☉安徽省宣城中學(xué) 戴珣

問題情境類比探究自我評價(jià)
——橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)

☉安徽省宣城中學(xué) 戴珣

一、教材分析

“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是學(xué)習(xí)圓以后又一個(gè)二次曲線的實(shí)例.從知識(shí)上說，它是對前面所學(xué)的運(yùn)用解析法研究曲線的一次實(shí)際演練，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)和雙曲線、拋物線問題的基礎(chǔ)；它的學(xué)習(xí)對整個(gè)這一章具有導(dǎo)向和引領(lǐng)作用，是研究曲線方程的深化和鞏固.推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法對雙曲線、拋物線方程的推導(dǎo)具有直接的類比作用，為學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線內(nèi)容提供了基本模式和理論基礎(chǔ).因此本節(jié)課具有承前啟后的作用，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容.

二、學(xué)情分析

（1）學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，初步熟悉了求曲線方程的一般方法和步驟，具備主動(dòng)探究橢圓知識(shí)的基礎(chǔ).

（2）根據(jù)日常生活中的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對橢圓有了一定的認(rèn)識(shí)，但仍沒有上升到成為“概念”的水平，將感性認(rèn)識(shí)理性化將會(huì)是一個(gè)挑戰(zhàn).

（3）在初中階段沒有涉及含兩個(gè)字母、兩個(gè)根式的方程化簡問題.

（4）現(xiàn)在學(xué)生普遍對數(shù)學(xué)有一定的畏難情緒，對于較復(fù)雜的計(jì)算問題，往往不知如何入手，計(jì)算能力較弱.由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)間還不長、學(xué)習(xí)程度也較淺，且受高二這一年齡段學(xué)習(xí)心理和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的影響，在學(xué)習(xí)過程中難免會(huì)有些困難.如：由于學(xué)生對利用坐標(biāo)法解決幾何問題掌握還不夠，故從研究圓到橢圓，學(xué)生思維上會(huì)存在障礙，不過他們班級的學(xué)習(xí)氣氛非常濃厚.

三、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)目標(biāo)：記住橢圓的定義并會(huì)推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）能力目標(biāo)：通過對橢圓的定義的理解和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，進(jìn)一步掌握求曲線方程的方法，提高運(yùn)用坐標(biāo)法的自覺性以及解決幾何問題的能力．

（3）情感目標(biāo)：通過日常生活中對橢圓的初步感知以及橢圓的幾何曲線，感知幾何圖形的曲線美；建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的對稱美；通過研究方程揭示橢圓的內(nèi)在本質(zhì)特性與規(guī)律，充分展示數(shù)與形結(jié)合的和諧美．

四、教學(xué)設(shè)計(jì)

基本流程：具體情境、直觀感知—自主探究、形成概念—類比探究、導(dǎo)出方程—初步運(yùn)用，強(qiáng)化理解—自我評價(jià)、課堂小結(jié).

（一）具體情境，直觀感知

情境：同學(xué)們見過橢圓嗎？可以舉出一些橢圓的例子嗎？（學(xué)生踴躍回答）我們看下面兩個(gè)圖片：中國第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”衛(wèi)星運(yùn)行情況和油罐車.

師（追問）：你能找出其中的橢圓嗎？怎樣才能精確地設(shè)計(jì)衛(wèi)星運(yùn)行軌道？怎么樣求出油罐車的截面的方程呢？

設(shè)計(jì)意圖：好的引入是一節(jié)課成功的一半.本節(jié)課筆者這樣設(shè)計(jì)引入，滲透數(shù)學(xué)的本質(zhì)來源于生活，體現(xiàn)圓錐曲線在生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用的思想.采用幾何畫板，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的熱情和興趣.

（二）自主探究，形成概念

師：能否解決下面的問題：以上圖中的油罐車為例，已知一個(gè)運(yùn)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的任一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離的和為3m.試求這個(gè)橢圓的方程.

