通過以上問題串的設(shè)置，學(xué)生體驗數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，體會蘊含其中的數(shù)學(xué)思想方法，從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)價值的最優(yōu)化和最大化.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》提出：“概念教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生積極參與概念生成過程的分析、比較、歸納、綜合、抽象、概括等一系列思維活動，通過火熱的思考，使學(xué)生的直接經(jīng)驗獲得抽象與提升，自然地、水到渠成地實現(xiàn)“概念的形成”，并從中體會數(shù)學(xué)的理性精神.

3.深化辨析，內(nèi)化概念

在初步形成數(shù)學(xué)概念以后，再對概念的辨析是不可或缺的環(huán)節(jié)，在課堂教學(xué)中，教師可根據(jù)概念的盲點、難點設(shè)置一些問題，引導(dǎo)他們辨析，加深學(xué)生對概念的理解與記憶.

例3下面說法對嗎？

（2）若函數(shù)f（x）在（1，3］和（3，5）上均為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在（1，5）上為增函數(shù).

學(xué)生在這一組題目的解答中，逐步完善了對新建立的概念的認識，把握概念的本質(zhì)屬性.

②當1＜2時，f（1）＜f（2）；當2＜3時，f（2）＜f（3）；當3＜4時，f（3）＜f（4），所以是單調(diào)增函數(shù).

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會符號化、形式化的必要性.另外，通過上述判斷題，讓學(xué)生體會到比較不僅僅是發(fā)生在具體的數(shù)值之間，而且是任意兩個函數(shù)值之間都要比較.

4.應(yīng)用示例，提升概念

教師再舉一例進行說明，如圖4所示.

進一步提問：函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A，B上都是增（減）函數(shù)，何時函數(shù)在A∪B上也是增（減）函數(shù).將函數(shù)圖像進行變形（如x＜0時圖像向下平移），如圖5所示.

再一次回歸定義，強調(diào)任意性.

例5畫出函數(shù)f（x）=3x+2的圖像，判斷單調(diào)性，并加以證明.

在證明的過程中，強調(diào)從定義出發(fā)，并給出一般的步驟：設(shè)元—代入—作差—變形—判斷.

設(shè)計意圖：函數(shù)單調(diào)性定義產(chǎn)生是本節(jié)課的難點，難在：如何使學(xué)生從描述性語言過渡到嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言.而對嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言的準確理解及正確應(yīng)用更是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，這里通過問題研討體現(xiàn)了以學(xué)生為主體，師生互動合作，來突破難點.

5.歸納小結(jié)，提高認識

知識內(nèi)容的總結(jié)：函數(shù)單調(diào)性定義，判斷函數(shù)單調(diào)性的方法（圖像、定義），證明函數(shù)單調(diào)性的方法（定義）.

思想方法的總結(jié)：數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、類比等.

圖4

圖5

四、概念教學(xué)的一點反思

人們對數(shù)學(xué)概念的認識都要經(jīng)歷由實踐—認識—再實踐—再認識的不斷深化的過程.學(xué)生要形成、理解和掌握基本的數(shù)學(xué)概念也是一個十分復(fù)雜的認識過程，這就決定了對較難理解的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不能一步到位，而是在運用中不斷地深化，不斷地提高.

本課例中，函數(shù)單調(diào)性是個重要概念，因此對此概念的獲得要讓學(xué)生慢慢體會其生成的過程.通過氣溫變化圖，提出四個問題，讓學(xué)生積極投入到設(shè)計的問題思考中，為感知、體驗單調(diào)性的概念做鋪墊；第二組在形成概念時的4個問題，讓學(xué)生自主體驗，自然生成單調(diào)性的概念；第三組，通過對一些問題的辨析、討論、領(lǐng)悟，進一步加速對單調(diào)性概念的內(nèi)化；而最后的應(yīng)用，能將學(xué)生對概念的認識提高到一定的高度.

總之，要抓好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，使學(xué)生透徹而牢固地掌握數(shù)學(xué)概念是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵所在，作為一個數(shù)學(xué)教師，要根據(jù)概念教學(xué)的具體要求，結(jié)合教學(xué)實際，大膽開拓、銳意進取，優(yōu)化概念教學(xué)設(shè)計，把握概念教學(xué)過程，真正使學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗和創(chuàng)造，達到認識數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)的目的.FH