摘 要：探討了一類捕食者種群和食餌種群同時(shí)具有非常數(shù)收獲率的生態(tài)系統(tǒng).應(yīng)用微分方程定性理論， 討論了系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及正平衡點(diǎn)周圍存在極限環(huán)的充分條件.

關(guān)鍵詞：收獲率；細(xì)焦點(diǎn)；穩(wěn)定性；極限環(huán)

基金項(xiàng)目：北京市優(yōu)秀人才資助項(xiàng)目（2014000020124G065）

1 引言

本文探討食餌種群具有非線性的密度制約而且捕食者和食餌同時(shí)具有非常數(shù)收獲率的生態(tài)系統(tǒng)，模型如下：

其中：，顯然為正數(shù)，為負(fù)數(shù).

記.在點(diǎn)，一次近似系統(tǒng)的特征方程為.易見

2 主要結(jié)果

定理2.1 時(shí)，系統(tǒng)有平衡點(diǎn)，其中

（1）當(dāng)時(shí)，為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，為穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，是中心型焦點(diǎn).

基金項(xiàng)目：北京市優(yōu)秀人才資助項(xiàng)目（2014000020124G065）

作者簡介：楊玉潔（1980-），博士，講師，研究方向：微分方程穩(wěn)定性、泛函分析

引理2.1 （1）當(dāng)且時(shí)，是系統(tǒng)（2）的穩(wěn)定的一階細(xì)焦點(diǎn)；（2）當(dāng)且時(shí)，是系統(tǒng)（2）的不穩(wěn)定的一階細(xì)焦點(diǎn).

證明 作平移變換，變換后仍用記，并再作變換， 則

由[4]中求一階焦點(diǎn)量的公式：

其中分別表示系統(tǒng)（4）中第一和第二個方程中項(xiàng)的系數(shù)，則系統(tǒng)（4）中：

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