師：（引導(dǎo)學(xué)生將上述問題抽象成數(shù)學(xué)問題）請同學(xué)們拿出事先準(zhǔn)備的紙板和圖釘，兩人共同完成實(shí)驗(yàn).（同時(shí)多媒體展示）

實(shí)驗(yàn)步驟：（1）取一條細(xì)繩；（2）把它的兩端固定在板上的兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2；（3）用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)看看畫出的圖形.同時(shí)，教師在黑板上畫出橢圓，完成后，教師可以在大屏幕上通過幾何畫板再次演示.接下來，讓學(xué)生歸納出橢圓的定義.

投影展示：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點(diǎn)P到F1、F2的距離的和為2a（2a＞2c）.求橢圓的方程.

設(shè)計(jì)意圖：自然界處處存在著橢圓，如何用自己的雙手畫出橢圓呢？在教學(xué)過程中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性.讓學(xué)生動(dòng)起來，自己動(dòng)手，由數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)自己得出橢圓的定義，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力.通過幾何畫板展示橢圓的形成過程，有利于學(xué)生主動(dòng)地獲取知識(shí)，可以讓學(xué)生看得更加清楚，繩長不變，兩定點(diǎn)之間的距離不變，改變的是動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)間的距離，體現(xiàn)哪些量不變，哪些量改變.這樣更有利于學(xué)生自己歸納出橢圓的定義，一切順理成章，水到渠成.

（三）類比探究，導(dǎo)出方程

類比圓的方程的推導(dǎo)過程，推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.學(xué)生在小組內(nèi)討論，思考后推薦學(xué)生全班交流.

學(xué)生1：按照求曲線方程的步驟進(jìn)行，先建立直角坐標(biāo)系，以F1F2所在直線為x軸，F(xiàn)1為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

學(xué)生2：這樣建系不好，建立直角坐標(biāo)系一般應(yīng)符合簡單和諧化的原則.

步驟一：建立直角坐標(biāo)系.

以F1F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則F1、F2的坐標(biāo)分別為（-c，0）、（c，0）.

步驟二：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).

設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）.

步驟三：列等式.

根據(jù)橢圓的定義知：|PF1|+|PF2|=2a.

步驟四：代入坐標(biāo).

步驟五：化簡方程.

不會(huì)化簡，請其他小組的同學(xué)幫忙解決.

學(xué)生3：化去方程中的根式應(yīng)該用移項(xiàng)平方、再移項(xiàng)再平方的辦法.

兩邊再平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2.

整理得：（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

消去d即可得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

展示到這里教室里想起了熱烈的掌聲.

師：學(xué)生3、4已經(jīng)推導(dǎo)出了橢圓的方程，但此形式還不夠簡潔，且x、y的系數(shù)形式不一致，為了使方程形式和諧且便于記憶和使用，我們應(yīng)該如何將方程進(jìn)行變形呢？（這里，數(shù)學(xué)審美成為研究發(fā)現(xiàn)的動(dòng)力）

學(xué)生5：因?yàn)閍2（a2-c2）≠0，所以兩邊同除以a2（a2-c2），得

學(xué)生6：方程還不具有對稱美，可以更簡潔一點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義知道a2-c2＞0，所以可設(shè)a2-c2=b2（b＞0），于是得到焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2（c，0）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1（a＞b＞0）.

師：與方程有關(guān)的三個(gè)數(shù)a、b、c中，誰最大，且滿足什么關(guān)系？橢圓的焦點(diǎn)位置如何確定？

學(xué)生通過小組討論得出.

學(xué)生7：（1）與方程有關(guān)的三個(gè)數(shù)a、b、c中，a最大，且滿足b2=a2-c2．

（2）橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中x2與y2的分母的大小來確定，焦點(diǎn)在分母大的項(xiàng)所對應(yīng)的坐標(biāo)軸上．

師：若焦點(diǎn)在y軸上，同理可推得焦點(diǎn)為F1（0，-c）、F2（0，c）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

學(xué)生8：若焦點(diǎn)在y軸上，可得焦點(diǎn)為F1（0，-c）、F2（0， c）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

設(shè)計(jì)意圖：通過回憶圓的方程的推導(dǎo)過程，使學(xué)生不斷復(fù)習(xí)舊知識(shí)，溫故知新，讓學(xué)生自己動(dòng)手推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，推導(dǎo)過程中遇到的問題，由學(xué)生自己提出并解決，學(xué)生得到方程（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）時(shí)，類比圓的簡潔性，將橢圓方程變形，設(shè)計(jì)思考題，體現(xiàn)a、b的幾何意義.這樣類比，學(xué)生容易接受，知識(shí)層層遞進(jìn)，也為下節(jié)課學(xué)習(xí)幾何性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)也使得標(biāo)準(zhǔn)方程的形式更為和諧、簡潔.

（四）初步運(yùn)用，強(qiáng)化理解

選取課本上的例題，運(yùn)用橢圓的定義及待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例1求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：“已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸？”這是本課時(shí)的基礎(chǔ)題，要求學(xué)生熟練掌握.

例2已知△ABC的一邊BC固定，長為6，周長為16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.

解答過程略.

例3已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），并且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解答過程略.

設(shè)計(jì)意圖：為了鞏固所學(xué)，也為了加強(qiáng)對知識(shí)的記憶，設(shè)計(jì)例題，體現(xiàn)先定位，再定量的思想，為以后處理問題做好準(zhǔn)備工作.利用橢圓的定義解題會(huì)使解題較簡便，初步給學(xué)生一個(gè)印象，為今后其他圓錐曲線的相關(guān)問題提供解決途徑，提高解題能力.

（五）自我評價(jià)，課堂小結(jié)

師：這節(jié)課你認(rèn)為有哪些關(guān)鍵詞？有哪些收獲？能否歸納本節(jié)課的主要內(nèi)容？

兩個(gè)方法：去根號的方法，求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法；

三個(gè)意識(shí)：求美意識(shí)，求簡意識(shí)，猜想意識(shí).

其他學(xué)生的發(fā)言略.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己小結(jié)，不但能檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)得如何，也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，同時(shí)再一次培養(yǎng)了學(xué)生的概括能力.最重要的一點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)到了成就感.在此，還可以對學(xué)生進(jìn)行德育教育，給學(xué)生以信心.

五、教后反思

1.關(guān)于教學(xué)內(nèi)容的思考

本節(jié)課以生活中的橢圓為著眼點(diǎn)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的目的．在教學(xué)過程中，為了使教學(xué)目標(biāo)得到有效的落實(shí)，在以下環(huán)節(jié)上進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)：在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的環(huán)節(jié)中，對前面求圓的方程的步驟和方法進(jìn)行了復(fù)習(xí)，加強(qiáng)了教學(xué)中學(xué)生的參與，以學(xué)生小組討論、展示為主；凸顯學(xué)生主體，通過學(xué)習(xí)小組討論、展示，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，把課堂還給學(xué)生，在交流中“暴露思維”，并以此為基礎(chǔ)和平臺(tái)進(jìn)行針對性辨析、交流、討論、提升.針對學(xué)生的情況，在例題選擇上也力求從中低檔題起步，目的則在于進(jìn)一步加深學(xué)生對橢圓定義的理解，給學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行觀察、猜想、討論，培養(yǎng)他們運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)和用數(shù)形結(jié)合的思想解題，從而提高課堂效率．

2.關(guān)于教學(xué)方法的思考

在教法的選擇上，使學(xué)生直接參與課堂教學(xué)，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用；啟發(fā)、討論的教學(xué)形式既增加了教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的交流，又能使他們的思路更加開闊，思維更加敏捷，從而引發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣．在教學(xué)手段的選擇上，也力求克服單純展示課件的教學(xué)形式，使多媒體輔助教學(xué)的作用得以充分發(fā)揮，從而使學(xué)生想象、發(fā)現(xiàn)的空間更加廣闊.